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.原載於科學月刊第十八卷第八期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
 

大自然說數學話

曹亮吉

 
 

從牛頓的萬有引力,我們看得出數學與物理有密切的關係,而且近三百年來的發展,更證明了物理幾乎離不開數學:古典力學體系總結於 Lagrange 及 Hamilton 的微分方程式;聯繫宏觀現象與微觀現象(如氣體動力學)用的是統計的方法;電磁學經由 Maxwell 方程式而脫胎換骨;狹義相對論找到 Minkowski 的非歐幾何模型;廣義相對論植基於 Riemann 幾何學;量子力學的不同描述法經由泛函分析統一後,有新的詮釋;基本粒子經由群論而看出一些規則性;最近的物理學則越來越用矢量叢的理論,做為其演繹的語言。物理學中,無論是決定論的想法,或是機率論的想法,數學總有相應的語言可資使用。另外,物理學中有些原理,如守恆原理、最小作用量原理、對稱原理等,都是數學式的語言,很容易用數學的方法處理。

數學在物理學中有這麼重要,我們禁不住要問:「數學為什麼這麼有用?」「數學在物理理論的建立與演繹過程中到底扮演什麼樣的角色?」

數學為什麼這麼有用?最簡單的答案是:「自然說的是數學話。」這種想法大約起源於西元前600年左右。 那時候一些希臘哲學家認為大自然是循然有序,依照一定模式來變化的。於是他們用數學的方法來描述變化的原因, 預測變化的結果。他們最先認為自然是用整數來建立的,這就是畢氏學派的(數學)原子論。其後又認為自然是依幾何方式來變化的,這種想法從西元前四世紀的同心球理論,到西元二世紀 Ptolemy 的周轉圓理論而確立。Kepler 雖然捨棄了周轉圓的理論,但他還是以幾何的語言來描述行星的運動。

牛頓以及他那一世代的科學家都是虔誠的教徒, 他們的發現雖然使人更確認自然是說數學話的,但也證明了天體運行和地面運動遵守同一定律, 因此眾星與地球沒有什麼不同,而且上帝子民的地球居然也不過是躲在宇宙中的一個小角落堙C 這樣的發現雖然違反了宗教的固有信念,但他們到底在宗教與科學的兩極中找到了平衡點:他們堅信上帝是個超級的數學家,科學家的努力只不過是在了解上帝創造宇宙的意圖與計畫。

然而由於人類一再用推論的方法尋找到了自然的規律,宗教信仰變成與科學工作無關的另一件事。拿破崙發現 Laplace 在其談論宇宙系統的著作「天體力學」中居然沒提到上帝,而以此相責。Laplace 回答說:「我並不需要這樣的假定。」從此以後,科學的研究基本上與宗教的信仰分了家。

上帝是超級數學家的假定沒有了,但是科學家還是堅信自然是說數學話的,數學繼續成為科學工作者不可或缺的工具。到了二十世紀,科學家發現自然所說的數學話居然不完全是牛頓式的,於是科學家的態度有了一些改變,不再認為他們能夠直接找到自然的真理;他們能做的是提供數學的模型,逐次逼近自然的真實狀況。愛因斯坦說:「宇宙解不開的謎在於其可理解性。」又說:「迄今為止的經驗使我們有理由認為,自然是最簡單的、可以構想到的數學概念的一種體現。」

「自然說的是數學話」是否回答了「數學為什麼這麼有用」這個問題? 自然是否說的是另一種我們還不知道的,比數學還真確或內容更豐富的語言?我們無法回答。 許多數學家或物理學家對「數學為什麼有用」這個問題加以探討, 譬如 Wigner 的文章〈The unreasonable effectiveness of Mathematics in the natural sciences〉 註1 ,Dyson 的文章〈Mathematics in the physical sciences〉 註2 及 Kline 的書《Mathematics and the Search for Knowledge》 註3 ,都是很有名的。然而說來說去,他們的結論,無論是明指或是暗示,還是「自然說的是數學話」,或者轉而舉出許多「數學怎樣有用」的例子,來說明「數學為什麼有用」。「自然說的是數學話」是物理學家的信念,否則他們的研究就會失去了方向。

討論「數學為什麼有用」,很容易超出科學的範疇,進入哲學的領域。我們不想做哲學式的思辨;退一步,我們想知道「數學是怎樣有用的」,因此把焦點轉向第二個問題:「數學在物理理論的建立與演繹過程中,到底扮演什麼樣的角色?」

還是以牛頓力學體系數學模型建立的過程為例。牛頓根據已有的物理觀測, 用數學幫著猜出向心平方反比的萬有引力,按著又靠著數學, 證明萬有引力定律不但包容已知的 Kepler 行星運動定律,而且可以解釋更多的已知現象, 更進一步還能預測許多未知的景況。推敲新模型、核對已知、預測未來,數學在物理中幫著做這些事。

我們還可以從另一角度來看「數學是怎樣有用的」,亦即,數學做為一種語言有什麼特色,使得它能對物理這麼有幫助。

首先,數學是種精簡的語言。想想看, 如果把數學字眼從 Kepler 的三個運動定律中拿掉,而代之以一般敘述性的用語,則如何把它們說得清楚?想想看,萬有引力公式 F = GMm / R2,若用普通用語說出來,會成什麼樣子?

有了精簡的語言,用它來推論就很方便。如果推論是證明式的,那麼只要前題正確,其結論也是百分之百正確的;根據百分之百正確的結論再證明而得的新結論也是百分之百正確。如此反覆進行,所得的各個結論,雖然離開最原始的假設甚遠,也不用擔心其正確性。

反觀其他求得結論的方法,如歸納、如類比、如例舉,甚至臆測也可能得到正確性相當高的結論。但是如果這樣的結論不是百分之百正確的。那麼據之再推得的新結論又要打折扣。如此,只要距離原始的假設稍遠,結論的正確性,經過七折八扣,就幾乎等於零了。

物理學中用數學做長程推論的,雖然不一定完全遵行嚴謹的證明程序,但總不會離得太遠,其可靠性就相當大;用數學算出一個海王星是個出名的例子。

數學發展的特色之一,是建立內在自動推論的機制。臂如有了代數, 算術的推論過程就由數本身的代數演算規則完全代替。有了坐標幾何, 幾何問題也轉成代數計算。微積分則代替了幾何加上極限這種複雜的推論過程, 而且微積分的運算又力求代數化。由此可見,數學之能成為犀利的推論工具,正是數學的一大特色。

數學語言由於精簡,一些不是決定性的次要物理內涵不在式子中出現,而減少干擾。有些物理學家可從精簡的數學公式,不經嚴格的推論而預想出一些未知的物理現象。Maxwell 把 Faraday 有關電磁場的想法數學化,歸納成幾個簡單的方程式,而使電學與磁學統合成電磁學。他更從這些方程式出發,推導出電磁波的方程式,而此電磁波在真空中的速度正與當時所知的光速相近, 因此預測光也是一種電磁波,可見光只是電磁波譜中的一部分而已。後來發現無線電波,證明 Maxwell 預測的 Hertz 說:「我們不得不承認,這些數學公式不是完全人造的,它們本身是有智慧的。它們比我們還聰明,甚至比發現者也聰明。我們從這些公式所得到的,比當初放到這些公式中的還多。」

Dirac 把相對論用到量力子學堙A而得到有關電子波的一組方程式。 從其中看出電子可能有正能量與負能量兩種狀態。假想在填滿負能量的「電子海表」出了一個缺時, 這個「空洞」的行為就如同一個帶正電的粒子。此粒子不應該是質子,因其質量比電子大得多。 所以他預測有一種稱為正子的粒子,其質量及各種性質相同於電子,只是電性相反。他又預測有反質子。 這些在日後都經實驗證明為真;整個反粒子理論似乎就是從方程式中跳出來的。

類似的例子很多,尤其在量子力學及粒子理論中,更是到處可見。這種現象使 Wigner 有感而發,而把他的文章定為「數學在自然科學中令人無法理解的有效性」。

總而言之,從數學語言的特性來看,數學不但有表達、計算、推論的能力,甚至有時還有啟發的功能, 也難怪物理是離不開數學的。

然而在物理學的發展過程中,數學不是永遠站在它這邊的。同心球與周轉圓理論,使天文學停留在錯誤的模型上長達1800年之久。Kepler 堅信圓與球是最完美的,等速是最合常理的,使得他在確立行星運動定律上多花了好幾年。牛頓堅信古典幾何的美,順應時人的習慣,所以用古典幾何寫他的書。他的著作使人嘆服,然而也妨礙別人做迅速而深入的了解。傳統的積習常使人裹足不前。

另外,數學與物理各有其研究的目的與方法,兩者在發展的過程當中雖然常相提攜,但性格上卻有不相容的地方。有良好的數學基礎固然對物理的了解有很大的助益,然而物理絕不能單靠數學而能有所成的。

我們也可以把數學與物理的角色倒過來,看看物理如何促進數學的發展。古代的天文學使數學逐漸發展了複雜的計算方法與理論,如平面三角學、球面三角學、對數及內插法等就是。力學體系的建立,數學功不可沒;但微積分、微分方程、變分法、複變函數論等分析學的各分支,無不因面對各種力學問題的挑戰,而日益豐富起來。

從十九世紀開始,理論性數學發展迅速,受物理的刺激較少,數學與物理似乎分了家。然而自然是說數學話的,純理論發展出來的數學,有些在日後就有用了,向量分析、非歐幾何學、Riemann 幾何學、泛函分析、機率論、統計方法、群論、矢量叢理論等等都是具體的例子。對物理而言,數學就像擺在櫥窗堛漲蝒A,隨時等候選用。

可是物理促發某些數學發展的傳統並不就此消失。廣義相對論使 Riemann 幾何學的研究熱絡起來,Jordan、von Neumann、Wigner 等人為了量子力學而發展的某些矩陣理論,引發了所謂的 Jordan 代數;Dirac 的不是函數的 δ 函數,終於促使數學家研究起超函數 (distribution)。只要自然所說的數學話還沒有真象大白,這種傳統還是會繼續下去的。

在驚嘆數學對物理這麼有用之餘,我們不得不提出上述幾點,以免過分渲染數學在物理學中的客卿地位,而使物理學本身的特色模糊不清,或者使數學受益於物理的事實隱藏不顯註四

 
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編輯:李渭天 最後修改日期:2/17/2002