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Legendre function
Legendre 方程 (1-x2)y''-2xy'+l(l+1) y=0, -1<x<1 的解,其級數解為:$\sum_{m=0}^{\infty}a_mx^m$,其中係數 am 滿足(m+2)(m+1)am+1=[m(m+1)-l(l+1)]am。若 l 是正整數 n 或 0,適當的選取 a0a1 可以得到一多項式解,稱為 n 階 Legendre 多項式Pn(x)。(當 n 是偶數,取 a1=0,當 n 是奇數,取 a0=0)。Legendre 多項式還有一較簡潔的表達式:

\begin{displaymath}P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n\end{displaymath}

另一個級數解 Qn(x) 則可寫成:

\begin{displaymath}P_n(x)\int\frac{1}{[P_n(x)]^2(1-x^2)}{dx}\end{displaymath}

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