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.原載於科學月刊第二十六卷第一期
.作者當時任教於台大數學系
 

薛西弗斯的巨石
談費瑪最後定理

蔡聰明

 
 

費瑪最後定理,彷彿是希臘神話中薛西弗斯推動的大石頭,三百多年來,點燃了許多數學家的雄心壯志,結果都發現有漏洞,甚至證明是錯誤的,於是大石頭又滾回原點。費瑪最後定理是何方神聖?為何這麼吸引人?

偉大數學家高斯(Gauss,1564∼1643)說:

數學是科學的女王,而數論是數學的女王。

在數論中,有些猜測並不涉及高深概念,敘述起來簡單易懂,但是卻難於證明。 例如,費瑪最後定理 (Fermat's Last Theorem) 與 哥德巴赫猜測 (Goldbach conjecture) 就是最著名的兩個例子。

費瑪最後定理(1631年)是說: 對於 n=3,4,5,…,方程式


xn+yn=zn (1)

沒有正整數解

三百多年來,有許多數學家懷著無比的毅力與熱情,嘗試去證明這個定理。但是,這個定理有如銅牆鐵壁之難於攀登。 在歷史上,有好幾次宣布已經證明了它,可惜很快又發現該證明是錯誤的,有漏洞的或不全的, 包括最近一次美國普林斯頓大學的威利斯 (Wiles) 在1993年六月二十三日所提出的證明 (網站編註:Wiles 的證明在補充後已經是正確的了)。

本文我們要對這個定理的起源與發展,作一個簡要的歷史回顧。首先是逐本探源。


萬有皆整數

畢氏定理是歐氏幾何學的一個精華結果:

畢氏定理:
在直角三角形中,斜邊的平方等於兩股平方之和。如下面圖一所示,設 $\angle C=90^{\circ}$,則

x2+y2=z2 (2)

反過來也成立:若(2)式成立,則 $\angle C=90^{\circ}$;這叫做畢氏逆定理。



圖一

畢氏定理有許多方向的推廣,內容既豐富又美麗,它甚至是費瑪最後定理的發源地。

問題1:求(2)式的所有正整數解答,即求正整數邊的直角三角形。

這就是所謂畢氏問題(Pythagorean problem)。為什麼會產生這個問題呢?它除了本身有趣之外,還存在著更深刻的理由,且涉及到畢氏學派的哲學觀點。

畢氏學派採用原子論(atomism)的方法來研究幾何學。先分析幾何圖形的結構,得到體、面、線、點;反過來是綜合,動點成線,動線成面,動面成體。點是幾何圖形的原子,最基本的組成要素。

問題2:點有多大?

假設點的長度為d,則d可能有三種情形:

(l)d=0,(2)d >0,(3)d為無窮小。

如果d=0,即點沒有長度,那麼就會產生由沒有長度的點累積成有長度的線段,導致「無中生有」(something out of nothing) 之不可思議,局部 (local) 與大域 (global) 之間存在著不可逾越的鴻溝。對畢氏學派而言,這是一個解不開的困局。

如果 d 為無窮小 (infinitesimal),那麼什麼是無窮小?這更詭譎而令人困惑。

因此,畢氏學派選擇了d>0,即點雖然很小很小,但是具有一定的長度,像小珠子一樣。線是由許多小珠子串連而成的。換言之,從畢氏學派的眼光來看,世界是離散的(discrete)。從而,任何兩線段ab都是「可共度的」(commensurable),即存在共度單位$\alpha>0$,使得

\begin{displaymath}a=m\alpha\quad ,\quad b=n\alpha\end{displaymath}

其中mn皆為自然數。因為至少一個點的長度d,就是一個共度單位。最大共度單位可以對ab施行輾轉相除法而求得。於是線段的度量只會出現兩個整數之比,即有理數。據此,畢氏學派進一步飛躍到「萬有皆整數」(All is whole number)的數學世界觀。

在「任何兩線段皆可共度」的觀點下,畢氏學派證明了長方形的面積公式、畢氏定理以及相似三角形基本定理,為幾何學奠下算術化的基礎。另一方面,畢氏定理所涉及的直角三角形,三邊長都是有理數,只要乘以分母的公倍數就變成整數邊,因此,畢氏學派想要追尋所有整數邊的直角三角形,乃是順理成章的事情。

但是好景不常,畢氏學派發規了正方形與正五邊形的邊與對角線 ,是不可共度的(incommensurable),分別等價於$\sqrt {2}$以及 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$為無理數,這震垮了畢氏學派的幾何奠基工作。

一直等到西元前300年,歐幾里得(Euclid)將畢氏學派的「幾何算術化」取向,改為公理化的手法並且以幾何來治幾何,完成了歐氏幾何,成為數學史上第一個數學理論。

 
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編輯:鄧惠文 最後修改日期:4/29/2002