洪萬生

數學史、皮亞傑與孔恩 札記一則 顧應祥無門路可入 華蘅芳的困而學之 《數理精蘊》與借根方法 康熙皇帝最難明白新代數 古今映照

個體成長重演種系歷史，但過程濃縮；這是數學史被認為可以關聯到數學教學的立論基礎──「重演說」。正因為兒童心智成長與數學概念的歷史發展似乎存在了平行關係，所以，一旦教師擁有了數學史的素養，那麼，在他（她）的數學教學中，尤其是面對學生的學習困擾時，應該可以發揮更大的包容才是。

數學史、皮亞傑與孔恩

在數學史家這一邊，兒童學習數學的個別經驗，往往提供了極珍貴的角度，幫助他們觀照數學知識成長的曲折與艱辛！ 即使對皮亞傑 (J. Piaget) 而言，憑藉兒童，「我們有了最好的機會研究邏輯、數學和物理知識等等的發展。」因為，他也相信「知識在邏輯、理性的組織上所取得的進展，與其對應的心理發展過程，具有一種平行性」。

另一方面，皮亞傑的「兒童」也給了科學史家極深刻的啟發。科學史家孔恩 (T. Kuhn) 應邀為一群兒童心理學家演講因果概念發展時，坦承他所以懂得向過去科學家發問恰當的歷史問題，全是拜皮亞傑對兒童的研究所賜。此外，他還追憶他與科學史大師 A. Koyré 初次會面的一段難忘對話：

我興緻勃勃地對他 (Koyré) 說，正是皮亞傑的兒童教我如何了解亞里斯多德的物理學。他竟然回答，是亞里斯多德物理學教導他去了解皮亞傑的兒童。無論如何，他的回答總是確證了我所喜愛的皮亞傑所歸納的看法，那就是：皮亞傑兒童對我們科學史研究極為重要。

事實上，孔恩的期待並未落空，因為科學史實與科學教學的研究實例，的確可以相互啟發。譬如 M. Sequeira 和 L. Leite 曾在1987∼1989年間，對葡萄牙的中學生、大學生（非主修科學）學習「力和運動」、「自由落體」和「牛頓運動定律」等單元的成就進行分析，結果他們發現學生對這些理論的看法，雖然不盡相同於科學史上亞里斯多德、Averroes、Albert de Saxe（十三世紀）、Jean Buridan（十四世紀）等人的研究成果，但有些概念卻頗為類似，因此我們可以確信：正如皮亞傑所論證的，個體知識的心理起源 (psychogenesis) 與科學史之間，的確存在了有意義的關聯。

以皮亞傑的理論為架構，我們當然也可以關聯數學史與數學教育研究，譬如楊淑芬的碩士論文〈從皮亞傑的認識論談數學史與數學教育的關聯〉，就整理了頗多可供進一步研究的題材。此外，墨西哥的數學教育家 L.E. Moreno、A.G. Waldegg 也以皮亞傑理論為依據，發現數學系大一、二學生對「無限」的了解僅止於 B. Bolzano 的階段，亦即他們只能知道一個集合是無限的，而無法像 G. Cantor 一樣，比較兩個無限集合的大小！從集合論的歷史來看，Bolzano 到 Cantor 當然是一個關鍵，因為人類有史以來首次可以用實無限 (actual infinity) 來思考，可以成功地區別無限的等級，正是 Cantor 的不朽貢獻！

不過，本文只想從一位國一學生的一則生活札記談起，為了凸顯它的趣味與意義，我們不免添加了一些數學史實做為佐料。儘管如此，仍願讀者萬勿以「談助」視之。