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.原載於科學月刊第二十五卷第十二期
.作者當時任教於台大數學系
 

畢氏定理的兩個推廣

蔡聰明

 
 

幾何學的向量代數化,就是要用向量的演算(加法、係數乘法、內積與外積)來處理幾何問題,這是數學方法的一大進步。本文利用畢氏定理的兩個推廣來展示其用法。在文獻上,本文定理四是一個新結果。

畢氏定理是歐氏平面幾何的一個核心結果,是三角學的出發點,刻卜勒 (Kepler) 所稱的「幾何學兩個寶藏之一」。另一個是黃金分割 (golden section)。

畢氏定理有各式各樣的推廣。台大數學系黃敏晃教授在《數學傳播》〈畢氏定理的一些推廣〉裡給出了六種推廣。另外,筆者在該期刊〈四邊形的面積〉一文中,也談及沿著托勒密 (Ptolemy) 定理這個方向的推廣。

在歐氏平面上,將直角三角形改為一般三角形,畢氏定理就推廣成為餘弦定理。本文我們要介紹三維空間的餘弦定理以及n維空間的畢氏定理,順便展示以向量代數運算法處理幾何問題的威力。


問題的起源

什麼是畢氏定理?我們採用三種說法:

(i)出太陽的日子,在地面上鉛直立一根竹竿,那麼地面上就出現一段竿影(見圖一)。畢氏定理是說:竿端至影端的距離平方等於竿長平方與影長平方之和。



圖一

(ii)在直角坐標平面上,如圖二,有 AB 之線段,那麼 AB 的平方就等於 ABx 軸與 y 軸的投影平方之和。



圖二

(iii)在直角三角形中,斜邊的平方等於兩股平方之和。如圖三,設 $\angle C = 90^{\circ}$,則 AB2=BC2+AC2,亦即斜邊上的正方形面積等於兩股上正方形面積之和。



圖三

對於一般三角形,我們有:

定理一(餘弦定理):
在任意三角形 $\triangle ABC$ 中,設 a,b,c 為其三邊(參見圖四),則

\begin{eqnarray*}
a^2 &=& b^2+c^2 - 2bc \cos A \\
b^2 &=& c^2+a^2 - 2ca \cos B \\
c^2 &=& b^2+a^2 - 2ba \cos C
\end{eqnarray*}




圖四

畢氏定理推廣到三維空間 $\emph{R}^3$,有兩個形式(定理二與定理三):

定理二(畢氏定理):
位置向量 (position vector) $\overrightarrow{OA} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j} + a_3 \vec{k}$ 在各個坐標軸的投影長之平方和等於向量長的平方,亦即

\begin{displaymath}
\parallel \overrightarrow{OA} \parallel^2 =
a_1^2 + a_2^2+ a_3^2 \eqno{(1)}
\end{displaymath}

(參見圖五)

將(1)式「二元化」之後,就是內積構造:

\begin{displaymath}
\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = a_1b_1 + a_2b_2 +a_3b_3 \eqno{(2)}
\end{displaymath}

其中 $\overrightarrow{OB} = b_1 \vec{i} +
b_2\vec{j} + b_3\vec{k}$。 在(2)式中,取 $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}$,又復得(1)式, 這叫做「極化」。

注意到:若 $\overrightarrow{OA}$ 投影到各坐標平面上的長分別為 OA1OA2OA3,則

\begin{displaymath}
\parallel \overrightarrow{OA} \parallel ^2 = \frac{1}{2}(OA_1^2+OA_2^2+OA_3^2)
\end{displaymath}



圖五



圖六

定理三(畢氏定理):
在圖六中,令 π 表示由兩向量 $\overrightarrow{OA}$$\overrightarrow{OB}$ 所決定的平行四邊形。 設 $\pi_{12}$$\pi_{23}$$\pi_{31}$ 分別是 π 在 xyyzzx 平面上的投影,則

\begin{displaymath}
(\pi \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char...
...tfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}})^2
\eqno{(3)}
\end{displaymath}

對於定理三我們採用兩種證法:

證明一:利用向量內積的演算來做,雖較麻煩但較有收穫。 首先求π的面積。設 $\overrightarrow{OB}$ $\overrightarrow{OA}$ 上的投影向量為 $\overrightarrow{OC}$, 則

\begin{displaymath}
\overrightarrow{OC}=
\frac{\overrightarrow{OB}\cdot \overrig...
...{\overrightarrow{OA}}{\parallel \overrightarrow{OA} \parallel}
\end{displaymath}

於是

\begin{displaymath}
\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}
...
...lel \overrightarrow{OA} \parallel^2}
\cdot \overrightarrow{OA}
\end{displaymath}

所以

\begin{displaymath}
h^2=\parallel \overrightarrow{CB} \parallel^2
=\overrightarr...
...rrightarrow{OA})^2}{\parallel \overrightarrow{OA} \parallel^2}
\end{displaymath}

從而

\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
(\pi \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\...
...htarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA})^2
\end{eqalign}\eqno{(4)}
\end{displaymath}

$\overrightarrow{OA} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j} + a_3 \vec{k}$ $\overrightarrow{OB} = b_1 \vec{i} +
b_2\vec{j} + b_3\vec{k}$,則

\begin{eqnarray*}
&&(\pi \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char...
...nus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}})^2
\end{eqnarray*}


這個額外的收穫有三件:
1. Lagragnge 等式:

\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
& (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2+(a_3 b_1 - a_1 b_3)^...
...2+b_3^2)-(a_1 b_1 +a_2 b_2 +a_3 b_3)^2
\end{eqalign}\eqno{(5)}
\end{displaymath}

用向量記號表達就是

\begin{displaymath}
\parallel \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} \pa...
...ightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} \parallel^2
\eqno{(6)}
\end{displaymath}

其實,此式是兩維畢氏定理

\begin{displaymath}
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta =1 \eqno{(7)}
\end{displaymath}

的化身!其中 θ 為 $\overrightarrow{OA}$$\overrightarrow{OB}$ 的夾角。 因為將(7)式之兩邊同乘以 $\parallel \overrightarrow{OA} \parallel ^2 \parallel \overrightarrow{OB} \parallel^2 $, 再配合內積與外積的幾何解釋就得到(6)式。 因此,在內積與外積的交織下,(3)-(7)五個式子皆等價的(equivalent),這是很奇妙的事。

進一步,對(6)式作「二元化」也成立,仍然叫做Lagrange等式:

\begin{displaymath}
(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d})
=(\...
...{d})
-(\vec{a}\cdot \vec{d})(\vec{b} \cdot \vec{c})
\eqno{(8)}
\end{displaymath}

$\vec{c}=\vec{a}=\overrightarrow{OA}$, 且 $\vec{d}=\vec{b}=\overrightarrow{OB}$ 時, (8)式就化約成(6)式。

對於二維向量的情形,(5)式變成

\begin{displaymath}
(a_1 b_2 - a_2 b_1)^2+(a_1 b_1 - a_2 b_2)^2
=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)
\eqno{(9)}
\end{displaymath}

這表示「兩數平方和乘以兩數平方和,等於兩個平方數之和」。 事實上,(9)式等價於複數的一個重要性質:

\begin{displaymath}
\vert z_1 \cdot z_2\vert=\vert z_1\vert\cdot\vert z_2\vert
\eqno{(10)}
\end{displaymath}

2. Cauchy不等式:

\begin{displaymath}
(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2 \leq (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)
\eqno{(11)}
\end{displaymath}

3. Gram 行列式:
利用行列式可將(4)式表為

\begin{displaymath}
(\pi \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char...
...} \cdot \overrightarrow{OB}
\end{array}\right\vert
\eqno{(12)}
\end{displaymath}

我們稱此行列式為 Gram 行列式,記成 $G(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$。 進一步,引入向量元的行向量與列向量,並且利用矩陣乘法, 則 $G(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ 可表成

\begin{displaymath}
G(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})
=\det \left((
\be...
... (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})
\right)
\eqno{(13)}
\end{displaymath}

其中 det 表示對方陣取行列式。 Gram 行列式 $G(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ 代表由 $\overrightarrow{OA}$$\overrightarrow{OB}$ 所決定的平行四邊形面積的平方。(13)式也隱含了畢氏定理。

此外,上述(5)、(11)、(12)與(13)四式都有高維空間的推廣。

證明二:對於(3)式的證明,比較簡單的辦法是利用向量外積的演算。

\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}
&=& \left\vert
...
...3b_2)\vec{i}
+ (a_3b_1-a_1b_3)\vec{j}
+ (a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}
\end{eqnarray*}


根據外積的幾何意義知,向量 $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ 的長度表示 π 的面積,所以

\begin{eqnarray*}
(\pi \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 2...
...nus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}})^2
\end{eqnarray*}


這個證明顯示,推廣的畢氏定理已隱含於外積的定義之中,真神奇!然而, 因為外積只生存在三維空間中(見參考資料5),所以這個證法無法推展到更高維空間的情形。因此,對於高維空間的畢氏定理之追尋,我們必須循其他路徑,其中 Gram 行列式是一條康莊大道。

事實上,定理三還可以再推廣:將兩向量所決定的平行四邊形,改為空間中的平面曲線所圍成的單連通之封閉領域 R。 令 R 在三個坐標平面上的投影分別為 R12R23R31,則

\begin{displaymath}
(R \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 2...
...family{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}})^2
\eqno{(14)}
\end{displaymath}

此式的證明需要用到微積分,在此從略。

推論:在三維空間的直角坐標軸上,分別取 ABC 三點, 形成一個直角四面體OABC(見圖七),則

\begin{displaymath}
(\triangle ABC)^2=(\triangle OAB)^2+(\triangle OBC)^2+(\triangle OCA)^2
\eqno{(15)}
\end{displaymath}



圖七

如果將平面中的直角三角形與三維空間中直角四面體看成類推,那麼一般三角形的類推就是一般的四面體。今已知一般三角形有餘弦定律 (the law of cosine),我們要問一般的四面體有無相應的餘弦定律?

另外,對於 n 維歐氏空間($n \geq 4$),定理三要如何推廣?如何證明?

 
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編輯:朱安強 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002