Lagrange 乘數法
Lagrange Multiplier Method （註釋）

張海潮

 
註釋

...註1
如果在 g1(x,y,z)=0，g2(x,y,z)=0 這樣的限制之下求f(x,y,z) 的極值。Lagrange 乘數法需列出下面五個方程式

\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} [f+\lambda_1 g_1+\lambda_2 g_2] &=... ...f+\lambda_1 g_1+\lambda_2 g_2] &=& 0 \\ g_1 &=& 0 \\ g_2 &=& 0 \end{eqnarray*}


要解的變數有 x,y,z 和 $\lambda_1,\lambda_2$ 一共五個。
...註2
當然也可以寫成 $f_x+\lambda g_x=0$， $f_y+\lambda g_y=0$。只是要注意，這裡有一個先決條件就是 gx,gy 不能同時為 0，同時為 0 會使 y 和 x 無法表成對方的反函數，請看下面的例子：設 f(x,y)=x, g(x,y)=y2-x3，則

\begin{eqnarray*} &&\frac{\partial}{\partial x}[x+\lambda(y^2-x^3)]=1-3\lambda x... ...rtial}{\partial y}[x+\lambda(y^2-x^3)]=2\lambda y\\ &&y^2-x^3=0 \end{eqnarray*}


易見這個方程式無解，但 f(x,y) 的極值是有的，它發生在 (0,0) 之處，只不過在 (0,0)，gx=0=gy，所以乘數法是失效的。
...註3
Carl B. Boyer:《A History of Mathematics》, Princeton University Press.
   


最後修改時間: 9/4/2001