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.原載於科學月刊第十六卷第八期
.作者當時任教於台大數學系
 

怎麼說它有多彎?

曹亮吉

 
 

曲線與曲面的特性在其彎曲。在數學上,我們不似要說它們是彎曲的,而且還得說它們彎曲到什麼程度。衡量彎曲的程度,在數學上叫做曲率。我們先談小面曲線的曲率。

先說直線,它到處都平直不彎曲,所以曲率到處都是 0。再看圓,一個圓的彎曲程度到處都一樣,所以曲率是個常數;但大的圓比小的圓平直些,所以大的圓的曲率要較小的來得小。若大小兩圓的半徑各為 Rr,則同樣繞了一圈(彎曲了一圈),大圓要花 $2\pi R$ 的弧長,而小圓則為 $2\pi r$,所以 $\frac{1}{R}$$\frac{1}{r}$ 應該可以描述大小兩圓的彎曲程度,也就是說圓的半徑的倒數,就是圓的曲率。



圖一

以上是就整個圓而討論的。就局部而言,圓的彎曲可以其切線斜角的變化來衡量。斜角的變化與弧長的變化之商代表曲度的平均變化率,如圖一,設圓 O 的半徑為 R,我們很容易看出來:從 P 點到 Q 點切線斜角的變化 θ 正好是 $\angle POQ$,而弧長的變化 $\widehat{PQ}$ 正好是 $R\theta$,兩者之商

\begin{displaymath}\frac{\theta}{\widehat{PQ}}=\frac{\theta}{R\theta}=\frac{1}{R}\end{displaymath}

所以圓的曲率恆為$\frac{1}{R}$



圖二

推廣到一般的曲線上,如圖二,我們可以考慮曲線從 P 點到 Q 點切線斜角的變化 θ, 將其除以弧長 $\widehat{PQ}$,然後讓 Q 點逼近 P 點,如此所得的極限值

\begin{displaymath}K=lim_{P\rightarrow Q}\frac{\theta}{\widehat{PQ}}\end{displaymath}

就稱為曲線在 P 點的曲率,顯而易見的是:由此定義求得的直線曲率為 0,而圓的曲率為其半徑的倒數。

從微分的觀點來看,曲線 y=f(x) 的曲率可看成切線斜角 $\theta=\tan^{-1}f'(x)$ 對弧長 $s=\int_{x_0}^x\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$ 的變化率, 含 f(x) 的一次及二次導函數。牛頓等人首先導出正確的公式:

\begin{displaymath}K=\frac{f''(x)}{(1+f'(x)^2)^{\frac{3}{2}}}\end{displaymath}

以拋物線 y=af(x)=ax2 為例,則因 f'(x)=2ax ,f''(x)=2a,所以曲率為 $\frac{2a}{(1+4a^2x^2)^{\frac{3}{2}}}$。當 x=0 時,亦即在拋物線的頂點處,曲率的值最大 (=2a),而當 P 點離頂點愈遠,亦即 x 的絕對值愈大時,曲率愈小,這正符合我們對拋物線彎曲變化的印象。



圖三

我們可以把曲率做另一種幾何式的解釋:以 A 點為新坐標系統的原點,過 P 點的切線為新的 x 軸, 則曲線的新的函數 y=f(x)P 點,即 x=0 處的導函數為 0(因為切線就是 x 軸),所以曲率為 f''(0)。 而此時 y=f(x) 的 Taylor 展式為

\begin{displaymath}y=\frac{1}{2}f''(0)x^2+\cdots\end{displaymath}

所以曲率

\begin{displaymath}K=f''(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2y}{x^2}\end{displaymath}

如圖三,y 代表 Q 點到切線的距離 QS, x 則為 PQ 在切線上的投影 PS, 曲率變成

\begin{displaymath}K=\lim_{Q\rightarrow P}\frac{2QS}{PS^2}\end{displaymath}

這樣的幾何解釋和坐標系統無關。

如果用拋物線原來的公式 y=f(x)=ax2P(x0,y0)Q=(x0,y0),則因切線方程式為 y-y0=2ax0(x-x0),由此可算得 QS,PS,經整理後得

\begin{displaymath}\frac{2QS}{PS^2}=\frac{2a(1+(2ax_0)2)^{\frac{1}{2}}}{(1+2a^2x_0(x+x_0))^2}\end{displaymath}

$Q\rightarrow P$,即 $x\rightarrow x_0$ 時,我們就得到拋物線原來的曲率公式。

有時候曲線的方程式以參數來表示比較方便: $x=x(\theta)$,$y=y(\theta)$,這時候的曲率公式則為

\begin{displaymath}K=\frac{y''x'-x''y'}{(x'^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}\end{displaymath}

以橢圓 $x=a\cos\theta$,$y=y(\theta)$ 為例,則

\begin{displaymath}K=\frac{(-b\sin\theta)(-a\sin\theta)-(-a\cos\theta)(b\cos\the...
...}{2}}}=\frac{ab}{(a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta)^\frac{3}{2}}\end{displaymath}

假定 a>b>0,則 $\theta=0$,π 時,曲率 $(=\frac{a}{b^2})$ 為最大,而當 $\theta=\frac{\pi}{2}$$\frac{3}{2}\pi$ 時,曲率 $(=\frac{b}{a^2})$ 為最小, 這和橢圓彎曲給我們的印象相符。(如果 a=b>0,則曲率永遠是 $\frac{1}{a}$,這正是半徑為 a 的圓。) 再看雙曲線:$x=a\sec\theta$$y=b\tan\theta$,此時

\begin{eqnarray*}
K&=&\frac{-a(\sec\theta\tan^2\theta+\sec^3\theta)\cdot b\sec^2...
...\\
&=&\frac{-ab}{(a^2\tan^2\theta+b^2\sec^2\theta)\frac{3}{2}}
\end{eqnarray*}


這裡的曲率之所以為負的原因是這樣的:弧長的方向以參數 θ 增加的方向為準,而順著這樣的方向, 曲線一直在切線的右邊,所以切線的斜角(是 θ 的函數,但不是 θ 本身)一直在減少,其相對於弧長的變化率是為負值,因此曲率為負。如果 $y=a\sec\theta$$y=-b\tan\theta$,則這組參數方程式仍然表示雙曲線,只是當參數增加時,曲線是左彎的(曲線在切線的左側,而根據曲率公式算得的曲率則為正數。 我們的結論是這樣的;曲率的絕對值表示曲線彎曲的程度, 曲率的正負則表示彎曲的方向(以參數為準)。回到 原來雙曲線的曲率公式,我們發現在頂點時,即 $\theta=0$,π ,曲率的絕對值最大 $(=\frac{a}{b^2})$。而當曲線離開頂點越遠,即 $\vert\theta\vert$ 愈大,即曲率的絕對值愈小,而終於趨近於 0,這與雙曲線圖形給我們的印象相符。

以上所談的都是平面中的曲線。空間中的曲線除了彎曲外,還得看它扭離平面的程度,討論起來非常麻煩,我們就擱下不談。

在曲線上可以談曲率的先決條件是要有切線,而且切線的變化率也要存在; 換句話說,曲線的函數要有二次以上的須函數。同樣的,要在曲面上討論曲率, 我們要求它們的函數要有二次以上的偏導函數。過這樣的曲面上的任一點都有切平面;垂直於切平面而過切點的直線稱為法線。 我們考慮一個含此法線的平面,它與曲面截成一曲線。我們可以以法線為軸,將此平面旋轉 φ 角 $(0\leq\varphi\leq2\pi)$ 就得到所有的含此法線的平面, 這些平面與曲面相截所得一連串曲線所呈現的各個曲率 $K(\varphi)$ 全體,可做為曲面在該點的曲率。

也許直覺上我們會認為 $K(\varphi)$ 的變化可以非常大,它如何能有效地描述一曲面的彎曲程度呢?其實只要稍加說明,我們會發現 $K(\varphi)$$0\leq\varphi\leq2\pi$, 之間有沌地的關係。首先,我們知道在常態下(假設曲面有連續的二次偏導函數), $K(\varphi)$ 為 φ 的連續函數。但 $K(0)=K(2\pi)$, 所以所有的 $K(\varphi)$ 值組成實數上的一個閉區間 [K20xA141K1]。也就是說 $K(\varphi)$ 有最大值 K1,最小值 K2,而其他的 $K(\varphi)$ 值都落在兩者之間, 而且兩者之間的任何值都是某個 $K(\varphi)$ 值。不但這樣, Euler 還發現 $K(\varphi)$ 有如下的性質:若以 K1 的方向為 $\varphi=0$,即 $K(\varphi)=K_1$,則 $K(\frac{\pi}{2})=K_2$, 亦即曲率最大及最小的兩個方向互相垂直。更有進者, 在這種方向取法下, $K(\varphi)=K_1\cos^2\varphi+K\sin^2\varphi$

要證明這個 Euler 的定理並不難。只要回到我們談過的曲線曲率的另一種幾何解釋就好: 我們取所考慮的點為原點,該點的切平面為 x-y 面,則代表曲面的函數,其 Taylor 展式的常數項及一次項都要消失, 所以

\begin{displaymath}
z=Ax^2+2Bxy+Cy^2+\mbox{ {\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\sel...
...us0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 225}}
\end{displaymath}

更進一步,我們可以在切平面上選擇適當的 x 軸及 y 軸,使得 B=0(轉軸方法),因此

\begin{displaymath}
z=Ax^2+Cy^2+\mbox{ {\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfo...
...us0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 225}}
\end{displaymath}

$x=r\cos\varphi$,$y=\sin\varphi$ 為含法線的平面,則相截的曲線為

\begin{displaymath}
z=r^2(A\cos^2\varphi+C\sin^2\varphi)+\mbox{{\fontfamily{cwM2...
...us0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 225}}
\end{displaymath}

所以

\begin{displaymath}K(\varphi)=\lim_{Q\rightarrow P}\frac{2QS}{PS^2}=\lim_{r\rightarrow O}\frac{2z}{r^2}\end{displaymath}

$A\geq C$,則 A=K,為 $K(\varphi)$ 的最大值,而 C=K2,為最小值。 (若 A<C,則將 x,y 對調即可。)

我們來看一下幾個熟悉曲面的曲率。球的法線都過球心,含法線的平面截球面所成的曲線就是球面上的大圓孤, 所以 $K(\varphi)$ 恆等於 $\frac{1}{R}$-球半徑的倒數。

再看半徑為 1 的圓柱面。因為整個曲面總是在切平面的同一側, 因此 $K(\varphi)$ 都是同號,可以假定都不小於 0。當含法線的平面與圓柱的軸平行時, 它與圓柱面相截或一直線,所以此時 $K(\varphi)=0$,因此 $K(\varphi)$ 的最小值 K2=0,而 $K_(\varphi)=K_1\cos^2\varphi$K1=K(0) 發生在與圓柱軸垂直的方向,此時的曲線是半徑為 R 的圓, 因此 $K_1=\frac{1}{R}$。如此可得

\begin{displaymath}K(\varphi)=\frac{1}{R}\cos^2\varphi\end{displaymath}

事實上,當平面與軸成 $\frac{\pi}{2}-\varphi$ 角時,相截曲線為橢圓 ,其長軸為 $R\sec\varphi$,短軸為 R,切點正好是短軸的頂點,所以曲率為

\begin{displaymath}\frac{R\sec\varphi\cdot R}{((R\sec\varphi)^2\sin^2\frac{\pi}{2}+R^2\cos^2\frac{\pi}{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{R}\cos^2\varphi\end{displaymath}

這和 Euler 的結果相符。

同理,圓錐面也有相同的曲率公式,只是 R 代表的是在切點,與軸相垂直所截圓的半徑。

再看雙曲拋物面

\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=cz\quad(c>0)\end{displaymath}

的原點(馬鞍點),含法線的平面 $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$ 與曲面相截成拋物線:

\begin{displaymath}(\frac{\cos^2\varphi}{a^2}-\frac{\sin^2\varphi}{b^2})r^2=c^2z\end{displaymath}

$\tan^2\varphi=\frac{b^2}{a^2}$ 時為直線),所以

\begin{displaymath}K(\varphi)=\frac{2}{c}(\frac{1}{a^2}\cos^2\varphi-\frac{1}{b^2}\sin^2\varphi)\end{displaymath}

我們發現

\begin{displaymath}K_1=\frac{2}{ca^2}\quad,\quad K_2=-\frac{2}{cb^2}\end{displaymath}

它們互為異號,這正表示切點附近的曲面同時會出現在切平面的兩側。

K1,K2 稱為曲面在切點的主曲率,它們當然完全標示曲面在該處彎曲的程度。 如果令 $H=\frac{1}{2}(K_1+K_2)$, K=K1K2,則 HK 當然也同樣標示曲面的彎曲程度, 而且對某些問題而言,HK 有時更具重要意義,而成為微分幾何探討的重要對象。 (H 稱為均曲率,K 稱為高斯曲率。)

 
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編輯:李渭天 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002