微積分早期歷史



 

 

通常說微積分其實是 Newton 與 Leibniz 發明的,指的是他們兩人使微積分觀念成熟,澄清微、積分之間的關係,使計算系統化,並且把微積分大規模使用到幾何與物理上。在他們之前,微積分是萌芽時期,觀念在摸索中,計算是個別的,應用也是個別的。

積分的起源很早,古希臘時期就有求特殊圖形面積的研究;他們用的是窮盡的方法。Archimedes 用內接正多邊形的周長來窮盡圓周長,而求得圓周率愈來愈好的近似值,也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形,以求得其面積;這些都是窮盡法的古典例子。

Archimedes 另外用了「分割、取點、求和、求極限」的步驟, 求得 Archimedes 螺線內的面積。這樣的過程正是現代微積分觀念的源頭。可惜 Archimedes 後繼無人。

文藝復興之後,基於實際的需要及理論的探討,積分技巧有了進一步的發展。 譬如為了航海的方便,Mercator 發明了所謂的麥氏投影法, 使得地圖上的直線就是航海時保持定向的斜駛線。 他讓經線平行而等間距離散開,讓緯度 θ 附近的緯線長做 $\sec \theta$ 倍的放大, 因此緯度為 θ 的緯度線與赤道的間距應為 $\int_{0}^{\theta} \sec\theta d \theta$。 麥氏不會這樣的積分,就開始用分割,取點後所求得的和來做為近似值;這是數值積分法的例子。

在理論方面,有所謂的無窮小方法。 譬如 Kepler 認為圓周長 S 可寫成無窮個無窮小的弧長 ds 之和:$S = \sum ds$,而每一 ds 相應的扇形可看成一三角形,其高為半徑 r,底為 ds,面積為 $\frac{1}{2} rds$,把這些扇形面積做和,就得圓面積為 $\sum \frac{1}{2} rds = \frac{1}{2}r \sum ds = \frac{1}{2} rS$

Galilei 認為面積是由無窮小寬度的線條織成的,由此可得速度曲線下的面積為距離。 用類似的想法,Cavalieri 得到Cavalieri 原理: $\int_{a}^{b} cf(x)= c \int_{a}^{b} f(x)dx$。由此可導得許多積分,譬如 $\int_{a}^{b} x^p dx = \frac{1}{p+1} (b^{p+1}-a^{p+1})$

同樣在文藝復興之後,因為實際的需要,開始用無窮小的方法, 考慮速度、變化率及切線的問題。譬如距離 y 與時間 x 的關係設為 y=x2, 則 x 的無窮小變化 dx,所引起 y 的無窮小變化為 dy=(x+dx)2-x2=2xdx+dx2, 兩者相除就得速度為 $\frac{dy}{dx}=2x+dx=2x$ (因為 dx 為無窮小而有最後的等號)。

一固定長線段 a 分成兩線段,長各為 xa-x,則所圍長方形面積為 f(x)=x(x-a)。Fermat 原理說:一個函數 f(x) 有極值的地方,f(x+dx) 要與 f(x) 相等。用無窮小方法處理 f(x+dx)=f(x),就得 $x=\frac{1}{2}a$。無窮小觀點的 f(x+dx)=f(x),其實就是現在觀點的 f'(x)=0

用無窮小方法求切線,就如圖所示:P 為切點,P 的坐標 x 做無窮小的變化剩 x+dx,則相應曲線上的 S 點,與原來的 P 點會相近到曲線弧 PS 可看成直線,因此 $\triangle PRS$$\triangle TQP$ 相似,而 T 點就可求得。Galilei、Fermat 等人都精於用無窮小方法處理微分的問題。




使用無窮小處理微分或積分的問題,都要有極強的幾何直觀,需要仔細分辨何時 dx 不為0,何時要為 0,以避開邏輯上的困境。現在微積分的根源其實就是無窮小的方法, 只是它把無窮小的觀念分成兩階段來處理:先有限,再取極限, 而符號則保留了無窮小的用法。

 
對外搜尋關鍵字:
Newton
Leibniz
Archimedes
圓周率
窮盡法
Archimedes螺線
Kepler
Galilei
Cavalieri
Cavalieri原理
Fermat
無窮小
 

(撰稿:曹亮吉/台大數學系)

相關網頁:
微積分史話(曹亮吉)
人怎樣求得面積?(黃武雄)
Archimedes(阿基米德)論面積(康明昌)

回頁首
 

留言(若有指正、疑問……可利用這裡留言)

 
EpisteMath

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有


編輯:朱安強 最後修改日期:8/30/2001