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.原載於科學月刊第十七卷第十期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
 

祖氏原理

曹亮吉

 
 

當大家充分了解了微積分基本定理的內涵,知道從微分可以反求積分後,積分學進入了成熟時期。雖然如此,在此之前,面積與體積也求得不少,祖氏原理是其中最具威力的方法之一。

祖沖之(429∼500)南北朝人,他的主要貢獻為新編大明曆,計算圓周率到小數第六位,以及計算球體的體積。在計算球體體積時,他曾經比較某兩個高度相同的立體,發現在距底面同高處,兩者的截面積相同,所以下結論認為兩立體的體積要相同: 「緣冪勢既同,則積不容異。」(勢:(同)高,冪:截面積。)這就是祖氏原理 1

用現代積分符號來表示,祖氏原理說:f(x)=g(x),則

\begin{displaymath}
\int_\alpha^\beta f(x)dx=\int_\alpha^\beta g(x)dx \qquad
(\...
...ntfamily{cwM15}\fontseries{m}\selectfont \char 52}}=f(x)=g(x))
\end{displaymath}

把它稍做延伸:如果 f(x):g(x)=a:b,則

\begin{displaymath}
\int_\alpha^\beta f(x)dx : \int_\alpha^\beta g(x)dx=a:b
\end{displaymath}

所以無論怎麼說,祖氏原理最是簡單不過,然而它的用途可真不小。

我們以同底等高的柱與錐的體積比為例,說明祖氏原理的應用。考慮一正立方體的一頂點及不含此頂點的三個面,則任一面與此頂點可聯成一方錐。這種特殊的方錐稱為「陽馬」。這樣得到的三個完全相同的陽馬因能合組成一正立方體,所以正立方體與陽馬的體積比為 3:1。其次考慮任一角錐,亦即底面為多邊形的錐。我們拿一個高度相同的陽馬與此角錐相比,則距底面同高處的截面面積之比,很容易算得是底面積之比,是個定比(不因高度而有所不同),所以角錐與陽馬的體積比就是它們的底面積之比。由於柱的體積就是底面積乘以高度,所以角錐與陽馬的體積比就是角柱與正立方體的體積比。由於正立方體是陽馬的三倍大,我們就推得角柱與角錐的體積比仍然為 3:1。

更一般的錐,其底面是由封閉曲線所圍成,而不是多邊形。然而封閉曲線可以看成為多邊形(當邊數增加時)的極限。所以透過極限的觀念,我們就得一般同底等高的柱與錐的體積比仍為 3:1。

如果前述的 f(x)g(x) 代表兩平面區域的截線長,則祖氏原理就是說:截線長有定比的兩等高平面區域的面積比,等於該定比。具體的應用例子如:等高兩三角形的面積比,等於其底邊比;半徑為 a 的圓與半長短軸為 ab 的橢圓,兩者的面積比為 a:b 等等。

祖氏原理在西方稱為 Cavalieri 原理。Cavalieri(Bonaventura, 1598∼1647年)為伽利略的學生,是義大利 Bologna 大學的教授。在1635年他出版一本書《Geometria indivisibilibus continuoum》(不可分連續體的幾何學),把平面區域看成是由沒有寬度的平行線條所組成,體積則由沒有厚度的平行平面區域所組成。然後比較同高處的截線長或截面積,而得出以其為名的積分原理。



圖一

Cavalieri 用其原理最成功的例子是,計算曲線 y=xk 下的面積。為了熟悉 Cavalieri 的想法,我們先看 k=1 的情形。如圖一,Cavalieri 想證明三角形 BCD(或 ABD)的面積為平行四邊形 ABCD 之半。在距兩底邊 ADBC 等高處,引平行於底邊的直線,得截線 EFGKLM。由於 $\triangle BCD$$\triangle ABD$ 分別由平行移動的線段 FGKL 所組成,而 $\overline{FG} = \overline{KL}$,所以 $\triangle BCD$$\triangle ABD$ 的面積相等。又設 $\overline{AD} = \overline{BC} = c$, $\overline{FG}=x$, $\overline{EF}=y$。因為 c=x+y,所以 $\sum c=\sum (x+y)=\sum x + \sum y$。在這裡 $\sum x$ 表示: 隨著 FG 做平行移動,從頂點 D 變化到底線 BC,所得截線長 $\overline{FC}=x$ 之和。從平面區域是由平行的截線所組成的這種觀點,$\sum x$ 正表示 $\triangle BCD$ 的面積。同理 $\sum y$ 表示 $\triangle ABD$ 的面積,$\sum c$ 表示平行四邊形的面積。既然 $\triangle ABD$$\triangle BCD$ 等積,由 $\sum c=\sum x+\sum y$ 可知,$\triangle BCD$ 的面積為平行四邊形 ABCD 之半,即 $\sum x=\frac {1}{2} \sum c$

以現代的符號來表示,$\sum x$ 相當於 $ \int _0^c x \; dx$,而 $\sum a$ 相當於 $ \int _0^c a \; dx$。因為 Cavalieri 注意的是兩個積相比的比值,而 $\sum x$$\sum c$ 看成 $ \int _0^c x \; dx$$\int _0^c c\;dx$ 後,其比值仍舊。用這樣的看法,上面的結果就變成

\begin{displaymath}
\int _0^c x\;dx = \frac{1}{2} \int _0^c c\;dx= \frac{1}{2}c^2
\end{displaymath}

這就是我們熟知的公式。



圖二

再看 k=2 的情形,由 $\sum c^2=\sum(x+y)^2$ $=\sum x^2+2\sum xy+\sum y^2 $ 可得 $\sum c^2 =2\sum x^2+2\sum xy$ 為了求得 $\sum xy$,令 $x= \frac {1}{2}c-z ,y= \frac{1}{2}c+z$,則 $\sum xy=\sum(\frac{1}{4}c^2-z^2)= \frac{1}{4} \sum c^2-\sum z^2 $。 設 PQBCAD 的中點,而 PQBDO,則 z 就是圖二中的 $\overline{RF}$。假設有一立體以 $\triangle OQD$(及 $\triangle OBP$)為底,而在 RF 上的截面積為 z2,則該立體的體積就是 $\sum z^2$。這個立體在 $\triangle OQD$ 上的部分與 $\sum x^2$ 所相應的立體是相似的:它們的高度比為 1:2,截面積比為 1:4。所以將 Cavalieri 原理加以推廣應用就得體積比為 1:8,因此 $\sum z^2: \sum x^2=1:4$。由此可得 $\sum xy=\frac{1}{4} \sum c^2-\frac{1}{4} \sum x^2 $,代回 $\sum c^2 =2\sum x^2+2\sum xy$,就得 $\sum c^2 =2\sum x^2+ \frac{1}{2} \sum c^2 - \frac{1}{2} \sum x^2$,即 $\sum x^2 =\frac{1}{3} \sum c^2 $(即 $\int _0^c x^2dx = \frac{1}{3} c^3$)。

若以同樣的方法處理 $\sum x^3$,則

\begin{eqnarray*}
\sum c^3 &=& \sum (x+y)^3 \\
&=& \sum x^3 + 3 \sum x^2y+3 \s...
... \frac{1}{6} \sum c^2 \\
&=& 2 \sum x^3 + \frac{1}{2} \sum c^3
\end{eqnarray*}


因此 $\sum x^3= \frac{1}{4} \sum c^3 $(即 $\int_0^c x^3=\frac{1}{4}c^4 $)。

如此逐步上推,Cavalieri 就得到曲線 y=xk 下的面積為 $\sum x^k = \frac{1}{k+1} \sum a^k$(即 $\int_0^c x^k$ $= \frac{1}{k+1} c^{k+1} $)這樣的結論。Cavalieri 的推論過程雖然不免粗糙,但其想法可以經由現代嚴格的積分方法與性質而得以實現;這是 $\int x^k dx$ 的另一種求法 2

祖氏原理(或 Cavalieri 原理)雖然訴諸直觀,但若以現代積分的形式出現,則毫無意義不明之處。如此直觀嚴格兩種性質具備,所以在正式學習積分方法以前,用它來說明一些面積與體積的公式,在教學上是很方便的事。

 
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編輯:楊佳芳 / 校對:楊佳芳 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002