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.原載於科學月刊第十七卷第二期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
 

牛頓如何突破微積分學

曹亮吉

 
 

誰都知道牛頓(1642∼1727年)是微積分最重要的締造者,但前有古人,後有來者,牛頓式的微積分到底是什麼樣子卻是饒富趣味的一個問題。 積分的觀念可遠溯到阿基米德。遠的不說,從十七世紀初期到牛頓進入微積分歷史之前,還有 Fermat、Wallis 等人做了些微積分學的開展工作。 和牛頓同時及稍後的,還有萊布尼茲、第一代的 Bernoulli 世家等微積分人物。牛頓以後,微積分繼續發展,領域擴張了。外貌也變了,一直到一百五十年後的十九世紀下半葉才定型。如果牛頓再生,拿起現代的微積分課本,他一定要好一陣子才會習慣於課本的表現方式;參加微積分考試,也可能有好幾題題目看不懂。

牛頓在微積分方面的第一件重大發現就是二項展開式,而且也就是二項展開式使他在微積分方面有了重大的突破。

正整數指數的二項展開式

\begin{displaymath}
(1+x)^n = 1+ {n \choose 1} x + {n \choose 2} x^2 + \cdots
+ {n \choose n} x^n
\end{displaymath}

早在牛頓之前就知道了,用它來求 f(x) = xn,的微分也是前人就已經知道的事(用現代的符號)
f'(x) = $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{x^n(1+\frac{h}{X})^n-x^n}{h}$  
  = $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}
\frac{x^n(1+\frac{nh}{x}+h^2(\cdots))^n-x^n}{h}$  
  = $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\frac{nhx^{n-1}+h^2(\cdots)}{h}$  
  = $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}nx^{n-1}+h(\cdots) = nx^{n-1}$ (1)

1665年,牛頓發現了一般指數的二項冪級展開式:
$\displaystyle (1+x)^{\alpha}$ = $\displaystyle 1+ {n \choose 1} x + {n \choose 2} x^2+ \cdots + {\alpha \choose k} x^k + \cdots$ (2)
$\displaystyle {\alpha \choose k}$ = $\displaystyle \frac{\alpha(\alpha -1) \cdots (\alpha -k+1)}{k!}$ (3)

因此 $f(x) = x^{\alpha}$ 的微分也可依樣畫葫蘆,輕易求得;雖然 n 換成 α 後, (1)式中的 (…) 變成無窮項,但牛頓是不在乎的。

(1+x)n,似乎只是把 ${n \choose k}$ 變成無窮項,但事實上, 當時對二項係數的了解並不是它的公式(當時沒有這樣的公式), 而是它在 Pascal 三角形中為上面兩項之和這樣的關係。 牛頓就是從這樣的關係,經過冗長的內插推演工作,而猜出公式(2)和(3)。

牛頓回憶說:「在1664與1665年間的冬天,我讀了 Wallis 的《Arithmetica Infinitorum》,也想用它的方法來尋找圓的面積,我發現一個求圓面積的無窮級數,以及另一個求雙曲線面積的無窮級數……。」

Wallis 知道

\begin{displaymath}
\frac{\pi}{4} = \int^1_0(1-x^2)^{\frac{1}{2}}dx
\end{displaymath} (4)

而為了求得右邊的積分,他讓 p, q 在正整數中變化,計算

\begin{displaymath}
a_{p,q} = \int^1_0(1-x^{\frac{1}{q}})^p dx
\end{displaymath}

之值。他找到 ap,q 之間的一些關係,然後用內插法,把這些關係推演而得一些 pq 不是整數時的 ap,q 之值。 再經過非常複雜的過程,他終於推得
\begin{displaymath}
\frac{\pi}{4} = a_{\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}} = \frac{2 \cdo...
...ot \cdots \cdot
\frac{2n \cdot (2n+2)}{(2n+2)^2} \cdots\cdots
\end{displaymath} (5)

牛頓考慮的是

\begin{displaymath}
f_n(x)=\int^x_0(1-x^2)^{\frac{n}{2}}dx
\end{displaymath}

n 為偶數時,fn(x) 都可求得(為多項式),他再從這些多項式系數間(基本上是 Pascal 三角形)的關係,用內插法推演出 f1(x) 的係數,而得
f1(x) = $\displaystyle \int^x_0(1-x^2)^{n/2}dx$  
  = $\displaystyle x-\frac{\frac{1}{2}x^3}{3}-\frac{\frac{1}{8}x^5}{5}-\frac{\frac{1}{16}x^7}{7}-\frac{\frac{5}{128}x^9}{9} - \cdots$ (6)

因此
\begin{displaymath}
(1-x^2)^{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{8}x^4 - \frac{1}{16}x^6 - \frac{5}{128}x^8 \cdots
\end{displaymath} (7)

牛頓與 Wallis 最大的不同處是,他把積分的上限由固定的數變成變數,因此得到冪級數的表示。在(6)中,讓 x=1 就得
\begin{displaymath}
\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{6} -\frac{1}{40} - \frac{1}{112} - \frac{5}{1152} - \cdots
\end{displaymath} (8)

而在(7)中,他注意到 (-x2)k 的係數可表成為

\begin{displaymath}
\frac{1}{k!} \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)
\cdots (\frac{1}{2}-k+1)
\end{displaymath}

由此推廣就得一般的二項冪級數展開式(2)、(3)。

當然,牛頓知道內插推演並不是證明;為了試驗他的結果, 他把 $(1-x^2)^{\frac{1}{2}}$ 的冪級數展開自乘一次,結果發現除了 1-x2 外,餘項都消失了。 他又把 $(1-x^2)^{\frac{1}{2}}$ 看成是一個數 1-x2 的開方, 而用平常的開方法作形式上的開方,也得到同樣的冪級數展開式,這給了牛頓很大的信心: 他不但確定二項展開式是對的,而且對冪級數用一般代數的方法來運算也就不再遲疑了。

(1)式的要緊處是分母 h 被約掉了。這在多項式是辦得到的;若把函數表成冪級數時也辦到了。現代的微積分課本,在處理三角函數的微積分時,都從正弦函數出發,而且無論是先做它的微分或先做積分,總免不了要處理 $\lim_{h \rightarrow 0} \sin \frac{h}{h}$。 這堛漱壎嶼O約不掉的,所以這個極限值的處理就是現代三角學微積分的重點所在。 我們不知道牛頓會不會處理它,但我們知道牛頓研究三角函數的微積分是從 $\sin^{-1}x$ 冪級數展開入手的。



圖一

如圖一,Q 為單位圓上的一點,QP 為垂線,P的坐標為 x ,則 $\angle QOP$cos-1x,因此 $\theta = \angle QOR = sin^{-1}x$, 而扇形 QOR 的面積正好是 $\frac{1}{2} \theta$。 另一方面,扇形 QOR 的面積正好是曲線 RQ下的面積減去三角形 OPQ 的面積, 因此

\begin{displaymath}
\sin^{-1}x = 2(\int^x_0 \sqrt{1-x^2}dx-\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2})
\end{displaymath} (9)

這時後,牛頓用上了 $(1-x^2)^{\frac{1}{2}}$ 的冪級數, 再經逐項積分及兩級數的合併,他就得到
\begin{displaymath}
\sin^{-1}x = \sum^{\infty}_{n=1} a_{2n-1} x^{2n-1}
\end{displaymath} (10)


\begin{displaymath}
a_{2n-1}=\frac{1^2 \cdot 3^2 \cdots (2n-3)^2}{(2n-1)!} , n \leq 2; a_1=1
\end{displaymath} (11)

假設 $x=\sin \theta$ 的冪級數為
\begin{displaymath}
x= \sin \theta =\sum^{\infty}_{n=0} b_m \theta^m
\end{displaymath} (12)

將它代入(10)式,得
\begin{displaymath}
\theta = \sin^{-1}x = \sum^{\infty}_{n=1} a_{2n-1} (\sum^{\infty}_{m=0}b_m\theta^m)^{2n-1}
\end{displaymath} (13)

比較兩邊 θ 次方的係數,就得
\begin{displaymath}
b_{2m} =0 , b_{2m-1}=(-1)^{m-1}\frac{1}{(2m-1)!}
\end{displaymath} (14)

亦即
\begin{displaymath}
\sin \theta = \sum^{\infty}_{m=1} \frac{(-1)^{m-1}\theta^{2m-1}}{(2m-1)!}
\end{displaymath} (15)

用類似的方法可得
\begin{displaymath}
\cos \theta = \sum^{\infty}_{m=1} \frac{(-1)^{m-1}\theta^{2m}}{(2m)!}
\end{displaymath} (16)

由(15)、(16)兩式,用逐項微分及積分的辦法,牛頓得到正、餘弦兩函數的微分與積分,

$\tan^{-1}x$ 的冪級數也可用來計算圓周率,是微積分的重要課題之一,現代的微積分是

\begin{displaymath}
\tan^{-1}x = \int^x_0 \frac{dx}{1+x^2}
\end{displaymath} (17)

出發,將二項式 (1+x2)-1 以(幾何)冪級數展開,再逐項積分而得
\begin{displaymath}
\tan^{-1}x = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7} + \cdots
\end{displaymath} (18)

這樣做法的先決條件是知道 $\tan^{-1}x$ 的微分就是 $\frac{1}{1+x^2}$;但正好相反.牛頓在處理所謂 「Agnesi 的女巫」 註1 $y = \frac{1}{1+x^2}$ 這種曲線下的面積時; 先知道 $\frac{1}{1+x^2}$ 的積分就是 $\tan^{-1}x$,因此得到 tan-1x 的冪級數(18)。



圖二

如圖二,設 OPAQ 為一圓直徑 OA 兩端的切線,設 PQ 垂直於切線, 而 OQ 交圓於 BBC 平行於切線而交 PQC。若 P 為動點, 則 C 的軌跡就是所要的曲線。若把 OP, QA 分別當成 xy 軸, 令 OA 的長度為1,P 點的坐標為 x,則 C 點的高度正是 $\frac{1}{1+x^2}$, 這正是曲線的函數。而牛頓要計算的正是右式的積分。牛頓把變數換成 t=OB。 由 OB:OQ = PC:PQ,可得

\begin{displaymath}
t = OQ \cdot PC = \sqrt{1+x^2} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
x = \frac{\sqrt{1-t^2}}{t}
\end{displaymath}



圖三

因此

$\displaystyle \int^x_0\frac{dx}{1+x^2}$ = $\displaystyle \int^t_1(\frac{-t^2}{\sqrt{1-t^2}}
- \sqrt{1-t^2})dt$  
  = $\displaystyle \int^t_1 td\sqrt{1-t^2}-\int^t_1\sqrt{1-t^2}dt$  
  = $\displaystyle t \sqrt{1-t^2} \vert^t_1 - s \int^t_1\sqrt{1-t^2}dt$  
  = $\displaystyle t \sqrt{1-t^2} + 2 \int^1_t \sqrt{1-t^2}dt$ (19)

這個時候,請看圖三。設圓半徑 OD =1 , OE = t, 則 $OD = \sqrt{1-t^2}$ 。因此上式的第一項為 $\triangle ODE$ 面積的兩倍,而第二項則為曲線 DF 下面積的兩倍。所以由上式可得
$\displaystyle \int^x_0\frac{dx}{1+x^2}$ = $\displaystyle 2 ( \mbox{{\fontfamily{cwM5}\fontseries{m}\selectfont \char 109}\...
...0pt plus0.2pt minus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}} )$  
  = $\displaystyle \angle DOE = \tan^{-1}\frac{\sqrt{1-t^2}}{t} = \tan^{-1}x$ (20)

有了二項冪級數展開式,牛頓得以在微積分有所突破,一般冪級數也就變成了牛頓微積分的主要工具。微積分在他手中成了詮釋自然現象最犀利的工具。 在現代的微積分課本中,冪級數只是其中的一章,而且是在整本書的後半,而二項展開式頂多是其中的一小節,甚至還可能不見蹤影,牛頓再生,當感嘆不己。

 
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編輯:康明軒 / 校對:鄧惠文 / 繪圖:張秀惠 最後修改日期:5/31/2002