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.原載於科學月刊第三十卷第十一期
.作者當時任教於中正大學數學系
 

費馬最後定理的證明

余文卿

 
 



圖一:費馬(Pierre de Fermat, 1601-1665)

最近數論界或整個數學界最熱門的話題,是威爾斯教授證明了懸疑近三百年的費馬最後定理。威爾斯(Wiles,圖二) 畢業於英國劍橋大學。現任教於美國普林斯頓大學數學系。自小立志解決最後定理, 足足費了七年,才於一九九三年公布研究成果, 寄望在他四十歲之前拿下數學界的最高榮譽獎項──Fields Medal。但他的論文被發現有漏洞,直到兩年後,他跟他的學生泰勒(Taylor)才把漏洞彌補過來,但這時已超過得獎的年齡。

其實威爾斯證明了一九五0年代日本數學家志村五郎與谷山豐所提出猜想的一部份,威爾斯定理:每一半穩定的橢圓曲線都是模型曲線。而原來的志村-谷山猜想是:每一橢圓曲線都是模型曲線.

為什麼能從威爾斯的定理推出費馬最後定理?這是我們所要交代清楚的。


費馬最後定理

一六三七年左右,法國業餘數學家費馬(Pierre de Fermat,圖一)在他的《不定方程式論》(丟番圖著)一書的邊緣記下:任何立方數不能分成兩立方數的和,任何四次方數不能分成兩四次方數的和,任何五次方數也不能分成兩五次方數的和,如此類推。這就是後世所稱的費馬最後定理(Fermat Last Theorem):

n 是大於 2 的正整數,則方程式 xn+yn=zn,沒有正整數解。

他並附加道:我發現了一個非常漂亮的證明,但這裡沒有足夠的空間可容納得下。根據後世的考證,費馬或許有辦法證明 n=3,4,5 的情形,根據當時尚未成熟的數學歸納法而推斷這命題對任意n>2皆成立。



圖二:證明了費馬最後定理的威爾斯

注意到若dn的因數,則

\begin{displaymath}
x^n+y^n=z^n \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfon...
...s0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 106}},
\end{displaymath}

因而

\begin{displaymath}
x^d+y^d=z^d \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfon...
...s0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 106}},
\end{displaymath}

又每一大於 2 的正整數,必定是 4 的倍數或奇質數的倍數,因而證明費馬最後定理,只需證明 n=4n 是奇質數的情形,但 n=4 已得證,剩下的只是證明 n 是奇質數的情形。

費馬出生於法國南部杜魯斯 (Toulouse) 不遠的小鎮,三十歲時承襲了治安推事的職業,透過書信往來,傳達他的數學信息,他在數論的成就不勝枚舉,如:

費馬小定理:
p是質數且a是與p互質的整數,則

\begin{displaymath}
a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}
\end{displaymath}

質數分解定理:
p 是形如 4k+1 的質數,則 p 可唯一表示為正整數 a,b 的平方和。

 
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尤拉
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編輯:鄧惠文 最後修改日期:4/29/2002