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.原載於科學月刊第十八卷第七期
.作者當時任教於台大數學系
 

自然哲學的數學原理

曹亮吉

 
 

牛頓發表萬有引力學說迄今已有三百年之久。近三百年來科學突飛猛進,數學占著不可或缺的角色。我們想介紹萬有引力學說的建立過程, 以點明數學與自然科學間的密切關係。

在牛頓之前,運動學有兩支:一是天上的,由 Kepler 的三個運動定律所統攝;一是人間的,是 Galileo Galilei 所描述的落體運動。1665及1666兩年,大學剛畢業的牛頓,住在鄉閒農場躲避瘟疫,開始認真思考運動學的問題。他想蘋果掉地可解釋為地球有個力量拉著蘋果,那麼行星繞日運動是否可解釋為太陽有個力量拉著行星呢?這樣的力量,其方向及大小該是如何呢?牛頓斷斷續續探索這個問題,一直到1684年才確立了萬有引力的想法與計算公式。由於探索過程曲曲折折,這方面的文獻有爭議之處甚多, 我們只能把這將近二十年的探索過程做一濃縮,以較邏輯的順序呈現-科學歷史的細部發展有時並不按邏輯順序的。

牛頓仔細玩賞 Kepler 的三個運動定律,想從其中看出一些名堂。第一運動定律說,行星的軌道為橢圓,太陽居其兩焦點之一。第二運動定律說,行星與太陽的聯線在定時間內掃過相同的面積。 第三運動定律說,對所有的行星而言,其週期 T 與軌道的平均半徑(即半長軸)R 都有如下的關係: T2/R3 為定比(不因行星而不同)。

牛頓仔細推敲的結果,發現從 Kepler 的第二運動定律-面積律,居然可以推出太陽的引力是向心的(即指向太陽)。反過來,假定了向心力,面積律就成為必然的結果。



圖一

如圖一,假定經過一秒鐘後,行星從 P0 走到 P1。假定太陽 S 並沒對行星施以任何力量,則根據 Galilei 的慣性原理,行星會繼續走直線等速運動。因此在下一秒鐘,從 P1 走到 P2 的距離 P1 P2P0 P1 相等。 兩三角形 $\triangle S P_0 P_1$$\triangle S P_1 P_2$ 因為等底等高,所以面積相等,亦即面積律成立。



圖二

然而行星並不走直線。如圖二,假定第二秒鐘,從 P1 走到 P'2,則行星改變的方向為 P2P'2;若假定了面積律, 則 $\triangle S P_1 P'_2$$\triangle S P_0 P_1$ 相等,也因此與 $\triangle S P_1 P_2$ 相等。所以 P2 P'2S P1 平行, 因此得到引力是向心的結論。 反之,若假定了向心力,則 P2 P'2S P1 平行, 因此 $\triangle S P_1 P'_2$$\triangle S P_1 P_2$ 相等,也因此與 $\triangle S P_0 P_1$ 相等,故得面積律。

以上的想法是簡化了些;較嚴密的論證,則以上面的想法為基礎, 加上極限的過程,就可完成。從物理的直觀, 很難看出面積律與向心力是等價的, 然而簡單的數學論證馬上就得到這個重要的結論。

解決了引力的方向,牛頓想要決定引力的大小。牛頓做了粗略的估計如下:行星運行的軌道大致為圓形,半徑大約為 R。運動大致是等速的,其角速度假定為 ω,則向心力為 $mR\omega^2$m 為行星的質量。但因 $\omega T=2\pi$,而且 T2/R3=k 為定值-Kepler 的第三運動定律(週期律),所以

\begin{displaymath}
mR\omega^2 = mR(\frac{2\pi}{T})^2 =
\frac{4\pi^2m}{R^2}\cdot\frac{R^3}{T^2}=\frac{4\pi^2m}{kR^2}
\end{displaymath}

如此,牛頓猜出了平方反比律:引力的大小與距離的平方成反比。

不但太陽系的行星遵行 Kepler 的運動定律,木星的衛星相對於木星也是, 月球也圍繞著地球轉。似乎任何兩物體之間都有引力存在。 然則這些引力和使蘋果掉地的力是否遵行同樣的法則?

因為受到地心引力的影響,地面附近的物體呈拋物線運動, 其向心加速度為 32呎/秒2。水平速度愈大, 則飛行愈遠才落地,而當大到一個程度後,它會繞著地球轉(見圖三), 所以月球繞地球旋轉似乎和蘋果受到同樣的地心引力。



圖三

已知月球距地心為地球半徑的60倍,所以,引力若遵行平方反比律, 則月球的向心加速度為32呎/秒21/602。 另一方面,月球週期已知,只要地球大小知道, 月球近乎圓形的軌道大小就可得,而其向心力(或向心加速度)就可算得。 如果這兩種算法所得的結果相近,則平方反比律就不只是太陽的引力, 而是萬物間的引力都要遵行的。計算的結果,牛頓發現兩者有點出入。 有些科學史家認為牛頓另外還有個煩惱: 他無法確定,求一個均質球體對一質點的引力, 是否可以把質量集中在球心而為之。有了這些困難, 牛頓不敢驟而確立萬有引力原理,甚且暫時放棄了引力的研究。

到了1684年,Hooke 遇到 Wren 及 Halley 等人, 宣稱他已得到星球運行的引力法則。Wren 不信,願意提供獎金給能夠解決這個問題的人。Halley 向牛頓提起這個問題, 並問道:假如是平方反比律,那麼行星的軌道是什麼?牛頓馬上答道:橢圓。你怎麼知道的?我早就算過了。於是牛頓向 Halley 提起他在這方面的探索結果。 Halley 覺得很有意思,要牛頓再試一次。

Picard(Jean, 1620∼1682年)利用 Erathosthenes 測量地球大小的原理, 只是用一顆恆星代替了太陽,而於1671年得到更正確的地球半徑長3950哩 (很接近於現值),所以牛頓可以重新計算月球的向心加速度:

\begin{displaymath}
\begin{array}{rll}
T &= \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{...
...mily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 148}}^2 &
\end{array}\end{displaymath}

此向心加速度正好是地面向心加速度32呎/秒21/602。 這是支持引力之萬有的想法,及引力都遵行平方反比律的最好例證。



圖四

前面提到的牛頓的煩惱是個積分技巧的問題,現在他也能夠順利解決: 假設萬有引力常數(在適當的單位取法下)為 1,球半徑為 R, 距球心 ρ 處的密度為 $f(\rho)$(只與距離 ρ 有關),質點 P 的質量為 m,其到球心的距離為 p(>R),則球的質量為 $M=\int_0^R4\pi\rho^2f(\rho)d \rho$,而把質量集中在球心後對質點 P 的引力為 Mm/p2。 若不集中,用球坐標(見圖四),則球上一小體積 $\rho^2\sin \theta d\phi d\theta d\rho$ 對距離 r 處質點 P 的引力在 OP 方向的分力為(因為對稱的關係,只要考慮這個方向就好了):

\begin{displaymath}
\cos\alpha\frac{mf(\rho)}{r^2}\rho^2\sin\theta d\phi d\theta d\rho
\end{displaymath}

所以整個球對質點 P 的引力為

\begin{displaymath}
\int_0^R\int_0^\pi\int_0^2\pi\cos\alpha\frac{mf(\rho)}{r^2}\rho^2\sin\theta d\phi d\theta d\rho
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
=2\pi m\int_0^R\int_0^\pi\cos\alpha\frac{f(\rho)}{r^2}\rho^2\sin\theta d\theta d\rho
\end{displaymath}

α 與 r 都和 θ、ρ 有關,所以該化成為它們的函數,才能開始積分。然而這樣的積分是積不出來的,這正是牛頓當初的煩惱。

解決之道在於把變數θ及α都換成變數r

\begin{displaymath}
\cos\alpha=\frac{p^2+r^2-\rho^2}{2pr},2p\rho\cos\theta=p^2+\rho^2-r^2
\end{displaymath}

由後一式得

\begin{displaymath}
2p\rho\sin\theta d\theta=2rdr, \mbox{{\fontfamily{cwM3}\font...
...{m}\selectfont \char 185}}\sin\theta d\theta=\frac{r}{p\rho}dr
\end{displaymath}

將這些式子代入積分式得

\begin{eqnarray*}
&&2\pi m\int_0^R\int_{p-\rho}^{p+\rho}\frac{p^2+r^2-\rho^2}{2p...
...frac{m}{p^2}\int_0^R4\pi\rho^2 f(\rho)d\rho\\
&=&\frac{Mm}{p^2}
\end{eqnarray*}


解決了煩惱後,萬有引力公式再也沒有疑問, 因為牛頓早已能由萬有引力公式推演出 Kepler 的三個運動定律。 於是他開始編寫《自然哲學的數學原理》一書,並於1687年(七月五日)出版。

此書共有三冊。第一冊首先定義什麼是慣性、動量、力, 然後陳述三個運動定律──即通常所說的牛頓運動定律(其實前兩個定律,Galilei、Descartes 就已提出;第三定律:作用力等於反作用力,則為牛頓的)。 接著牛頓討論一些微積分的定理,但以古典的幾何方式加上極限的概念表現。 介紹了新的數學工具後,牛頓就開始討論平方反比向心力與 Kepler 運動定律之間的互導、橢圓及橢圓運動的性質、各種擺線的幾何性質(和引力有關)、兩物體間因引力而起的運動(不假定其中之一因質量非常大而看成靜止)、 球體對質點的引力(牛頓的煩惱)及三體運動等等。 討論的方式是純數學式的,並不把所得的結果與自然的現象相印證。

第二冊所討論的是阻力之下的運動,是流體力學的開端。 有些地方假定阻力與速度成正比,或與速度的平方成正比, 或兩者的混合。由此可見牛頓有時喜歡做純數學式的演繹。

第三冊則把第一冊的數學結果用到自然現象上。譬如根據觀測,木星的衛星繞木星運行的確符合 Kepler 的面積律, 因此由第一冊的結果得知,吸引衛星的引力應該是向著木星的。 又因衛星也符合週期律,所以由第一冊的結果如此向心引力更遵行平方反比律。 也就是說,吸引衛星的引力也符合萬有引力公式。用這種方式的推論, 牛頓得到許許多多結果。有些結果可以解釋已知的現象,譬如潮汐、 月球的不規則運動、歲差等等;有些則預測一些未知的現象,譬如人造衛星。

其實 Hooke 等人早也猜到平方反比律,但他們沒有良好的數學工具, 所以推演不出 Kepler 的運動定律,更何況是其他的結果。 牛頓擁有應付動力學的利器微積分,得以完成此一曠世巨著。就如其書名所示,這本書的主旨是用數學的語言來描述、來推敲自然的現象。 哥白尼開始的科學革命,終於在牛頓的手中成了氣候, 而為此後三百年的科學進展奠下深厚的基礎。

 
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編輯:李渭天 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002