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.原載於科學月刊第十七卷第十一期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
 

為數目找個名字

曹亮吉

 
 

問麻六甲 Sakai 族老人的年齡時,他會說:「我有三歲了!」要他數數目,1 就指著他自己,2 指著你,而 3 就是其他未知的,同時也代表多數。一民族最初發展數目的觀念時,都會用具體的事務來代替抽象的 1、2、3。從語言學的觀點來看,印歐語的 2 (duo) 和德語、英語的你 (du, thou),還有拉丁語的 3 (tres) 和超越 (trans),都應該是有關聯的。古代兩河流域的蘇美人用「男人」、「女人」這兩個字眼表示 1 與 2,這也是以具體代替抽象的例子。

然而人類開始發展數目的概念是那麼久遠,語言又會隨時日而變化,所以通常要探討小數目的字源及其意義非常困難;我們只能談一些比較確定的看法。

5 通常和手或手指有關。埃及的 5 及手用的是同一個字;斯拉夫的 5 是 p$\mbox{\={e}}$tj,而拳頭是 p$\mbox{\={e}}$sti;哥德語的 5 (fimf) 與手指 (figgrs) 應該是相關的。 印歐語的 10 為 de-k$\mbox{\d{m}}$,哥德語變為 taihun。語言學家猜測 de 是由 duo(2) 變來的,hur 與哥德語的 handus(手)相關,因此 10 的原意是雙手。

如果用十進位數數目,18 所代表的數目是再清楚不過的,但各民族表示 18 時的語意卻有很大的變化:

語言 「18」的說法 語意 算式
acht-zehn 8-10 8+10
dix-huit 10-8 10+8
古希臘 okto-kai-deka 8-及-10 8+10
拉丁 duo-de-viginti 2-從-20 20-2
不列顛 tri-ouch 3-6 3×6
威爾斯 deu-naw 2-9 2×9
墨西哥 caxtulli-om-ey 15-及-3 15+3
芬蘭 kah-deksan-toista 2-從-第二 2 × 10-2

我們說十八,十在前,八在後,用的是加法。若是八十,則八在前,十在後,用的是乘法。十、百、千……是十進位的位名,一、二、……九是十進位的個位數。位名與個位數合用,有一定的算法,知道它表示什麼樣的數目,這是有位名的十進位命數法。

德語的 zehn (10) 不是位名,只表示 10 這個特定的數目。因此 acht-zehn 雖然八在前十在後,用的卻是加法,而表 18。德語中要表示十這個位名的辦法是在字尾加上 zig,所以 80 是 achtzig。英語屬於德語系,用法類似,但變化更大:ten (10)、eighteen (18)、eighty (80)。

有位名十進位的命數法是經過長期發展才完備的。在還未徹底了解十進位的原理之前,各民族因環境想法各有不同,對較小數目有種種不同的計數法,因此反應在命數方面也就變化多端了。

從不列顛、威爾斯或墨西哥對 18 的說法,可見他們認為 6、9 或 15 是相當熟悉的數目,因此用來做為構成 18 的一部分。然而,10 到底是十進位的計數單位,因此通常用它和它的倍數做為命數的參考標架,譬如把 18 分解成 10 與 8 兩部分,或看成 20-2 就是。

11 的德語系字源 ain-lif(哥德語)就是 one-left,即數了 10 剩下 1 的意思;12 (twa-lif) 就是 10 餘 2。人類數到 10 算是一大階段,德語系的 11,12 還是以 10 為主,數起來不順暢。13 是 3 和 10(英語 thirteen,哥德語類似),不再是 10 餘 3,這才喘了一口氣,而能一路數下去。法語從 11 到 16 的說法是 1-102-10、……一直到 6-10,到了 17 以後,則倒過來數,成為 10-710-810-9。它的道理似乎也可以用上面的說法來解釋。

拉丁語的 19 (un-de-viginti)、18 (duo-de-viginti) 就是「20 差 1」、「20 差 2」的意思。這是倒數法──從較熟悉的數倒數回來,愛奴人甚至從 10 倒數到 6(=10-4)。西洋人把五點五十分說成六點差十分,也是這樣的用法。

芬蘭語表 18 時用到的「第二」,指的是第二個 10。從 1 到 10 是第一個 10, 從 11 到 20 是第二個 10。所以 11 要說成 yksi-toista,也就是 1-第二。我們說從1901到2000年是二十世紀,也是同樣的用法。20、30、……、90 這些 10 的倍數是怎麼命名的?如果是純粹的十進位,則除了 20 可能另有特別的說法外,通常都是類似 2 x 103 x 10、……、9 x 10 或簡化了的說法。當然也不完全如此,譬如阿拉伯語把 3 (palapun)、……,如了表多數的字尾 a,就變成了 30 (palapuna)、……,而蘇丹的 20、30、……與2、3、……及 10 都沒有關係。

如果受了二十或六十進位的影響,那麼 10 的倍數的命數法就變得很複雜,譬如法語到 60 為止都是十進位,但 70 卻說成 60-10,80 說成 4-20,90 說成4-20-10,而 99 就說成了 9 及 4-20-10 (neuf et quatre-vingt-dix)。

大致說來,人類數到 100 以後,對進位的原理有了相當的了解,所以百位數以上的命數法變得很規矩;當然百位數以下,就如現代的法語那樣,因為受了深厚的傳統文化的影響,還是依然故我,改不過來的。

懂得進位的原理後,要把數目愈數愈大,需要既是為各個數階的位名來命名。「百」的語意是什麼呢?就中國語言而言,這也不過借「白」的發音而已;至於原來發的音代表什麼樣的意思就不清楚了。由於印歐語系經過長期而複雜的演變,我們地無法直接從英語的 hundred 看出它的語意。根據語言學家的研究,印歐語的 10 原來是 dek$\mbox{\d{m}}$,由於語音的演變,到了哥德語就變成了 taihun,而表示十十的百就用了 Taihunt-Taihun,再經漫長的演變,前者變成了德語的 zehn、英語的 ten,後者變成了德語的 hundert,英語的 hundred。其他的印歐語系語言的「百」字,也是這樣變來的。所以「百」在印歐語系是十十的意思。

根據語言學家的研究,德語系的千 (thousand) 應該是「大」百的意思──比百還大的計數單位,所以由十而百而千都離不開十進位的十。然而拉丁語的千 (mille) 則追不出原意。如果其意不是「大」百,那麼哥德語與拉丁語分家時,數數目還未數到一千呢!立陶宛的 tukstantis 及古斯拉夫的 tysesta 則是借自哥德語的 pusundi(千,後來演變成thousand),兩民族接觸時,借用對方的位名也是命數的一種方法。

有了千之後,西方又一大陣子沒出現更大的位名,要數更大的數目,則用十千、百千。馬可孛羅說,在中國看到 milli-one(=成千上萬,mile=千,One=很多)的人。直到十五世紀,milli-one 才演變成 million(e),而專指百萬這個數。類似這種「成千上萬」的命數法的例子還很多,譬如中國的萬,埃及的十萬都是 註1

到了千千才用新的位名 million(百萬),這樣省去中間的位名,使用起來很方便,因此位名千進位漸漸成為西方命數法的準則。現在在科學上,無論是 10 的正次方或負次方,通常的做法是每三階才給一位名。

在中國,正次方的位名採萬進位已經逐漸變成傳統 註2 。然則在 10 的負次方方面,因為傳統薄弱,除了分(10-1)、厘(10-2)、毫(10-3)外,次方稍大些,位名就分歧不定。其實大的負次方只在科學上使用,為求中西一致,可用位名千進位的命數法。譬如「微」已習慣表 10-6。我們可以把 10-410-5 說成百微、十微,而不另給位名。同樣的,只要 10-9 有位名(譬如塵),則如何稱呼 10-710-8,就不成問題 註3

   

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編輯:李渭天 最後修改日期:2/18/2002