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.原載於科學月刊第十五卷第一期
.作者當時任教於台大數學系
 

歐幾里得無瑕獲釋?

曹亮吉

 
 

歐幾里得在其名著《原本》一書中。從五個公理出發,使用五種邏輯用法,一共推出了465個定埋,使原本成為整理數學的範本。

這五個公理是

一、兩點間必可聯一條直線。
二、直線可以任意延長。
三、已知圓心及半徑可作一圓。
四、凡直角皆相等。
五、如圖一,兩直線 ABCD 被另一直線截於 EF,若 $\angle AEF + \angle CFE < 180^{\circ}$,則兩直線在 $\overrightarrow{EA}$$\overrightarrow{FC}$ 的方向相交。



圖一

第五個公理就是有名的平行公理。它不像前面的四個公理那麼自明,亦即那麼簡單明瞭,那麼眾所公認。雖然前人並不懷疑歐氏幾何描述物理空間的真實性,但從有《原本》開始,大家就懷疑平行公理是否可以由其他的公理推出,或者可以用另一個更自明的公理來代替。歐幾里得本人也有此疑問,所以他在導出定理的過程中,能不用平行公理就不用,一直拖到第二十九個定理才不得已用上它。平行公理通常以如下的等價形式出現:過直線外一點有唯一的一條直線與其平行。所謂平行就是「永」不相交的意思,這就牽涉到「無窮」──一個不很自明、無法親身經驗到的觀念。歐幾里得不採取後一種形式的平行公理,也許也是要使平行公理顯得更自明的緣故。

其實從現代的眼光看來,歐幾里得所列舉的公理,就整體言並不完備,就個別言也不一定明確。所謂不完備,就是說他的公理不夠多,不足以推出原本所列的465個定埋;他之所以能「推出」這麼多定理,只因在推演的過程中,不自覺地用了許多未言明的假設。關於不明確,我們舉出公理一及公理二為例。公理一說兩點間必可聯一直線,但是否可以聯更多條的直線卻沒有說明。公理二說直線可以任意延長,但是否直線的長度無限也沒有說明。雖然沒有說明,但從原本的內容來看,歐幾里得暗地婸{為:兩點間只可以聯一條直線,而直線的長度無限。

如果只依照公理的字面從寬解釋,那麼前四個公理所說的不一定就只限於心目中的平面幾何了。因為如果球面上的大圓弧就是「直線」,那麼球面幾何也滿足前四個公理。

《原本》的評者,五世紀的 Proclus 對平行的觀念提出質疑。他說:歐幾里得平行公理中的那兩條直線會不曾像雙曲線與其漸近線一樣,雖然愈往遠處愈相近,但卻永不相交呢?雖然有此疑問,但他還是認為平行公理其實是一個定理,他有辦法把它導出。他的「證明」是基於以下兩個「自明」的假定:兩相交直線間,從一直線上一點到另一直線的距離,隨著該點與交點相離而無限增大;兩固定平行線之間的距離不能任意增大。其實這些假定並不能從其他的公理推出,也就是說即使滿足那四個公理也不能保證這樣的假定是對的。譬如球面幾何就是第一個假定的反例。Proclus 不過是用這些假定代替平行公理罷了,而代替者是否比所替代的更自明,則是見仁見智的事。

兩千年來,不斷有人不自覺地用了代替品「證明」了平行公理,接著有人指出其非;指正者又試著證明平行公理,而又不自覺地犯了錯誤。也有人擺明想用自認為更自明的公理來代替平行公理。前一類嘗試當然註定失敗,因為平行公理是獨立於其他四個公理的,是不能從它們導出來的。後一種嘗試的核心問題則在於「自明」沒有客觀的標準。大數學家 Legendre(1752-1833年)更是迷上了平行公理,二種嘗試都來,前後二十年之久,給了許多「證明」。

除了「過直線外一點有唯一的平行線」外,平行公理的常見代替品如下所列,其中(2)(7)(8),Legendre 都用過。

  1. 有兩條到處等距離的直線。
  2. 有兩個不全等但相似的三角形。
  3. 一四邊形若一雙對邊相等,且與第三邊都成直角,則其他兩角都是直角。
  4. 一四邊形若有三個內角為直角,則第四個內角也是。
  5. 至少有一三角形,其內角和為180度。
  6. 三角形的面積不會都小於一個固定值。
  7. 過一個小於 $60^{\circ}$ 的角內一點都有一直線與角的兩邊都相交。
  8. 不在一直線上的任三點會在一個圓上。

觀察球面幾何就發現前六個代替品並不能從頭四個公理導出。如果把頭四個公理做較嚴格的解釋,雖然球面幾何不再是個例子,但我們仍然能舉出一種幾何,它滿足頭四個公理,而上面所列的代替品在這種幾何上全都不對。這種幾何就是所謂的雙曲非歐幾何。Legendre絕沒料到會有這樣的幾何,難怪要白花了二十年的心血。

在一篇名為〈歐幾里得無瑕獲釋〉的論文中,義大利的數學家 G. Saccheri (1667-1733年)從另一個角度,想證明平行公理。在圖二中假設 AD=BC$\angle A =\angle B$ =直角。由全等形的定理馬上導出 $\angle C = \angle D$。Saccheri 根據這兩個等角的大小考慮下列三種可能:(一) $\angle C = \angle D$=直角,(二)鈍角,(三)銳角。他想用反證法,說明鈍角與銳角的假定都會導出矛盾,因此只有直角假定是對的,而它正好和平行公理等價。



圖二

鈍角假定相當於「過直線外一點沒有任何直線與之平行」,銳角假定相當於「過直線外一點可以引無窮條平行線」。就如 Saccheri 所言,鈍角假定可以輕易去除,為此我們先看《原本》中的一個定理。

《原本》第一卷第十六定理說:三角形的外角要大於不相鄰的任一內角。歐幾里得的證明是這樣的:在圖三中,取 AC 的中點 D,聯 BD,延長一倍至 E,聯 CE。則由全等形可知 $\angle A = \angle DCE$ $< \angle ACF$。這樣的證明「看」起來沒錯,但要假定直線長度無限,否則E點也許會繞回到 BD 線段上,像球面上的直線(大圓弧)那樣。



圖三

《原本》利用定理十六,在定理二十七中證明了:過直線外一點必可引一平行線。借用圖一,設 E 為直線 CD 外一點,取 CD 上任一點 F,作 $\angle AEF = \angle DFE$。若 $\overrightarrow{EA}$$\overrightarrow{FC}$ 交於 G,則得三角形 GEF 的外角 $\angle DFE$ 和不相鄰的內角 $\angle AEF$ 相等,這和定理十六互相矛盾。同理 $\overrightarrow{AE}$$\overrightarrow{FD}$ 也不能相交。因此 AECD 平行。

有了「直線長度無限」的假定,就一定有平行線,所以鈍角假定就不能成立。如果進一步假定歐幾里得的平行公理,「過直線外一點只能引一平行線」的結果一下子就可得到。

為了去掉銳角假定,Saccheri 從銳角假定出發,導出許多歐氏幾何中沒見過的、稀奇古怪的定理,古怪到一個程度後,Saccheri 就宣布得到矛盾,而判定歐幾里得無瑕獲釋。其實他導出的怪是怪,卻是千真萬確的定理──雙曲非歐幾何中的定理。只因時代未到,Saccheri 無法擺脫「歐氏幾何即是真理」這種先入為主的想法,所以做不成非歐幾何學的開山祖師。

G. Klüger(1739-1812年)在其1763年的論文中說:我們所以接受平行公理是基於經驗,而與「自明」無關。他懷疑平行公理是否可以經由其他四個公理導出,而且認為 Saccheri 並沒有導出矛盾,雖然其結果和經驗並不符合。

另一位數學家 J. Lambert(1728-1777年)考慮三個內角為直角的四邊形,一樣對第四個內角做直角、鈍角、銳角三種假定,也很快除掉鈍角假定,從銳角假定他也導出三角形內角和要小於 $180^{\circ}$ 的結果,而更進一步指出內角和與 $180^{\circ}$ 的差要正比於此三角形的面積,這和球面幾何的情形很類似,因此認為銳角假定也許會在某些半徑為虛數的擬球面上實現。他對銳角假定是否會引出矛盾並沒做最後的判定,因此他的論文也沒正式發表。

另外還有一位 F.K. Schweikart(1780-1859年),在1816年得到結論說,除歐氏幾何外,應該還有一種幾何,其假定就是基於三角形的內角和不是 $180^{\circ}$。他說這種幾何可能適用於星際空間,因此稱為星際幾何 (astral geometry)。他的侄兒 Taurinus(1794-1874年)研究星際幾何,認為它在邏輯上是沒有矛盾的,但我們的物理空間卻是歐氏的。

這些人雖然一步一步走向新的道路,認知:平行公理不是其他公理的必然結果;否定它也能有沒有矛盾的幾何。但他們總是把物理世界和數學模式攪混在一起,無法擺脫流行於當時的康德哲學:物理空間之為歐氏的是先驗的,因此無法勇敢地聲明:歐氏幾何只是描述物理空間的一種幾何,而非歐幾何也可能描述得一樣好,或更好。這些數學家幾乎成了,但終究做不成非歐幾何的創始者。真正上道還有待來人。

請續讀本篇姊妹作〈無聊與多餘之後〉。

 
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編輯:陳文是 最後修改日期:5/2/2002