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.原載於科學月刊第十五卷第十一期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
 

解析幾何

曹亮吉

 
 

幾何學及綜合幾何式的思考方式是希臘數學的傳統。幾何學幾乎是數學的同義詞,數量的研究也包含其中。這種趨勢直到十七世紀上半葉才漸有改變;那時候代數學已較成熟,同時科學發展也逼使幾何學尋求更有效的思考工具,更能量化的科學方法。在此雙重刺激之下,解析幾何學就誕生了。

雖然在希臘人的觀點中,圓錐曲線就是圓錐被平面割截的截痕,但若死守這種觀點,圓錐曲線的性質就甚難推演。Apollonius 由圓錐截痕的定義導出圓錐曲線中一些幾何量所具有的代數關係式,然後以這些關係式為基礎再導出其他的性質。這些關係式,經稍微的變形,用現代的觀點來看是這樣的(見圖一):



圖一

O 為錐線的一個頂點,P 為錐線上的任一點,HP 點至主軸的垂足,則

\begin{displaymath}
HP^2=pOH\mp\frac{p}{d}OH^2 \eqno{(1)}
\end{displaymath}

這之中,p 為過焦點而垂直於主軸的弦長(稱為正焦弦), d 則為主軸之長。橢圓時取負號,雙曲線時取正號,拋物線時, d 可以解釋成無窮大,其相應之項就為 0 而消失了。十七世紀上半葉, 法國數學家 Fermat(1601∼1665年)研究 Apollonius 的作品時, 注意到這樣的關係式,使他引進坐標,而能以代數的方法處理圓錐曲線, 因而開創了解析幾何學。

解析幾何學的另一位開山祖師是 Descartes(1596∼1650年)。他是一位法國著名的哲學家,以《Dicourse de la méthod》(1637年)一書聞名於世。他在書中闡釋人類得到知識的方法,並在附錄之一 La géométrie 中說明他的幾何方法。他所關心的是幾何作圖問題,他引進了坐標,使圖形的關係變成代數方程式,解了代數方程式,就知道如何解決幾何作圖問題。譬如,為了求得橢圓

\begin{displaymath}
y^2=px-\frac{p}{d}x^2 \eqno{(2)}
\end{displaymath}



圖二

上一點 P(x0, y0) 的法線,Descartes 的方法是這樣的(見圖二):假定法線交一主軸於 Q 點,設 PQ 長為 r,則由直角三角形 $\triangle{PHQ}$ 可得 Q 點的坐標為 ( $x_0+\sqrt{r^2-{x_0}^2},0$)。以 Q 為圓心,r 為半徑作圓,得

\begin{displaymath}[x-(x_0+\sqrt{r^2-{x_0}^2})]^2+y^2=r^2\end{displaymath}

因為 PQ 是法線,所以 (x0, y0) 是(1)、(2)兩式的重根,亦即,將(1)與(2)中的 y2,消去後,所得 x 的二次式,要以 x0 為重根。由此可得 r2 的二次式,而可求得 r 值。這樣,給了 P 點,經代數分析後就可決定 Q 點,而 PQ 就是法線。

有時作圖問題所相應的代數方程式並沒有唯一的解,所以解之間的彼此關係就以此一方程式或另一方程式表示;所有的解所構成的圖形就是這種方程式的軌跡。譬如 Descartes 考慮過著名的「四線軌跡」問題:求一點 P,使其到已知四直線的距離 di,有 d1 d2 = k d3 d4 的關係(k 為固定的長度)。我們知道一點 P(x0,y0) 到一直線 ax+by+c=0 的距離是

\begin{displaymath}\pm\frac{ax_0+by_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{displaymath}

所以滿足 d1d2 = kd3d4 的幾何作圖就變成尋求滿足 d1d2 = kd3d4 這種二次方程式的所有 P(x0, y0) 了;它的軌跡就是一個圓錐曲線。在 Descartes 之前,數學家只能用綜合幾何的方法,解決一些特殊的情形。Descartes 引進坐標,把幾何的問題變成解方程式的問題,一舉就把千古難題解決了。

Fermat 非常強調從方程式出發的觀點,也就是說不一定要先有幾何作圖的問題,才考慮相應的方程式。反過來,任一 xy 的方程式都可以看成一個幾何曲線,是值得加以研究。這種觀點,我們稱為 Fermat 式的解析幾何觀。希臘人所研究的曲線只包括直線、圓、錐線及一些可用器械作圖的曲線。Fermat 的新觀點,使幾何學的視野變得無限的寬廣了。Fermat 雖然秉持這種觀點,但他的主要著作《Ad Locos Planos et Solidos Isagoge》(1629年成書)(平面及空間軌跡, 1 ),卻遲至1679年才正式刊行,而且內容幾乎都限於二次方程式。所以解析幾何學並不因 Fermat 而迅速發展。

Descartes 雖然偶爾也從方程式出發,但在他的作品中,幾何作圖的分量太重,所談的大都是如何把幾何問題轉變成(代數)方程式,然後想著如何找兩個次數較低的方程式,將它們聯立,而得原來較高次的方程式。譬如,將 x2+bx=byc2=xy 聯立就得 x3+bx2=bc2,而 Descastes 認為從前兩式找其相應曲線的交點而得後者的解,就是把問題解決了。Descartes 式的觀點使習於傳統幾何學者反而不能領會解析幾何所提供的新方向。

代數學本身尚未完全成熟也使解析幾何的想法未能迅速推廣開來。那時,負數的觀念並不成熟,尤其是,幾何的量不能與負數有關,所以許多可以統一處理的情形,都得分成好幾個狀況,分別處理,而且只有在第一象限才有圖形。

由於代數本身的不完整,由於傳統幾何的深植人心,許多數學家對 Fermat 及 Descartes 所提供的新方向都裹足不前,甚至嚴加批評,這都使解析幾何的進展顯得相當緩慢。

Fermat 及 Descartes 之後,對解析幾何有重大貢獻的還有 Newton(1642∼1727年)、Euler(1707∼1783年)、Lagrange(1736∼1813年)、Monge(1746∼1818年)、Lacroix(1765∼1843年)、Cauchy(1789∼1857年)、Mobius(1790∼1860年)、Plucker(1801∼1868年)、Cayley(1812∼1895年)等人,至若稍有貢獻者更不計其數。貢獻人物這麼多,歷經兩個半世紀之久,內容上更呈現多樣化後,解析幾何才完全定型。

Newton 在解析幾何上的主要貢獻,是把 Fermat 式的觀點,推廣到三次曲線的研究。在其著作《Opticks》(1704年)的附錄之一「三次曲線的計算」,他把含 xy 的三次方程式所對應的曲線做詳細的研究與歸類。他發現三次曲線共有72種(其實他漏列了6種),而且從射影的觀點,這些曲線又可歸成5類,與二次曲線只有三種(及一些退化的情形),只有一類相比較,顯然複雜多了。此外,Newton 也毫不猶疑接受了負坐標,同時使用極坐標。可是 Newton 的物理學及微積分的光芒四射,以至於很少人注意到他在解析幾何方面的貢獻,更何況其作品一再延遲發表,所以他在解析幾何發展方面的影響一直要到十八世紀才顯現出來。解析幾何提供了微積分最好的計算工具,因而使科學能夠數量化;微積分的鋒芒太露反而妨害解析幾何的推廣,這是數學史上的一件怪事。

在數學史上,十七世紀是個創造的時代,十八世紀是個推廣、發展及整理的階段,微積分如此,解析幾何也一樣。在十八世紀堙A有關解析幾何的研究愈來愈多,教科書也陸續出版,這之中以 Euler、Lagrange、Monge 及 Lacroix 最有名。

Euler 在1748年出版一本深具影響力的解析幾何教科書《Introductio》,使解析幾何從 Descartes 式的觀點脫逸而出,函數與圖形變成主體,函數觀念溶入數學之中終於成了表現數學的基礎、這本書的特色還包括: 立體解析幾何的系統性研究、極座標的使用、曲線參數表示法的引入、曲線圖形描繪的強調、像三角函數等超越函數(相對於代數函數而言)所代表曲線的深入討論等等。

在解析幾何的發展過程中,還有一種奇怪的現象,那就是簡單如直線與圓反而不用解析幾何的方法來處理,以至於簡單如距離、中點、斜率、角、面積等等的解析幾何公式,要遲到十八世紀下半葉才有系統地出現。這當然是因為這些是屬於尺規作圖的範圍的,傳統的平面幾何就可以處理,而解析幾何的方法起因於二次錐線的研究,再往高次曲線方面發展。事實上,在解析幾何中,一次函數的研究反而從三度空間開始,因為一次函數在空間中所代表的直線、平面及平面所圍成的多面體,並不那麼直觀,那麼容易用綜合幾何的方法來處理。 這是 Lagrange 在解析幾何方面的主要工作,他把線性代數與解析幾何牽連上了關係。在這方面,十九世紀的 Cauchy、Cayley 也相當有貢獻。Monge 和 Lagrange 一樣,在空間中直線與平面的研究,以及解析幾何更代數化方面也有重大的貢獻。解析幾何代數化的程度,在 Lagrange 及 Monge 的作品中,居然達到以不出現任何圖形為豪。我們可以說,Lagrange、Monge 以及他們的學生、把平面幾何中的直線與圓也解析幾何化的 Lacroix,他們三人終於使解析幾何達到完全成熟的地步。

解析幾何的課本中居然可以不出現圖形,它的發展可以說是到了盡頭。有些數學家對解析幾何有了反感, 他們或者認為在直線、圓與錐線的處理方面,解析幾何不及平面幾何來得俐落,來得直觀,或者發展更有系統、 更具威力、保持直觀又用綜合幾何方式的射影幾何。十九世紀的解析幾何學家,對這種挑戰的回應與反擊是, 一方面發展簡易符號,使代數方程式的消去計算減至最低,處理起來和平面幾何一樣俐落。 另一方面則引進齊次坐標,把射影幾何也解析幾何化,而能做更深入的處理。前者由 Lame 起了頭, 以 Plucker 居首功 2 ,而後者除了 Mobius、Plucker 外,Cayley 的貢獻也不可忽視,在十九世紀,解析發何的另一發展方向是高維解析幾何的產生,它和非歐幾何一樣,使空間的概念有了革命性的突破,使現代的幾何學更呈多樣化。

從 Fermat、Descartes、Newton 等人的著作,就知道剛開始時,解析幾何並不叫解析幾何。事實上,一直要等到十八世紀末,解析幾何才成為普遍使用的名詞。用解析幾何研究幾何作圖,採取的是從答案尋線回到已知,然後反過來再從已知證明答案的方法,這是傳統的解析方法,也是解析幾何的原意。解析幾何最早是用代數的方法來解析的,因此代數學也被看成是解析學的一支。 所以解析幾何有了新意。原意加新意正是十八世紀末定名時,大家對解析幾何的了解。另一方面,無窮冪級數在早期被認為是代數(多項式)的推廣, 因此重用冪級數的微積分也被認為是一種解析學。其實微積分的要點是在處理極限的問題,所以演變至今,解析學泛指處理極限的數學,與處理有限運算、不含極限的代數學相對立。如此一來,解析幾何就遭遇到正名的問題。若用原意,則採取的是 Descartes 的觀點,它已不能含蓋現代解析幾何的內涵。解析幾何的重點不在極限,所以也不是現代觀點的解析學。如果要替解析幾何正名,它該改叫什麼呢?代數幾何嗎?的確,無論是 Descartes 式的或是 Fermat 式的,解析幾何就是要把代數與幾何連在一起;但是解析幾何不也處理三角函數這些超越代數的函數嗎?更何況代數幾何已經另有所屬,指的是把純 Fermat 式,只研究代數方程式的解析幾何學加以精緻、抽象化的一支專門的數學。

如果一定要「必也正名乎!」解析幾何應該稱為坐標幾何,因為有了坐標,才能談坐標間的函數關係,才能談函數關係的幾何意義,這正是解析幾何的要義。 3

 
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編輯:黃信元 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002