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.原載於數學科學月刊第十六卷第二期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
 

證明

曹亮吉

 
 

希臘的幾何學一直到現在都還是正確的,我們都還在研讀;現代人如果還有研讀希臘物理學的,那也不過是基於歷史的興趣,因為它已經是不正確的。兩者同樣是希臘的產物,到頭來為什麼會有那麼大的差別呢?

一套理論之所以能為人所接受是基於有說服人的能力。說服的方法可以是類比的、例舉而加以歸納的、驗證的,也可以是演繹的。中國古代的數學大都是例舉的,而希臘在早期就奠定了演繹的方法。演繹分兩部分,一部分是前題、假設或公理,是演繹的出發點,另一部分是證明,亦即從出發點推演到結論的過程。出發點真確,證明又嚴謹,結論才能正確。

希臘從西元前六世紀的 Thales 開始注重推論的方法,到了亞里斯多德已經建立起嚴謹推論的邏輯方法。另一方面,希臘的數學家能夠慎選幾何學的出發點:點、線、圓及彼此之間的關係,而由歐幾里得建立起正確嚴謹的幾何學。歐幾里得在其十三卷巨著《原本》中,由少數幾個公理,用邏輯方法,證明了465個定理。反觀希臘的物理學,因其基本假設的錯誤,再怎麼嚴謹的邏輯也推演不出什麼有意義的結論。由於幾何學的成功,「證明」成為數學的註冊商標。於是數學離不了證明,更有甚者,「數學就是證明」這種極端的想法也就相當流行。

數學中的證明,其最大的功用在於確立結論的百分之百正確性。根據百分之百正確的結論再證明而得的新結論也是百分之百正確。如此反覆進行,所推得的各個結論,雖然離開最原始的假設甚遠,也不用擔心其正確性。

John Aubrey 在其《Brief Lives》中提到英國哲學家 Thomas Hobbes(1588∼1679年)說:直到四十歲時,Hobbes 才在一個偶然的機會中,接觸到幾何學。他在一個圖書館媯L意中看到攤開的《原本》,攤開的地方正是原本第一卷第四十七個定理,那就是畢氏定理。Hobbes 的直覺反應是:怎麼可能!於是他讀了定理的註明,結果他發現這是根據前面的某個定理而推演出來的。於是他讀了前面的那個定理,結果他又要讀更前面的某個定理。如此繼續倒著讀,終於回到最原始也最直觀的出發點。於是 Hobbes 相信了畢氏定理,也愛上了幾何學。這是說明演繹法之有說服力的一個最美麗的故事。

反觀其他取得結論的方法,如類比、如例舉,甚至臆測也可能得到正確度相當高的結論。但是如果這樣的結論不是百分之百正確的,那麼據之以再推得的新結論其正確性又要打折扣。如此,只要距離原始的假設稍遠,結論的正確性,經過七折八扣,就幾乎等於零了。

其次,證明的功用就像歐幾里得的《原本》那樣,在於把已知的許多數學知識做個有條有理的整理,使人理解整個體系的架構。當一個人熟知這些證得的數學知識後,他就可據之以證明新的結果,開拓新的領域。

由於證明有這麼大的功用,於是「證明了什麼」就成為衡量數學家的一種重要指標。譬如在1984年中,Faltings 證明了 Mordell 的猜測,de Branges 證明了 Bieberbach 的猜測,兩人都因而聲名大噪。

另一方面,為了表示功力,於是當你證明了什麼就得趕緊發表,否則一旦別人的同樣證明搶先發表,你就有抄襲之嫌。因此,為了「誰先證明」的問題,數學家可以打起官司來。再者,為了急於表示自己的成就,數學家也可能把證明出的一些不太有意義的結果趕緊送出去發表。

由於證明在數學上占有那麼重要的地位,有關高等數學的許多課本往往也排滿了定義、定理、證明、定義、定理、證明、……,而數學的學習也往往循此方式進行。證明抽象程度有層次之分,學習者層次較低或書本的層次較高,都造成學習的障礙。有些書上常用「這是顯而易見的 (it is trivial 或 it is clear)」,這樣的字眼,但可能讀者再怎麼看都不覺得其明顯。

補助線不知怎麼來是另一類使人困擾的問題。在證明的過程中,我們往住遇到「越軌」的方法,幾何證明補助線是令人難忘例子。要證明 x2+1=y2 除 (0,1) 外無整數解,你就得超出整數範圍,到 Gauss 整域求援,要證明 xn+yn = zn, n>2 無非零整數解,你就得求諸於代數數論的方法。實函數積分往往要看成複數積分的一部分才能求出,等等。例子多得不勝枚舉。等你習慣了之後,或許你會體會到數學是一體的,「越軌」似乎是常態,正也是數學吸引人的地方。

再者,面對這一類型的課本,讀者縱使把書上每個定理的證明弄懂,對整本書的重點是否把握得住也不無問題。

其實數學並不就是證明。我們只知道牛頓創造了微積分,未曾聽說過微積分中那個定理是牛頓證明的。微積分基本定理嗎?牛頓是第一個了解到這個定理的重要性的人,但以現代的標準而言,直到十九世紀把實數、函數、極限、微分、積分的概念弄清楚之前,微積分基本定理的證明是無從進行的。我們說牛頓創造了微積分,因為他承繼了前人零碎的知識,有系統地發展了微分的技巧,將微分與積分經由微積分基本定理聯在一起而合流成微積分,又將微積分成功地應用到物理上。在這種創造的過程中,當然免不了要有些證明,但證明可能不嚴格,也不是最重要的。到了現代,數學的證明愈來愈講求嚴格,但和從前的一樣,尋找有意義的定理才是數學創造的泉源,而證明有意義的定理才會帶給數學有意義的發展。

創造理論固然比證明定理重要,但如果能證明出一連串相關定理也許也就創造了某種理論。另外,證明定理可以說是數學家磨練能力的最好辦法。在磨練的過程中,若能一方面增強實力,一方面擴展視野,有朝一日也許也會走上創造理論的道路。

每一種理論總有一些核心的定理,能夠證出這些定理當然是功德圓滿,功成名就。有些問題,因為長久不得解決,招來許多數學名家想要把它證明而後快,因此變得非常有名。譬如質數分布定理花了一百年才得證,四色定理一百多年;Fermat 問題歷三百年不得解決,Riemann 猜測也有一百多年的歷史。

Riemann 猜測關係到數論的許多問題,是解析數論中的核心問題。許多數學家沒耐心等待該猜測之得證,早已把它當做是對的,而以它為基礎,討論其他的數論問題。質數分布定理固然也很重要,但與 Riemann 猜測相比就小號多了,因為較弱形的 Riemann 猜測就可以導出質數分布定理。Fermat 問題本身就是得證,也不會使數論有所改觀;倒是因為長久以來,數學家為了證明它而發展了代數數論,因此這個問題就變得很有名,而能否將它證明也變成大家關切的焦點。四色定理之有名也和 Fermat 問題類似:本身不重要,但長久不得解決,且為了解決它而圖形理論有長足進步。

另外還有一類問題,長久以來都無法證明,最後數學家才恍然大悟,原來它們是無法證明的。平行公理是最有名的例子。經過二千二百年之久,數學家才領悟到平行公理是無法由其他的歐氏平面幾何公理推演出來的,因而創造了非歐幾何;非歐幾何的存在正證明了平行公理是不可能證明的。三大幾何作圖題,五次以上方程式的根式解等都是屬於這一類「非不為也,是不能也」的問題。一旦數學家領悟到某個問題的證明是「非不為也,是不能也」的,那麼我們就可以期待數學發展會有新的氣象。

有些定理會經數學家一再用不同的方法證明。畢氏定理起碼有370種證法,好奇、好玩的成分居多。對證明嚴謹的要求逐漸提高,也使許多定理的證明一再回爐重煉,Dirichlet 原理就是個例子 註1 。 Gauss 對代數學基本定理先後提出三種證法 註2 ,對二次互逆律先後提出七種證法,其目的則是想從不同的角度來看這些定理,希望能證得更簡單些或希望其中有些證法可以推廣到更複雜的情形。

一個定理的證明經人提出來了,怎樣判定它是對的是錯的?一年出產的定理有幾十萬個,一個人不可能一一再確定,我們只能信任內行人的判斷。通常把證明寫成初稿送請同行批評指教,然後再寫成定稿送到期刊去。期刊編輯會請行家判斷其正確性(當然更要判斷論文的價值);刊出後,數學評論會請人為文作評論,如果經過這些手續後,沒有人說它有問題,其他的數學家也就相信它的正確性,也會開始加以引用。其中較重要的定理日後就成為一般的數學知識,甚至一般的數學家也能重複它的證明。

有時候因為證明過於複雜,這種徵信手續也不免引人憂慮。1976年 Appel 及 Haken 用電腦幫助證明了四色定理 註3 後,馬上引起許多人的談論。「誰有耐心、能仔細檢查那些又長又枯燥的電腦程式及其計算結果?」就是談論的重點之一。前幾年,有限單純群的分類宣告完成時又引起了一陣騷動,因為整個分類工作並不是在一篇論文中完成的,而是行家根據十幾年來的進展,從散在各個期刊中有關這方面的論文,歸納出分類確實已經完工。根據有限單純群的行家 Gorenstein 的估計,要了解整個分類,有關的文獻就有五千頁之多。大家擔心的是:萬一其中一篇論文有些許錯誤,那麼大局是否受到影響?

由於證明在數學中的重要性,因此與證明有關的話題非常多。下一次,我們將就存在型及建構型兩類證明方式,做較詳細的討論。

 
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編輯:楊佳芳 / 校對:楊佳芳 最後修改日期:2/17/2002