e



 

 

e 的發現始於微分,當 h 逐漸接近零時,計算 $(1+h)^{\frac{1}{h}}$ 之值,其結果無限接近一定值 2.71828...,這個定值就是 e,最早發現此值的人是瑞士著名數學家歐拉,他以自己姓名的字頭小寫 e 來命名此無理數。

計算對數函數 $y=\log_a x$ 的導數,得 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\log_a e$,當 a=e 時,$\log_e x$ 的導數為 $\frac{1}{x}$,因而有理由使用以 e 為底的對數,這叫作自然對數。

若將指數函數 ex 作泰勒展開,則得

\begin{displaymath}e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\end{displaymath}

x=1 代入上式得

\begin{displaymath}e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots\end{displaymath}

此級數收斂迅速,e 近似到小數點後 40 位的數值是

\begin{displaymath}e\doteq2.71828\; 18284\; 59045\; 23536\; 02874\; 71352\; 66249\; 77572\end{displaymath}

將指數函數 ex 擴大它的定義域到複數 z=x+yi 時,由

\begin{displaymath}e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots+\frac{z^n}{n!}+\cdots\end{displaymath}

透過這個級數的計算,可得

\begin{displaymath}e^z=e^{x+yi}=e^x\cdot e^{yi}=e^x(\cos y+i\sin y)\end{displaymath}

由此,De Moivre 定理,三角函數的和差角公式等等都可以輕易地導出。譬如說,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i

\begin{eqnarray*}
e^{z_1}\cdot e^{z_2} &=& e^{x_1+y_1i} \cdot e^{x_2+y_2i} \\
...
...\sin y_2 \\
&& {} + i(\sin y_1\cos y_2+\cos y_1\sin y_2) \big]
\end{eqnarray*}


另方面,

\begin{eqnarray*}
e^{z_1}\cdot e^{z_2}
&=& e^{z_1+z_2} = e^{(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)} \\
&=& e^{x_1+x_2} \big[ \cos(y_1+y_2)+i\sin(y_1+y_2) \big]
\end{eqnarray*}


所以,

\begin{eqnarray*}
\cos(y_1+y_2)&=&\cos y_1\cos y_2-\sin y_1\sin y_2\\
\sin(y_1+y_2)&=&\sin y_1\cos y_2-\cos y_1\sin y_2
\end{eqnarray*}


我們不僅可以證明 e 是無理數,而且它還是個超越數,即它不是任何一個整係數多項式的根,這個結果是 Hermite 在1873年得到的。

相關網頁:
你知道超越數嗎?(林聰源)

 
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歐拉
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超越數
Hermite
 

(撰稿:林聰源/清大數學系)

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編輯:李渭天 最後修改日期:5/6/2002