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.原載於科學月刊第十五卷第六期
.作者當時任教於台大數學系
 

問題是數學活動的泉源

曹亮吉

 
 

從數學歷史來看,數學理論的發展幾乎都源起於想解決一些特殊的問題。1900年,德國大數學家 D. Hilbert(1862∼1943年)在巴黎舉行的國際數學會議上,發表了〈數學問題〉的專題演講,其前文的前半段就闡明了這個觀點:

誰不願意將未來的面紗揭去,看一眼科學下一步的進步及進展的秘密?下幾代的主要數學精神追求的是那些特別的目標?在未來的世紀中,數學這個寬廣豐盛的領域又會產生那些新的方法以及新的結果?

回顧歷史就知科學發展是連續的。每一時代自有其待解的問題;這些問題到了下一代或許解決了,或者因解之徒勞無益,擱置一旁,而代之以新的問題。想要預知近期數學發展的梗概,我們就得注意那些發生在今日而期待在未來可解的問題。在此世紀接替之際,縱談數學的問題,自有其意義,因為此時我們不但要回顧過去偉大的成就,同時也要將我們的思索導向未來的發展。

許多問題在數學一般的發展上,或對某些研究者而言,具有極高的價值,這一事實殆無疑問。只要具有眾多的問題,一門科學就充滿了活力;問題短缺會使之趨於消失或失去獨立發展。就像一般的事業必須追求特定目標,數學研究需要的是問題。研究者以問題的解決衡量及鍛練其能力;他發現新方法,發展新觀點,使他的視野更寬廣、更自由。

事先準確判斷一個問題的價值是很困難的,甚至是不可能的;價值的判斷要取決於這個問題所帶給科學的進展。然而我們想知道是否有一般的標準來評判一個數學問題的好壞。一位法國老數學家說:「如果你無法將一個數學理論弄清楚到可以解釋給街上任何一個人聽,那麼這個數學理論就不算完成。」對一數學理論如此清楚、易於了解的要求,我想更應加諸於所謂好的數學問題;清楚、易於了解使人嚮往,複雜使人排斥。

更有進者,一個數學問題要難得吸引人,但也不能難到無從下手。它必須是真理謎陣中的指標,及成功解答後喜悅的回味品。

過去的數學家都熱忱地投入解決某些特定的難題。他們深知難題的價值。想想 John Bernoulli 提出的「最速下降曲線」這個問題就好。Bernoulli 在公開提出這個問題時說:由經驗得知,使偉大人物得以促進科學進步的動力,也不過是在他們面前擺著又難同時又有用的問題。所以為了贏得數學界的感謝,他就效法 Mersenne、Pascal、Fermat、Viviani 等先賢,在許多偉大的分析學家面前,提出他想到的問題,以作為他們的方法,他們的能力的試金石。變分法 就因 Bernoulli 的問題及其他的類似問題而產生了。

大家都知道,Fermat 認定

xn + yn = zn

這樣的方程式沒有正整數解(n>2)。尋求解答這樣一個特殊的、看起來不重要的問題,居然會對數學發展深具啟發性,這是問題之有用的顯著例證。 Kummer 為了解決 Fermat 問題,引進了理想數,發現它們在圓分體中具有唯一分解成質因數乘積的性質。Dedekind 及 Kronecker 將之推廣到一般代數體,使之成為現代數論的中心論題,而其意義更遠超出數論範圍,進入代數及函數論的領域中。

再提一個相當不同的領域,三體問題。Poincaré 所帶給天體力學的豐富方法及深遠原理,就起因於重新研究三體問題這個難題,以便尋求更近似的解答。

Fermat 及三體是兩個極端類型的問題。前者是純理論的產物,屬於抽象的數論,後者因天文需要而生,是了解自然界最基本現象的要素。還有,同一個題目也時常引起在極端不同的數學領域中有所應用。譬如,最短曲線問題在幾何基礎、曲線曲面論、力學以及變分法各方面,都扮演了極重要的角色。F. Klein 而???在二十面體方面的研究,其在初等幾何中多面體問題、在群論、在方程式論以及在線性微分方程所具有的影響,更強烈支持這種觀點。

為了強調問題的重要性,我可以再提到 Weierstrass。他說,他在科學研究生涯之初,能夠遇到像 Jacobi 反轉這樣重要的問題,實在幸運之至。

說了問題在數學研究的重要性,我們再來探討問題的來源。當然每一數學分支中的最老問題都來自經驗與自然現象。甚至連數字計算法則在文明之初都是如此而得,就像今日的小孩從經驗學得這些法則一樣。古時傳下來的幾何問題,像是倍立方、圓化方,也是一樣。還有數字方程式論、曲線論、變分法、Fourier 分析以及勢能論也是一樣,更不用說那些屬於力學、天文及物理的問題。

但要使一門數學再往前進展,就得靠人類的思索促使其成為一門獨立的學問。一門學問經由邏輯整合、一般化、特殊化、巧妙分辨、整理各種想法及新而有用的問題等等,不必有外在因素的具體影響,一樣可以自我增殖。質數理論及數論的其他問題、Galois 的方程式論、代數不變量論、Abel 及自我同構函數論──事實上,幾乎所有的現代數論及函數論的好問題都是這樣產生的。

而當純理論創造能力發揮之際,外在世界還是發生作用,使我們由實際經驗得到新問題,使我們面對新的數學領域。而在用純理論開展這些新領域時,我們曾找到那些古老未解問題的答案,使古老的理論有所進展。在我看來,數學家在各種領域中觀察問題,提供方法與想法中,所得那麼多而驚人的類同與和諧,其原因都是來自這種理論與經驗經常的交互作用。

在探討了問題之對數學的重要性及數學問題的來源後,Hilbert 又談到如何判定一個數學問題是否得解,然後結束前文。接著 Hilbert 花了很多的時間談論二十三個他認為對今後數學發展曾有重大影響的數學問題。這就是所謂的「Hilbert 數學問題」,它們的確是好問題,的確在二十世紀的數學發展史上扮演了非常重要的角色。

這二十三個問題是:

一、 Cantor 連續體的基數問題,
二、 算術公理的無矛盾性,
三、 等底等高兩四面體的等積性,
四、 兩點間最短路程做為直線的問題,
五、 連續群的定義函數除去可微性的問題(Lie 原來的觀念),
六、 物理學公理化,
七、 某些數的無理數性及超越性,
八、 質數問題,
九、 任何代數體中最一般的互逆法則,
十、 決定 Diophantine 方程式的可解性,
十一、 係數為代數數的二次式,
十二、 推廣 Kronecker 的 Abel 擴張定理到任何代數體上,
十三、 七次方程式不能用兩變數函數來解,
十四、 某些完備函數的有限性,
十五、 Schubert 算法的嚴密基礎,
十六、 代數曲線與曲面的拓樸,
十七、 正定型的平方和表現,
十八、 以全等多面體鋪成空間的問題,
十九、 正則變分問題的解都是解析的?
二十、 一般的邊界值問題,
二十一、 給定 Monodromy 群,線性微分方程式的存在問題,
二十二、 以自我同構函數做解析關係的一致化,
二十三、 變分法的進一步開展。

問題固然是數學活動的泉源,Hilbert 的數學問題固然證明了這個觀點,但並不是每一個問題都能激起有意義的數學研究。法國數學家 J. Dieudonné 在其著作《A Panorama of Pure Mathematics》中,把數學問題就其對數學發展的影響分成幾類。

一、死產了的問題: 問題本身未得解決,試求解決的過程對數學的發展也未產生助益。譬如 Fermat 質數問題: 除 n=0,1,2,3,4 外,22n+1 還可能是質數嗎?

及 Euler 常數的無理數性問題: $\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \log n )$ 是無理數嗎?

二、無意義的問題: 問題雖然解決了,但對其他問題的進展毫無影響。 許多排列組合的問題屬於此類。

三、產生方法的問題: 用來解決問題的方法或其變形可以解決許多類似或更複雜的問題,雖然我們不一定了解這些方法所以能夠解題的關鍵。解析數論及有限群論就有許多這樣的例子。

四、活躍領域中的問題: 問題的研究終究能夠找出意想不到的背後基本結構,不但解決原來問題,而且提供普遍性的方法,以闡明其他領域中的許許多多問題。譬如,李群與代數拓樸是目前的典型例子。

五、衰退領域中的問題: Hilbert 也說過,如果沒有不斷的新問題的刺激,一個數學理論不可能活躍。一旦一個數學理論中的大問題已經解決,與其他數學領域的關係也弄清楚後,研究者就會鑽起牛角尖來。不變量理論就曾有幾次演變成這種階段。

六、稀釋領域中的問題: 選對了公理的系統可以導出很好的理論與技巧。一個公理系統的成功常使研究者漫無目的變更公理,以期再造佳績;當然,這種期望往往落空。(這類研究者往往舉不出研究對象的應用實例,所以 Dieudonné 幽默地說他也不舉出這一類型的例子。)

當然第四類問題最重要,其次才是第三類問題。其他類的問題就數學發展而言都是毫不足道的。問題是數學活動的泉源,如何選擇有意義的研究問題,Hilbert 給了典範,Dieudonné 提出了判斷標準。

註:關於 Hilbert 問題,可以參考原來講演稿的英譯文:〈Mathematical Problems〉, Bull. A.M.S. 8 (1902), pp. 437-479。 這篇譯文也收在《Mathematical Developments Arising from Hilbert Prublems》一書堙C

 
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編輯:康明軒 最後修改日期:2/17/2002