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.原載於科學月刊第二十卷第九期、第十期分兩期刊出
.作者當時任教於師大數學系
 

等角螺線及其他

趙文敏

 
 

幾何學是一門源遠流長的數學分支,在十七世紀以前,幾何學一詞甚至可說是數學的同義詞,它以往的風光可想而知。曾幾何時,因為某些內在與外在的因素,幾何學的地位似乎已逐漸沒落;在中小學的數學教材裡,幾何題材一次又一次地被刪除。這種現象使我們感到憂心,因為自然環境中隱藏著許多幾何原理,不了解這些幾何知識,不就表示我們對所生存的空間已經愈來愈不了解了嗎?

筆者從事數學教育工作多年,又是現行高中數學教科書的編者之一,對當前高中數學教材中幾何題材的過度貧乏,實在感到憂心忡忡。在無力對教科書作大幅度修改的情況下,只好在正式教科書之外從事一些修繕工作。

基於上述想法,筆者希望能以一系列的文章來介紹一些幾何題材。在內容方面,筆者首先選上曲線。因為曲線的討論不僅是幾何學中最有趣的題材之一,而且許多曲線都會在自然現象中出現,它們的性質也往往能提供重要的應用。例如:天文望遠鏡的設計,不就是根據拋物線的反射性質嗎?本文介紹等角螺線。


何謂等角螺線

在一片空曠的草地上,甲、乙、丙、丁、四隻狗分別站立在一個正方形的四個頂點 ABCD上。狗主人要甲狗緊盯著乙狗、乙狗緊盯著丙狗、丙狗緊盯著丁狗、丁狗緊盯著甲狗。一聲令下,四隻狗以相同的速度同時衝向目標。假定每隻狗在每個時刻都是正面朝向它的目標,那麼,這四隻狗所跑過的路徑是什麼形式呢?

假設四隻狗在某一時刻的位置分別為 A1B1C1D1(見圖一),則根據四隻狗的行動一致所產生的對稱性,可知 $\Box A_1B_1C_1D_1$ 也是正方形,而且它的中心也就是正方形 $\Box ABCD$ 的中心 O。更進一步地,由於在 A1 點的甲狗係衝向在 B1 點的乙狗,所以,甲狗在此一時刻的速度方向在向量 $\overrightarrow{A_1B_1}$ 上。或者說,甲狗所跑的路徑在 A1 點的切線與直線 OA1 形成 45°的夾角。同理,



圖一

乙狗所跑的路徑在 B1 點的切線與直線 OB1 形成 45°的夾角等等。

一般而言,若一曲線在每個點 P 的切向量都與某定點 O 至此點 P 所成的向量 $\overrightarrow{OP}$ 夾成一定角,且定角不是直角,則此曲線稱為一等角螺線 (equiangular spiral),O 點稱為它的極點 (pole)。

前面所提的四狗追逐問題中,每隻狗所經過的路線都是一等角螺線的一部分,此等角螺線中的定角是 $\frac{\pi}{4}$(或 $\frac{3\pi}{4}$,因為切向量可選成相反方向),而其極點是正方形 $\Box ABCD$ 的中心 O

 
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編輯:黃信元 最後修改日期:2/17/2002