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.原載於科學月刊第十五卷第四期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
 

Achilles 的腳跟

曹亮吉

 
 

荷馬史詩《伊里亞得》(Iliad) 中的主角 Achilles 是 Myrmidons 國王 Peleus 及海神 Thetis 的兒子。他長得英俊,人又勇敢,是圍攻特洛城 (Troy) 諸將中戰績最顯赫的一位。在圍城的頭九年堙A他攻下了鄰近的十二個城市。第十年,因與主將 Agamemnon 失和,不再參與圍城,竟使圍城部隊幾乎崩潰;幸而不久與主將重行修好,攻下特洛城,同時刺殺了特洛王子 Hector。根據傳說,在 Achilles 小時候,他的母親 Thetis 曾經握住他的雙腳,把他浸入 Styx 河中,使他變成了金鋼不壞之身;但被握住而沒沾到水的雙腳跟卻除外。因此「Achilles 的腳跟」就成了含意為「弱點所在」的俗語。

除了有「Achilles 的腳跟」外,其實 Achilles 還另有一個弱點……

Achilles 有一天被西元前五世紀的哲學家 Zeno 請去和一隻烏龜賽跑。因為英雄了得,Achilles 很爽快答應了主人的請求,讓烏龜先生先跑幾步。想不到 Achilles 還沒起步,Zeno 已經判定烏龜先生獲勝。Achilles 還待提出嚴重抗議,Zeno 已經把判決說明遞了下來。Zeno 說,請看圖一,假定開始的時候,你的位置在 A0,而烏龜先生在你前頭 T0 處。等你趕到 T0 處,烏龜先生雖然跑得慢,他可不是原地踏步,他已經跑到前面一點 T1。同樣道理,等你趕到 T1 處,烏龜先生已經又前進到 T2 處。如此繼續下去,雖然你愈趕愈近,終究還是落後了一點,永遠趕不上烏龜先生啊!



圖一

俗話說:秀才遇到兵,有理說不清。風水輪流轉,這回輪到我們的百戰英雄 Achilles 被秀才辯士 Zeno 抓住了口舌不便給的弱點,而敗下陣來。Zeno 所提出的詭辯深深觸及時空與數的基本概念,二千五百年來一直都是學者專家爭論的題材。Achilles 雖然英雄氣短,Zeno 卻成了科學史上的英雄人物。

Zeno 生於西元前480年左右,住在義大利南部的 Elea 城,是希臘哲學 Elea 學派的主將。他提出許多詭辯,其中有四個是關於運動的,編造出來的 Achilles 和烏龜賽跑的故事就是其中的一個。他提出這些詭辯的真正用意並不清楚。有人認為 Zeno 是為其師 Parmenides 辯護的,因為後者主張感官世界也不過是個幻像,所以 Zeno 想辯說「運動是不可能的」以為支援。有人認為 Zeno 要攻擊畢氏學派,因為他們持數學原子論,認為有不可分割的幾何點。其實,我們連 Zeno 真正說過什麼都不太清楚,因為他的作品並沒有流傳下來。我們只能從亞里斯多德的作品《Physics》來了解 Zeno,而亞氏談及 Zeno 的詭辯,為的是要力斥其非。

第一個詭辯為二分 (dichotomy)。Zeno 說:運動是不可能的,因為在完成運動的過程中,先得到達全程的中點。(當然在到達中點之前,先得走過一半的一半,……)亞氏認為空間和時間可以有兩種無窮的意思,一是長度無窮,另一是無窮可分。既然 Zeno 認為可以把有限空間無窮分割下去,那麼與分割點相應的時刻雖然有無窮多,但一樣可以含在有限的時間內。

第二個詭辯就是 Achilles 與烏龜賽跑。亞氏認為 Zeno 的錯誤如前,所以駁斥其非的理由也如舊。

第三個詭辯稱為飛矢 (arrow)。Zeno 說:在任一時刻,飛矢總是占著與其等長的空間,因此在那時刻是不動的。因為在任一時刻總是不動,所以從頭到尾,飛矢是不動的。亞氏認為 Zeno 的整個論點在於假設時刻是不可再分割的,所以在任一時刻飛矢總是不動。為了免除矛盾,亞氏認為只要不承認有不可分割的時刻就好了。

最後一個詭辯稱為競技場 (stadium)。因為亞氏說得不清不楚,我們只能猜 Zeno 的原意如下(見圖二、三):在競技場上有三列賽車A、B、C,每車各有三節長。假定時間有最小的(不可分割的)單位,而在這單位時間內,A車向左移動一個車廂,B車不動,C車向右移動一節車廂。如此一來,A車與C車就相差了兩節車廂。那麼在這個過程中,當A車與C車移動到只相差一節車廂所花去的時間,應該是單位時間之半。但是這和單位時間不可再分割的假定就衝突。「所以,半個單位時間要等於一個單位時間?」



圖二



圖三

如果 Zeno 的原意是這樣,亞氏就答非所問了,因為亞氏駁斥說道:Zeno 忘了相對速度與絕對速度之不同,以至於有半個單位時間要等於一個單位時間這樣的矛盾結論。

亞氏認為 Zeno 提出這些詭辯,就是想詭辯運動是不可能的,而亞氏只想把 Zeno 的論點一一駁倒就好。至於 Zeno 提出這些詭辯的真意何在?這些詭辯真正內容如何?如何說明 Zeno 錯在那堙H這些問題不但亞氏沒有說明清楚,二千五百年來也都一直是專家學者爭論的的話題。

當時對時空的看法有兩種,一種是:時間與空間可以一再分割下去,永遠沒有止境,(「因此」運動是連續的。)另一種是:時間和空間都有最小的、不可分割的組成單位,(「因此」運動是電影式的。)一般認為 Zeno 的原意是要向這兩種看法提出挑戰:頭兩個詭辯要說明無窮分割論是無法立足的,後兩個詭辯則要說明不可分割單位也是不能存在的。

這是一般的看法,細節方面卻還有更多問題值得討論。

在第一個詭辯中,我們一步步往回倒,一步步接近出發點,那麼我們到底會不曾回「到」出發點? 戰國名家公孫龍有言:一尺之棰,日取其半,萬世不竭。這種說法豈不與 Zeno 的遙相呼應? 同樣的,我們也可以問 Achilles 如何追「上」烏龜?這些都牽涉到「無窮」的觀念, 而且「無窮」還有許多不同的樣式。

在兩個詭論中,我們至少承認:我們可以無窮地接近出發點,Achilles 可以無窮地接近烏龜。 「無窮地接近」用現在數學的行話來說就是極限的問題。

在 Achilles 的問題中,Achilles 從 A0A1,到 A2,……,在沒趕上烏龜之前,這些分點的個數是有限;但要趕上烏龜,卻也非考慮愈來愈多的分點不可。這類無窮多稱為潛在的無窮多,在數學上比較好處理。

與此相似,但也是相對的,在第一個詭辯中,在出發後的任何時刻內,我們都已經歷過無窮個分點了,這是真正的無窮多,而不是潛在的無窮多。假定 Achilles 追上了烏龜,那麼在此過程中,任何時刻烏龜所占的位置可以和 Achilles 所占的位置一一對應起來。雖然所花的時間相同,烏龜和 Achilles 所經歷過的位置就要一樣多(真正的無窮多),但是烏龜所經過的路程卻比較短。這也是令人困擾的問題。許多哲學家發現沒辦法完全解決 Zeno 所帶來的問題時,就會說「無窮」是超乎想像的,不可以論理的,「所以」Zeno 所提的問題不是問題。

時間是不是有最小單位?Zeno 以飛矢不動的詭辯否定了這種想法。但慢著,請 Zeno 上電影院,他就非看得目瞪口呆不可。當我們以每秒十六張的速度,把一張張畫面靜止的底片順序捲過,不動的矢就飛了,而且飛得很平滑,絲毫沒有不連續的感覺。因此,由希臘人兩種時空觀念所得的運動形態,實際上我們感覺不出其不同之處。運動到底是什麼?恐怕就是啟 Zeno、亞里斯多德於地下,讓他們再三深思也難以得到滿意的答案。

時間如果沒有最小的單位,可以一再分割下去,那麼「最後」會剩下什麼?「現在」這個詞語有沒有精確的意義?是否相對應於幾何中理想的「點」,時間也有「時點」?幾何的點、時間的點有沒有大小?如果沒有,它們如何組成線、組成時間?如何產生運動?如果有,它們是否可以再分割?我們希望幾何點和時點都是很小很小,比任何量都小,但又不能為 0,這就是令人左右為難的「無窮小」。

希臘人總覺得數是離散的,時間和直線卻是連續不斷的,但又希望把數和直線以及時間對應起來。那麼什麼是「連續」?數、直線及時間到底是什麼?它們之間真的可以對應起來嗎?

這種種問題正好暴露了人類對時空與數認知的脆弱;想在認知方面更進一步,只有面對我們自己的「Achllies 的腳跟」了。

由於無窮小令人左右為難,有好一陣子,大家都儘量避免使用。阿基米德為了避開無窮小,還特別提出兩量之間的關係如下:若有非零的兩量 AB,則 A 的適當倍數會超過 B,即 nA > Bn 是夠大的整數。這就是所謂的阿基米德性質;無窮小違背這個性質,所以不認為是個量。禁止歸禁止,事質上,阿基米德用槓桿原理求面積、求體積時就偷偷地用上 註1 。其實用的得當,無窮小還可以解決不少的問題。十六世紀以後,無窮小漸漸流行,Kepler、Galilei、 Cavalier、Fermat、牛頓、Leibniz 等人都用得很好,在微積分的發展過程中占了很重要的地位。雖然它在邏輯方面沒有嚴格的基礎,逐漸為動態的窮盡法所取代,但在直觀了解微積分的原理與技巧方面,它仍然占著非常重要的地位註2

應付潛在的無窮多,數學家發展了無窮數列、無窮級數的方法。譬如假設圖一中的 A0 T0 長為 10 公尺,Achilles 的速度為每秒 10 公尺,烏龜的速度為每秒 1 公尺。則 T0 T1T1 T2T2 T3、……之長各為 1、0.1、0.01、……公尺,而 Achilles 要跑完這些線段各花去 0.1、0.01、0.001、……秒。所以烏龜跑到 Tn 時,Achilles 只落後 10-(n-1) 公尺,而 Achilles 只花了

\begin{displaymath}
1+0.1+0.01+ \cdots 10^{-(n-1)} = \frac{1-10^{-n}}{0.9} \mbox{{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 148}}
\end{displaymath}

因為

\begin{displaymath}
\frac{1-10^{-n}}{0.9} < \frac{10}{9}
\end{displaymath}

所以 Achilles 用在追趕烏龜的時間絕不會超過 $\frac{10}{9}$ 秒。從極限的觀點來看,當 n 趨向無窮大時,Achilles 不落後了:

\begin{displaymath}
\lim_{n \rightarrow \infty} 10^{-(n-1)} = 0
\end{displaymath}

而花去的時間正好是 $\frac{10}{9}$ 秒:

\begin{displaymath}
\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1-10^{-n}}{0.9}=\frac{10}{9}
\end{displaymath}

在取極限前,我們所考慮的都是有限可算的。有限可算加上極限就是應付「潛在無窮多」的無窮數列、無窮級數的方法。無窮級數同時也解決了數學的一個困境:無窮項相加有時的確會加成一個有限數。

現代的數學家對於時間、直線真正是什麼的問題並不感到興趣,他們認定這兩者都可以和數對應起來,數學式的直線與時間只不過是數的另外兩種表現而已。所以只要把數弄清楚就好。這件工作從古希臘開始,一直到十九世紀下半葉為上,才大功告成。有了建構完全的實數系統,不但連續、極限的觀念得以用數學的方法澄清,而且微積分的理論也才可能有堅強的基礎。 註3

在這種實數模型下,時間與直線都是由時點與幾何點所組成的,點本身沒有大小。時間與直線都是無窮可分割的,但只要分割的方式是一刀一刀的、潛在無窮的(而不是真正無窮的),那麼分割的結果決不會都變成一個個的時點或幾何點。有了這種不同於希臘人觀念中的分割及組成單位,Zeno 詭辯所引起的許多問題都可以迎刃而解。

十九世紀下半葉,數學發展的另一件大事就是 Cantor 建立了無窮集合的理論,使人們勇敢而有效地面對真正無窮多的問題。這個理論最突出的地方,就是兩集合 A、B 的大小可以有兩種解釋。一種是當集合 A 包含於集合 B 內(即 A 為 B 的子集合),就認為 A 小於(或等於)B;另一種是當 A 的元素可以一一對應到 B 的一個子集合堙A就認為 A 的個數小於(或等於)B 的個數,而當 A 的元素可以一一和 B 的元素對應起來,那麼 A 的個數就和 B 的一樣多。集合論中最重要的一個定理就是:一個無窮集合的個數一定會和它的某個(不是本身的)子集合的個數一樣多;這正是無窮集合與有限集合之間根本不同的地方。所以,烏龜所跑過的線段雖然含於 Achilles 所跑過的線段內,但兩者所含的點卻可以一一對應,這件事就不稀奇了(見圖四)。



圖四

集合論的另一個結論說:實數的個數大於有理數的個數。這也足以說明十九世紀的實數結構和希臘人的會有那麼不同的地方。

Zeno 的詭辯引起了數學家、物理學家及哲學家的熱烈討論。數學家雖然沒辦法把所有的問題解決,但他們對數、極限、連續、無窮小等觀念卻做了相當程度的澄清,使這些觀念再也不是我們的「Achilles 的腳跟」。

 
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編輯:朱安強 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002