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.原載於科學月刊第十五卷第二期
.作者當時任教於台大數學系
 

經驗累積而成的數學
巴比倫與埃及數學的探討

曹亮吉

 
 

近東地區是人類、同時也是西方文明的搖籃。雖然有一些更好動的人群離開家鄉,漫遊於歐洲的平原,他們的同胞留下來創造了文明與文化。幾世紀之後,留在近東,而成為較具智慧的人群,要挑起責任,教導那些未具文采的同類。這些由智者傳入西方的智識中,數學占著重要的部分。因此,為了追尋數學銘記於現代文化的印象,我們必須探討近東的主要文明。

順帶一提,原始文明也會發展一些簡單的數學。這種發展無疑地是起因於實際需要。在最原始的人類社會中也會發生的日用品物物交換的行為,就需要計數。

因為用手指與腳趾可以使計數方便,原始人類像小孩子那樣,會用手腳指頭來點算,當然不是意外的事。這種古代計數的方法還在我們的語言中留下痕跡;digit 這個字不但指的是數字,而且也有手指或腳趾之意。我們採用十進位無疑和使用指頭計數有關。

原始文明也採用特定符號以表示數目。由此可知,他們也認識到三隻羊、三個蘋果、三支箭之間有很相像的地方,亦即三這個數字。數是獨立於特定物體的抽象觀念,能夠鑑賞這種抽象觀念是人類思想史上的一大進展。我們每個人在在學期間也都經歷類似的智慧成長,把數與實際物體分離。

原始文明也發明了加、減、乘、除四則運算。研究現在的原始住民也知道人類並不是一下子就學會這些運算。許多原始部落的牧羊人拒絕接受他們所賣羊群的總價錢,他們只會賣一隻收一隻的價錢。將每隻價錢乘以羊隻數而一次付清的方法會把他們搞糊塗,會使他們以為受了騙。

毫無疑問地,幾何與數目系統一樣,是在原始文明中,為滿足人類需要,孕育而成的。觀察實物的形狀而形成基本的幾何觀念。譬如角的觀念可能就是經由觀察手肘或膝蓋的彎角而得的。在包括現代德語的許多語言中,就用「腿」這個字代表一個角的夾邊。在我們的語言堙A我們也說直角三角形的兩「股」。

西方文化與數學所承繼的主要近東文明為埃及和巴比倫。在這些文明的最早紀錄中,我們發現他們有發展很好的數系、一些代數及簡單的幾何。埃及人用 GIF1、GIF2 、GIF3 等表 1 至 9 這些數目。他們用特別的記號 GIF4 表 10,還有其他的特別符號表 100、1000 以及更大的數目。他們用很自然的方法結合這些符號以表一般的數目,譬如 21 就寫成 GIF4 GIF4 GIF1。

巴比倫書寫數目的方法更值得我們注意。他們用 GIF6 表 1;GIF6 GIF6 表 2;GIF7 表 4 等等一直到 9。GIF5 這個符號用來表 10。因此 33 就是 GIF5 GIF5 GIF5 GIF6 GIF6 GIF6 GIF6。 GIF6 GIF5 GIF5 GIF6 可就特別有意思了:第一個 GIF6 不是 1 而是 60,整組符號代表的是 60+10+10+1=81。同一的符號因其在數字中的位置而有不同的數值。這之中的原理就是位置定值,也是我們現在所用的。在 569 中,9 表示九個單位,6 卻表示六個 10,5 表示五個 100 或 5 乘 102。換言之,一個阿拉伯數字在一數中的位置決定了它所代表的數值,即該數字乘以 10 或 10 的平方或 10 的立方等等。10 稱為我們計數系統的基底。

因為巴比倫人發展了六十進位的位置定值法,一直到十六世紀希臘人和歐洲人(在計算小數時)也都沿用這個系統,直到現在這種用法還殘存於角度與時間的細分上。十進位源於印度,而在中世紀晚期引入歐洲。

位置定值的原理實在太重要了,值得我們多探討一點。十個符號加上基底 10 就可以表示任何的數,不管它有多大。這種表示法非常系統化,而且比起像埃及人的其他的方法要來得簡潔。更重要的是這種原理使我們能發展現代的有效的計算方法。

我們也要注意到,基底並不是非用 10 不可。假使一個人想用 5 做基底,那麼只要用 5 個符號,譬如 1、2、3、4 和 0。要表五這個數目,他就用 10,這堛 1 代表 1 乘 5,就像 1 在十進位的 10 中表 1 乘 10 那樣。要表「六」這個數目,他就寫成 11,「七」寫成 12,「十一」寫成 21,「二十五」寫成 100。要系統化使用五進位,他自然要學會相關的加法表及乘法表。譬如 3+4 就是 12;13+14,因第一個數是八,第二個是九,所以合起來是32(= 3 × 5 + 2)等等。到底基底多少才最方便?這個問題曾被認真考慮過,而且有很多理由來支持 12 是最好的基底的說法。但是就日常使用數字而言,大家都習於十進位。

要使位置定值原理發揮最大的功效,我們就需要 0 這個數字,因為我們得分辨 503 與 53 之不同。巴比倫人用一特殊符號把 503 的 5 與 3 分開,但他們卻不知道可以把這個符號也當做一個數,亦即他們無法了解零也可表示一個數量,也可以與其他的數相加減,就像一般的數那樣。零這個數必須和無這個觀念分辨清楚。一個學生如果沒選某門數學課,他在這門課的成績是無;但他如果選了這門課,而他的課業表現被評為毫無價值,那麼他的成績是為零分。

對早期文明而言,分數的計算是一件簡單的事。巴比倫人缺少足夠的符號。譬如 GIF5 GIF5 GIF5 表示 30,也同時表示 $\frac{30}{60}$;到底表那個,可就得從字埵瘨‘h了解。埃及人要把一個分數寫成單分數之和,譬如 $\frac{5}{8}$ 寫成 $\frac{1}{2}+\frac{1}{8}$,才能作進一步的運算。雖然現代的分數運算已經較為方便,但它仍然使許多成年人困惑不已。

巴比倫與埃及這些古代的文明,把算術推展而不限於整數與分數的運算。我們知道他們能夠解一些含有未知數的問題,雖然他們的方法比現在在中學所學的要粗糙以及欠缺一般性。事實上,有人認為歐幾里得的代數知識有些是源自巴比倫的。

與巴比倫發展了優越的算術以及代數相比,埃及人通常被認為在幾何方面超過了他們。有各種說法試圖說明其原因。埃及人從未曾發展方便的運算數字的方法,尤其是分數,因此在代數方面不能再有進展,只好轉而強調幾何學。這是歷史學者所提供的一種說法。另一種說法認為幾何是「尼羅河的禮物」。四世紀的希臘學者 Herodotus 說,西元前十四世紀的埃及王 Sesostris 讓每個人擁有一塊矩形的土地,並據以課稅。假如某人因尼羅河的洪水而失掉土地,他必須向法老呈報,法老就會派人來丈量損失,並將稅金適量的減免。因此從埃及的土地,幾何這門學問就得以興起而且流行起來──geometry(幾何)的 geo 表示土地,metron 表示測量。也許 Herodotus 選對了理由以說明埃及人為什麼重視幾何學,但他似乎沒注意到幾何學在西元前十四世紀之前已經有了幾千年的歷史。

埃及與巴比倫的幾何學是屬於經驗累積成的那種。直線指的就是拉緊了的弦;希臘語的 hypotenuse(斜邊)實際上是「拉緊在……之上」的意思──拉緊在直角三角形的兩股之上。平面只不過是一片平坦土地的表面。糧倉的容積及土地的面積公式都是經由嘗試錯誤而得到的。因此許多公式絕對是錯的。譬如,埃及曾有一個公式說:圓的面積等於 3.16 乘以半徑的平方。這是不對的,雖然就埃及人的實用而言,還算相當不錯。

埃及人與巴比倫人把他們的數學用到許多實際的問題上。在留下的草紙及瓦片上,我們可以看到期票、信用狀、抵押、延期付款以及商業盈利的分配。雖然這些商業交易只用到了算術與代數,另有幾何的公式說明了土地的面積以及在圓柱形及金字塔形糧倉內的穀物容量。除此之外,巴比倫人與埃及人還是不屈不撓的建築者。就是在現今摩天大樓的時代,他們的寺廟與金字塔對我們來說都是了不起的成就。巴比倫人也是擁有高度技術的水利工程師。經由巧妙技術掘成的運河,這些人的生命之血,底格里斯河及幼發拉底河,使旱地成了沃土,使得在此乾燥炎熱的氣候中,也能使埃及和巴比倫等這樣繁榮富庶、人口眾多的城市成為可能。

但是認為埃及與巴比倫的數學只限於實際問題的求解,那就錯了,不論這種說法是如何地常常被人提及。這種說法不但不合那時候的史實,用之於今日也是不對的。在更仔細的探討之下,無論是古是今,人類思維與情緒的確切表現,不論是藝術的、宗教的、科學的或哲學的,都涉及到數學的成分。比之於商業、農業及建造,在巴比倫與埃及繪畫、建築、宗教及對自然的探訪,其與數學間的相關並不來得遜色或來得不重要。

認為數學只有實用價值的作家,他們看歷史常常只看到數學活動的實用動機,而這些動機從邏輯的觀點來看是不可能存在的。他們的觀點大概是這樣的:數學曾用之於曆法與航海;因此數學的創造源於這些實用的問題,就像為了計數而有了數系那樣。這種「事後有先見之明」的論斷方法不是研究歷史,而且歷史的真象也不太可能是這樣。絕沒有一個迷航的航海者,突然領悟到星象是他航海問題的解答;絕不曾有埃及的農夫,因關心還有幾天尼羅河每年都有的洪水會來侵犯,就決定從此注意太陽的行徑。

把天文及數學用到航海及曆法之前,人早就懷著天生好奇與敬畏自然的心情,無可壓抑的哲學驅策力,耐心地觀察了太陽、月亮以及星星的運動有幾世紀之久。這些觀測者,雖然困擾於自然的神秘,卻克服了儀器之不足、數學知識之極端貧乏,而能從觀測中理出星球的運行模式。就是這些人在非常早期的埃及文明中,就已經知道一個太陽年有 365 天。

他們的耐心與恆心達成更大的成就,他們發現天狼星會在尼羅河洪水到達開羅的那一天日出時出現在天邊。這樣的發現一定過了幾年後,大家才想到要觀察天狼星的行逕,以預測洪水的來臨。更有甚者,因為日曆年的 365 天和真正的太陽年相差四分之一天,過了幾年後,日曆再也不能預期什麼時候天狼星會出現在天邊。只有在 1460(= 4 × 365)年之後,日曆與天狼星的位置會再一次吻合。埃及天文學家也知道這種 1460 年的天狼星周期。人類一定得先認知這種天體的規則性,才會想到怎樣運用它。

一旦經由天文與數學的研究發現了這樣的規則性,巴比倫與埃及人就知道要觀察星空的面貌。他們隨著星空的變化而狩獵、而漁事、而耕作、而收成、而舞蹈、而舉行宗教儀式。不久,星座就因其出現時人們有那些活動而命了名。獵戶座、雙魚座至今都還在那兒。

上天決定了行事的時間,但專橫的上天不能忍受對其命令遲緩的答覆。尼羅河每年的洪水帶來了豐富的淤泥,以耕種如此土地為生的埃及人卻在洪水來臨之前必須做許多準備工作。家、器具以及耕牛得暫時遷離泛濫區域,同時得準備在洪水之後馬上耕種。不只在埃及,在任何地方,事先都得知道什麼時候耕種,什麼時候是慶典祭日。

但是只憑數算逝去的日夜並無法達成預測的目的。365 天的年曆很快就不能與季節變化配合,因為它少了四分之一天、就是僅在幾天而能夠預測假日或洪水的來臨,也需要天體運行及數學的知識,而只有僧侶才擁有這些知識。因為知曉曆法對規範節日及預先準備的重要性,這些僧侶利用這些知識以爭取權力,控制無知的大眾。事實上,大家相信埃及僧侶確知一年長達 $365 \frac{1}{4}$ 天,但故意不讓百姓知曉。明知洪水何時將至,僧侶卻假裝可藉祭典行法將洪水帶進,以使貧苦農民為此貢獻所蓄。科學與數學的知識,就像在現代,在當時就是力量。

對生、死、風、雨以及自然景觀的驚奇所引起的宗教神秘,經由其可敬的親屬天文學的關係,而引到數學,很快地再由現今已經名聲不佳的占星學而附著在數學上。當然,占星學在古代宗教上的重要性不能從今日它的不名譽情況來判斷。在幾乎所有的宗教堙A星球,尤其是太陽,是主宰地球事物的神祇。這些神祇的想法與規畫,可以從研究它們的活動,它們的來來去去,流星突然的來臨以及太陽與月亮偶而的蝕損中得到啟示。就像現代的科學家用他的技術來研究及認識自然一樣,古代的僧侶很自然地會根據行星運行與星座,作出公式以預卜未來。

縱使天體不是神祇,在科學上還末成熟的民族也會很自然地將太陽、月亮以及星星的位置與人類的活動聯想在一起。收成與太陽的特別關係及與氣候的一般關係,動物在特定季節交配,婦女的經期(亞里斯多德與古希臘名醫都認為是由月亮運行所控制的),還有許多類似的關係很容易讓人有這樣的想法。特別對埃及人而言,尼羅河洪水在天狼星於日出時出現在天邊的那一天來臨這伴事,意味著一件事:天狼星引來了洪水。

宗教神秘更直接在壯麗的寺廟與金字塔的建造與定向上,以更幾何形式表現出來。每一個巴比倫的大城都要建造一個塔形的寺廟。這是矗立在好幾層梯形壇上的大建築物,可經由寬潤的石階達於其上,而且從數哩之外就可清楚地看到,埃及的寺廟與金字塔當然是眾所周知的。在建造金字塔時尤其小心,因為這是皇陵,而且埃及人認為,依數學的精準建造是使死者有其來生的要件。這些宗教建築的定向與天體間的關係,用 Karnak 地方著名的太陽神 Amon-Ra 的寺廟來說明是再恰當不過了。這個建築面對著夏至時的落日,而在這一天,太陽直接照進廟內,照亮了媕臐C

宗教神祕也不會輕忽數目的微妙性質之作為表達宗教想法的一種工具。3 與 7 這兩個數目特別引人注意。既然宇宙顯然是在有限期間內建造完成,為什麼不用一個討人喜歡的數目,像 7 以天數來計算建造完成的時間看起來是神力與宇宙的複雜之間的一個很好的折衷選擇。

猶太教的神秘哲學 Cabala,更說明了宗教家想用數目來解釋宇宙神秘的程度。一般認為巴比倫的僧侶發明了這種數目的神秘的、著魔的學問,希伯來人後來又把它發揚光大。這種偽科學是基於以下的想法的。每個字母與一個數目有關;事實上希臘人及希伯來人用字母作為表數的符號。每一個字就與其字母所代表的數目和相連在一起。兩個具有相同數目的字就一定會有關係,而且可以用這種關係進行預測。譬如,一個人從事某件事,而那件事的代表字眼的數目若與死字的相同, 那麼就可預測此人的死亡。

藝術興趣與宗教感情一樣都促使人類發覺及應用數學知識。當建築師研究與應用幾何以設計及建造美麗的公共建築物、寺廟及皇宮,畫家也被幾何圖形所吸引,認為這是表達美感的一種方法。六千年前波斯 Susa 城的藝術家時常使用和現代描象藝術一樣複雜的幾何圖形。他們在陶器上所畫飾的山羊,其前後腿都畫成三角形,角則是大大的半圓形;還有鸛鳥,其身體與頭部畫成了或大或小的三角形。幾何並不像 Herodotus 所說的,只是尼羅河的禮物,藝術家也將這種禮物呈獻給文明。

雖然埃及與巴比倫文明從人類需求和與趣汲取靈感以從事數學活動,但他們在了解或推展數學方面的貢獻都不怎麼樣。他們累積一些簡單公式,還有無數的規則或技巧,都只能回答特殊情形下所引起的問題。但是他們欠缺了這門學問的一般發展,他們的論題也不含一般性的原理。使我們獲知大部分埃及數學知識的 Ahmes 草紙只解出個別的題目,欠缺計算過程的說明或理由,有人認為巴比倫和埃及的僧侶可能知道一般的數學原理,只是祕而不宣。這大體是個臆測,其根源部分來自 Ahmes 草紙的標題:獲得所有有關暗事的知識手冊,另一部分來自埃及僧侶政治的特性,亦即,傳遞知識只由口授,而且讓百姓對統治階層存有敬意。從埃及與巴比倫的天文學,我們也看得出他們無法建立一個主要的科學知識體系,或涵蓋細節於一綜合體系內。在幾千年的觀察堙A他們無從建立理論,以連結或闡明許多觀察結果之間的關係。

學者往往過分強調建造金字塔及寺廟所需要的數學知識,以說明古代數學所具有的深度。有些人指出金字塔的每邊幾乎等長,彎角也近於 90 度。其實要達成這樣的成果,所需要的是小心與耐心而不是數學。準確的計算家並不一定就是偉大的數學家,金字塔建造者當然也不是;金字塔建造使人驚異的是其大規模的組織與工程。

從現代的眼光來看,埃及與巴比倫數學的另一重大缺點是:結論完全得自經驗。我們來檢驗埃及與巴比倫人獲得公式的方法馬上就能使我們知道這是怎麼一回事。

假定有一個農人想圍出一塊 100 平方呎的土地,形狀是長方形的,而且花費愈少愈好。要使圍牆的花費最少,當然就要使圍牆的長度愈少愈好。為了得到 100 平方呎的面積,他可以讓長寬各為 50 及 2 呎,或 20 及 5 呎,或 8 及 $12\frac{1}{2}$ 呎等等各種組合。這些不同的長方形有不同的周長,雖然它們的面積都是 100 平方呎。譬如 50 × 2 的長方形周長要有 104 呎,20 × 5 的只有 50 呎;等等。從上面算得的少數例子也可以看出不同的長方形,其周長的差別也可以很大。

這個農人處境不妙。假如他懂一些算術,他可以試取各種長度組合以得 100 平方呎的矩形,然後選定周長最短者。但是組合有無限多種,他無法一一注意到,因此他無法決定何者為最佳。一個聰敏的農人也許會注意到:長與寬愈相近,周長愈小。因此也可能猜想每邊 10 呎的正方形會得到最短的周長。但他無法確定。雖然如此,這種嘗試錯誤的方法引著他得到一種合宜的結論:同面積的所有長方形中要以正方形的周長最短。

這個農人毫無猶疑地使用他的猜想,而且因數據上以及經驗上都會支持他的結論,他就會把它當作可靠的數學事實而留傳給後代。當然,這樣的結論並不因此就確立,現代的數學學生也不允許用這種方法來「證明」。對此古老的數學研究方法,我們最多只能說:耐心代替了才能。

還有古代數學的另一面也值得我們注意:僧侶壟斷了所有知識,包括數學,以遂其私欲。知識使他們有權力;限制知識傳播就使有能力對此權力挑戰的可能性減少。更有進者,無知使人害怕,而受了驚的人就會順服於指點他們、使他們安心的領導人之下。

與沒有統冶僧侶階級的文明相比較,巴比倫與埃及的僧侶政冶顯得害處很大。往後我們會發現,希臘文明盛行的幾百年以及我們這世代的幾百年,和那兩個文明的幾千年相較,產生了無與倫比的知識與進步。

 
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編輯:朱安強 最後修改日期:2/17/2002