蔡聰明

一個組合學的點算問題 初步歸納但失敗 進一步歸納找出規律 數學歸納法 組合學的點算法 差分方程法 計算頂點數與角度 應用 Euler 公式 倒退思考法 各種方法殊途同歸

數學是先有探索階段的發現或提出猜測，然後才有鞏固階段的邏輯證明例，兩者缺一不可。歷來的數學教學，偏重後者，而輕忽前者，造成數學的「面目可憎」，現在是應該調整的時侯了。

一般而言，數學的求知活動，遵循下列的流程圖：

問題發現證明溶匯入數學理論之大海

我們不妨稱之為數學的「求真理之路」(the way of truth)。

詳細一點來說，由一個有趣的問題為起點，作思考與知識的總動員，先發現到規律（解決問題之道或猜測），然後再提出「證明」。只有發現，求知活動並未完成，因為數學家堅持要有「證明」，證明是數學的商標，沒有證明就沒有數學。發現與證明兼具，才算完全。通得過證明的「猜測」(conjecture)，就變成公式或定理；被否證的猜測，就要放棄；暫時無法證明，也無法否證的猜測，就讓它保留為「猜測」的地位，例如數論中的 Goldbach 猜測。

一個問題解決之後，我們往往會對周邊相關的問題也產生興趣，這自然導致「類推」(analogy) 與「推廣」(generalization) 的工作。最後，將這一切結果溶匯入既有的數學理論之大海中，作全面的觀照，並且組織成有機知識整體，得到「無上妙趣的了悟之樂」，這是求知最大的報酬。

具體問題的解決，豐富且增益了一般理論的內涵；反過來，一般理論猶如一個更高的觀點，俯視且統合著各式各樣的具體問題，讓我們一目了然。理論與實際的巧妙平衡，求知才是一種快樂，而不是一種負擔。

一個組合學的點算問題

在數學中，例子比規則有用。我們就用一個例子來闡釋上述的流程圖。

問題一： 考慮一個圓，在圓周上有 n 個相異的點，任何兩點都用線段連結起來。 假設沒有三線共點的情形，問這些線段將圓分割成幾個領域？

如何發現公式或找尋規律？

這當然有很多方法，從特例觀察作歸納、試誤法、類推法，到想像力的飛躍，甚至「任何方法都行」(anything goes)。此時容許犯錯，因而可以「從錯誤中學習」。反正最後還有邏輯證明來把關，排除掉錯誤。