曹亮吉

古代四大文明中，中國、埃及、巴比倫的數學發展較為人所熟悉，現在我們來看看印度；然而要讀印度的數學，我們必須也要了解印度的歷史。

1920年代，在印度河流域發現了古代的遺跡，使印度的歷史可追溯到四千五百年前。其後的挖掘使地區擴張到現今印度的西北部與西部。在諸多的遺跡中，位於現在巴基斯坦境內的 Mohenjodaro 及 Harappa 兩城市最為有名。這些城市有整齊的街道，完整的排水系統；住宅也有貴族的及各種職業人士的區分。此外還有大澡堂、穀倉等公共建築，也有銅、青銅、鉛或錫製的器皿。原住民有象形文字，可惜至今還無法解讀，所以無法直接了解這支稱為 Harappa 文化的歷史，以及我們所關心的數學發展。然而要支撐這樣高度的文明，不用說，最基本的數學是已經發展了的。

約在三千七百年前，Harappa 文化已開始式微。等到約三千五百年前，亞利安人從中亞進入印度的恆河流域時，這支文化已經消失殆盡。

亞利安人發展了世襲的種姓制度，婆羅門（教士）與武士享有統治權。婆羅門掌管知識，並且不讓平民有一絲一毫的教育；為此，他們反對寫作，而婆羅門教聖詩吠陀 (Veda) 則以口述承傳。亞利安人在印度頭一千年的歷史就因文獻不足而不清不楚。在數學方面，我們只能從吠陀的經文中看出，他們和別的民族一樣，也在天文方面花上一些心思。

西元前六世紀，佛教興起，屏棄了婆羅門教的閉鎖性格，於是文學萌芽，歷史也開始有了可靠的文獻。大概也就在這個時候，出現了一類稱為 Sulvasutra（用繩法則）的作品。在這些作品中，敘述了如何利用繩索，使祭壇的造型能符合宗教上的一些幾何的要求，同時我們也可看出，他們已經熟知了勾股定理；另外，他們把 表成

西元前326年，亞歷山大大帝曾經征服了印度的西北部，使得希臘的天文學與三角學傳到了印度。緊接著亞歷山大大帝之後，Maurya 王朝（西元前320∼185年）興起，在其阿育王時代（西元前272∼232年）勢力達到頂峰，領土不但包括印度次大陸的大部分，而且遠如阿富汗都在其控制之下。阿育王以佛教為國教，每到一重要城市總要立下石柱。從數學的眼光來看，這些石柱讓人感到與趣，因為在石柱上我們可以找到印度阿拉伯數字的原形。

Maurya 王朝之後，印度又分崩成許多小王國，直到西元第四世紀，印度北部才又統一在 Gupta 王朝（320∼550年）之下。在 Gupta 時期，許多富有城市興起，許多大學成立，使得印度成為文化的中心。印度史上第一件天文方面的重要著作：《Surya Siddhanta》（來自太陽的知識），就產生在第五世紀初。從此以後的許多天文作品都含有三角學及三角函數。也就是從這時期開始，數學不再依附宗教禮節，而變成天文學的重要工具。

從 Gupta 王朝的晚期開始，印度又一再受到外族入侵、內部紛爭的影響。從來就沒有獨立統一的局面。然而從六世紀開始到十二世紀為止，卻產生了幾位值得注意的數學家，如 Aryabhata（六世紀）、Varahamihira（六世紀）、Brahmagupta（七世紀）、Mahavira（九世紀）、Bhaskara（十二世紀，見圖一）等。

圖一：Bhaskara 的著作的棕櫚葉版本（約1400年，紙張還未流行）。

從八世紀開始印度教興起，同時回教勢力也開始侵入，佛教在兩者夾攻之下逐漸式微。到了西元1200年左右，佛教在其出生地的印度差不多就完全消失了。這種宗教信仰的變遷，對印度的文化是有非常具大的影響的。印度的數學從此之後就停止不前。

十六世紀初，中亞的蒙古人後裔，南下印度，建立了回化的蒙兀兒帝國。到了十九世紀，英國的勢力完全取代了蒙兀兒，成為印度的主宰者。這一段時期，印度雖然有比較統一的局面，但數學方面仍然沒有進展。因此十二世紀的 Bhaskara 可以說是印度傳統數學的最後一人。直到二十世紀初，印度數學會成立（1907年），出版學會雜誌（1909年），而且又產生了數學怪才Ramanujan（1887∼1920年， ¹ ），印度的數學終於漸有起色，而投入了世界數學的發展洪流中。

在印度的傳統數學中，三角學與幾何學是深受希臘的影響的。天文學家Varahamihira說： 「希臘人雖然思想不正（異教徒），但我們該尊敬他們，因為他們有著科學的訓練而凌駕他人。一個婆羅門在思想純正之外，如果還知曉科學，豈不更好？」 雖然如此，印度人卻只學會把三角及幾何應用到天文學或簡單的面積計算。於理論則毫無興趣，所以三角與幾何學在他們手中，幾乎未曾有過有意義的進展。更有進者，有時他們犯了錯誤而不自知，譬如許多數學家認為四邊形的面積公式為： （s 為四邊 a、b、c、d 和之半），而忘了這只適用於圓的內接四邊形。

然而印度的傳統數學在算術及代數方面則有相當的成就；這些包括建立完整的十進位記數系統，引進負數的觀念及計算，使代數半符號化，提供開方的方法，解二次方程式及一次不定方程式等。

圖二：Lilavati 書中的一頁，數字及文字都是 Devanagari 的。

印度人要陳述數學題目時，常把它弄得幻想有趣，或者編成詩句，或者加上歷史背景，使得題目能夠吸引人。 下面是個例子：

在某個絕壁頂上，住著兩位苦行者。其中一位因擁有妖術，可以在空中行走。他從山頂垂直升空一段距離， 然後對準某一小鎮『走』去。另一位苦行者，則從山頂上下來，再向小鎮走去。結果兩者的距離相同。 假設……，問……？

另一個例子：

△
林子裡頭樹木繁茂
纍纍花果樹枝拂地
檸檬香蕉棕櫚芒果
鸚鵡布穀叫聲不絕
池塘蓮花蜜蜂環繞
疲累旅者欣然入林
▽

今有 63 堆數目相同的香蕉，另加7根香蕉，平均分給 23 位旅者，剛好分完。請問一堆香蕉要有多少根？

如果每堆香蕉有 x 根，每人分得 y 根，那麼要解的就是 63x+7=23y 這樣的二元一次不定方程式。他們的解法是這樣的：將 63 與 23 做輾轉相除

除了一次不定方程式外，現在世界通用的印度阿拉伯數字在其發源地的歷史，也值得做深入一點探討。

前面說過，在西元前五百年之前，有關印度的文獻是不足的。因此我們只能從後來的文獻推測早期印度人的數字觀念。

印度人對抽象的數目有所偏好，他們認為要尊崇神祇聖人，最好賦予一些數目。關於佛祖，有如下的說法：「佛祖有32種主要象徵及80種次要象徵來代表他；他的母親32種，他要出生的房子8種。他的母親 Maya-Devi 王后有一百萬名侍女。成千上萬的聖者智者會來朝佛。他的王座是花了成億個 Kalpas 世代（一世代為43億2千萬年）的精工細琢的成品。在孕成佛祖那晚綻開了的蓮花，其花瓣伸展到6千8百萬哩之外。」

在記述佛祖行誼的《Lalitavistara》中，提及佛祖青年時，為了求婚而展現的數數才能。他不但能數到10的421次方，而且也能數出三百萬個世界中的原子總數² 。 在印度的古典文學名著《Mahabharata》（Bharata 宮廷故事）中，也時常提及古代英雄在數數目方面的本事。

不論這些故事的真實性，我們可確定它們的作者對數目都有豐富的想像力，而且對十進位以及數數目可以無窮延伸的原理，都有了相當的了解。然而在古代的梵語中，20、30、……、90，在進位體系未成熟前就已出現，其說法及符號與個位數的沒有絕對的關聯，這是從有位名進步到無位名的十進位位置定值法的一個障礙。一直到西元六百年左右，九個個位數字加上一個零就可以表示一切數目的想法，才趨於成熟。

印度的梵文早期用的是婆羅門文字，因此數字也是婆羅門。在九世紀阿拉伯人 Alkwarizmi 正式引介到阿拉伯之前，這些數字已經有了一些演變，它們可以用 Gvalior 廟宇上的刻文為代表。Gvalior 數字在印度本土則再次演變成 Devanagari 數字（見圖二）。Devanagari 是一種字母，現在的印度文及相關的語系都是用其衍生的字母的。Gvalior 數字傳到阿拉伯，其後分成東、西兩支，西阿拉伯所用的數字終於演變成今日通行於世界的阿拉伯數字（見圖三）。

圖三：印度阿拉伯數字的演變系譜

現在的印度大體上用的是阿拉伯數字，而古老的 Devanagari 數字雖然偶而用及，但其主要的流行地區是在尼泊爾等地 ³ 。