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Achilles ªº¸}¸ò

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°£¤F¦³¡uAchilles ªº¸}¸ò¡v¥~¡A¨ä¹ê Achilles ÁÙ¥t¦³¤@­Ó®zÂI¡K¡K

Achilles ¦³¤@¤Ñ³Q¦è¤¸«e¤­¥@¬öªº­õ¾Ç®a Zeno ½Ð¥h©M¤@°¦¯QÀtÁɶ]¡C¦]¬°­^¶¯¤F±o¡AAchilles «Ü²n§ÖµªÀ³¤F¥D¤Hªº½Ð¨D¡AÅý¯QÀt¥ý¥Í¥ý¶]´X¨B¡C·Q¤£¨ì Achilles ÁÙ¨S°_¨B¡AZeno ¤w¸g§P©w¯QÀt¥ý¥ÍÀò³Ó¡CAchilles ÁÙ«Ý´£¥XÄY­«§Üij¡AZeno ¤w¸g§â§P¨M»¡©ú»¼¤F¤U¨Ó¡CZeno »¡¡A½Ð¬Ý¹Ï¤@¡A°²©w¶}©lªº®É­Ô¡A§Aªº¦ì¸m¦b A0¡A¦Ó¯QÀt¥ý¥Í¦b§A«eÀY T0 ³B¡Cµ¥§A»°¨ì T0 ³B¡A¯QÀt¥ý¥ÍÁöµM¶]±oºC¡A¥L¥i¤£¬O­ì¦a½ñ¨B¡A¥L¤w¸g¶]¨ì«e­±¤@ÂI T1¡C¦P¼Ë¹D²z¡Aµ¥§A»°¨ì T1 ³B¡A¯QÀt¥ý¥Í¤w¸g¤S«e¶i¨ì T2 ³B¡C¦p¦¹Ä~Äò¤U¥h¡AÁöµM§A·U»°·Uªñ¡A²×¨sÁÙ¬O¸¨«á¤F¤@ÂI¡A¥Ã»·»°¤£¤W¯QÀt¥ý¥Í°Ú¡I



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Zeno ¥Í©ó¦è¤¸«e480¦~¥ª¥k¡A¦í¦b¸q¤j§Q«n³¡ªº Elea «°¡A¬O§Æþ­õ¾Ç Elea ¾Ç¬£ªº¥D±N¡C¥L´£¥X³\¦h¸ÞÅG¡A¨ä¤¤¦³¥|­Ó¬OÃö©ó¹B°Êªº¡A½s³y¥X¨Óªº Achilles ©M¯QÀtÁɶ]ªº¬G¨Æ´N¬O¨ä¤¤ªº¤@­Ó¡C¥L´£¥X³o¨Ç¸ÞÅGªº¯u¥¿¥Î·N¨Ã¤£²M·¡¡C¦³¤H»{¬° Zeno ¬O¬°¨ä®v Parmenides ÅGÅ@ªº¡A¦]¬°«áªÌ¥D±i·P©x¥@¬É¤]¤£¹L¬O­Ó¤Û¹³¡A©Ò¥H Zeno ·QÅG»¡¡u¹B°Ê¬O¤£¥i¯àªº¡v¥H¬°¤ä´©¡C¦³¤H»{¬° Zeno ­n§ðÀ»²¦¤ó¾Ç¬£¡A¦]¬°¥L­Ì«ù¼Æ¾Ç­ì¤l½×¡A»{¬°¦³¤£¥i¤À³Îªº´X¦óÂI¡C¨ä¹ê¡A§Ú­Ì³s Zeno ¯u¥¿»¡¹L¤°»ò³£¤£¤Ó²M·¡¡A¦]¬°¥Lªº§@«~¨Ã¨S¦³¬y¶Ç¤U¨Ó¡C§Ú­Ì¥u¯à±q¨È¨½´µ¦h¼wªº§@«~¡mPhysics¡n¨Ó¤F¸Ñ Zeno¡A¦Ó¨È¤ó½Í¤Î Zeno ªº¸ÞÅG¡A¬°ªº¬O­n¤O¥¸¨ä«D¡C

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²Ä¤G­Ó¸ÞÅG´N¬O Achilles »P¯QÀtÁɶ]¡C¨È¤ó»{¬° Zeno ªº¿ù»~¦p«e¡A©Ò¥H»é¥¸¨ä«Dªº²z¥Ñ¤]¦p¡C

²Ä¤T­Ó¸ÞÅGºÙ¬°­¸¥Ú (arrow)¡CZeno »¡¡G¦b¥ô¤@®É¨è¡A­¸¥ÚÁ`¬O¥eµÛ»P¨äµ¥ªøªºªÅ¶¡¡A¦]¦¹¦b¨º®É¨è¬O¤£°Êªº¡C¦]¬°¦b¥ô¤@®É¨èÁ`¬O¤£°Ê¡A©Ò¥H±qÀY¨ì§À¡A­¸¥Ú¬O¤£°Êªº¡C¨È¤ó»{¬° Zeno ªº¾ã­Ó½×ÂI¦b©ó°²³]®É¨è¬O¤£¥i¦A¤À³Îªº¡A©Ò¥H¦b¥ô¤@®É¨è­¸¥ÚÁ`¬O¤£°Ê¡C¬°¤F§K°£¥Ù¬Þ¡A¨È¤ó»{¬°¥u­n¤£©Ó»{¦³¤£¥i¤À³Îªº®É¨è´N¦n¤F¡C

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À³¥I¼ç¦bªºµL½a¦h¡A¼Æ¾Ç®aµo®i¤FµL½a¼Æ¦C¡BµL½a¯Å¼Æªº¤èªk¡CÄ´¦p°²³]¹Ï¤@¤¤ªº A0 T0 ªø¬° 10 ¤½¤Ø¡AAchilles ªº³t«×¬°¨C¬í 10 ¤½¤Ø¡A¯QÀtªº³t«×¬°¨C¬í 1 ¤½¤Ø¡C«h T0 T1¡BT1 T2¡BT2 T3¡B¡K¡K¤§ªø¦U¬° 1¡B0.1¡B0.01¡B¡K¡K¤½¤Ø¡A¦Ó Achilles ­n¶]§¹³o¨Ç½u¬q¦Uªá¥h 0.1¡B0.01¡B0.001¡B¡K¡K¬í¡C©Ò¥H¯QÀt¶]¨ì Tn ®É¡AAchilles ¥u¸¨«á 10-(n-1) ¤½¤Ø¡A¦Ó Achilles ¥uªá¤F

\begin{displaymath}
1+0.1+0.01+ \cdots 10^{-(n-1)} = \frac{1-10^{-n}}{0.9} \mbox{{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 148}}
\end{displaymath}

¦]¬°

\begin{displaymath}
\frac{1-10^{-n}}{0.9} < \frac{10}{9}
\end{displaymath}

©Ò¥H Achilles ¥Î¦b°l»°¯QÀtªº®É¶¡µ´¤£·|¶W¹L $\frac{10}{9}$ ¬í¡C±q·¥­­ªºÆ[ÂI¨Ó¬Ý¡A·í n ÁͦVµL½a¤j®É¡AAchilles ¤£¸¨«á¤F¡G

\begin{displaymath}
\lim_{n \rightarrow \infty} 10^{-(n-1)} = 0
\end{displaymath}

¦Óªá¥hªº®É¶¡¥¿¦n¬O $\frac{10}{9}$ ¬í¡G

\begin{displaymath}
\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1-10^{-n}}{0.9}=\frac{10}{9}
\end{displaymath}

¦b¨ú·¥­­«e¡A§Ú­Ì©Ò¦Ò¼{ªº³£¬O¦³­­¥iºâªº¡C¦³­­¥iºâ¥[¤W·¥­­´N¬OÀ³¥I¡u¼ç¦bµL½a¦h¡vªºµL½a¼Æ¦C¡BµL½a¯Å¼Æªº¤èªk¡CµL½a¯Å¼Æ¦P®É¤]¸Ñ¨M¤F¼Æ¾Çªº¤@­Ó§x¹Ò¡GµL½a¶µ¬Û¥[¦³®Éªº½T·|¥[¦¨¤@­Ó¦³­­¼Æ¡C

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