劇變論(三)

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．原載於科學月刊第八卷第四期

劇變論(三)
蝴蝶點劇變及其應用

蕭欣忠

蝴蝶點劇變
蝴蝶點劇變的應用
結論

蝴蝶點劇變

在前篇中我們已經知道兩族摺點劇變 (fold catastrophe) 會合成一個尖點劇變 (cusp catastrophe)，同樣兩族尖點劇變會合成一個燕尾點劇變 (swallowtail catastrophe)。本文想來考慮如何把兩族燕尾點劇變會合成一個更高一級的蝴蝶點劇變 (butterfly catastrophe)。

我們來考慮具有四個參數 (t,u,v,w) 的多項式：

$\begin{displaymath}V(x)=\frac{1}{6} x^6+\frac{1}{4} tx^4+\frac{1}{3} ux^3+\frac{1}{2} vx^2+wx\end{displaymath}$

其導數為 V'(x)=x⁵+tx³+ux²+vx+w。在 (t,u,v,w,x) 五維的空間中考慮由V'(x)=0所決定的四維超曲面 (hypersurface) M，它叫做劇變曲體 (catastrophe manifold)。M 展布在 (t,u,v,w) 控制空間之上。由於維數太高，我們當然沒辦法全部畫出來。但是我們可以仿造前篇之中所使用的方法，藉著 V''(x)=5x⁴+3tx²+2ux+v， V'''(x)=20x³+6tx+2u 以及 V⁽⁴⁾(x)=60x²+6t 來找出那些使得 V'(x)=0 具有二重根、三重根或者四重根之點。我們知道，若一點 (t,u,v,w) 能同時滿足：V'(x)=0 及 V''(x)=0，則 V'(x)=0 具有二重根。至於能夠同時滿足 V'(x)=V''(x)=V'''(x)=0 之控制點 (t,u,v,w)，當然就能使 V'(x)=0 具有三重根。同樣藉著解聯立方程式 V'(x)=V''(x)=V'''(x)=V⁽⁴⁾(x)=0 可以得到所有使得 V'(x)=0 具有四重根之控制點。這點集是一條曲線，其方程式為：

$\begin{displaymath} t=-10x^2,\, u=20x^3,\, v=-15x^4,\, w=4x^5,\, \cdots \eqno{(1)} \end{displaymath}$

大略說來，我們的目的是這樣子的：我們想要在控制空間中找出 V'(x)=0 的判別式 ( discriminant) K，這個判別式 K 能夠把整個控制空間 (t,u,v,w) 分成若干部分，使得在某一部分 V'(x)=0 單單只有一個實根，但是在另外一部分 V'(x)=0 卻有三個實根，又在別的一部分 V'(x)=0 具有五個實根。既然 V(x) 是個六次方程式，當 x 為正負無窮大時 V(x) 值必為正無窮大，而且 V'(x)=0 之實根代表 y=V(x) 曲線之極大或極小，可見當 V'(x)=0 只有一個實根時，這實根代表 V(x) 的極小。但若 V'(x)=0 有三個實根，則這三根按大小排列分別為極小、極大、極小。如果 V'(x)=0 有五個實根，則按大小排列依次為極小、極大、極小、極大、極小。

由(1)式，一個控制點若使得V'(x)=0具有四重根，則t值不可能為正值，因此為了便於畫出判別式K的圖形，我們來考慮控制空間中隨便一個其t值為常數的三維空間。我們可以把這些t=常數的三維空間區分為三類：

t=a² 為隨便一個正常數；
t=0 為控制空間中所有 (0,u,v,w) 之點；
t=-a² 為隨便一個負值常數。

為了方便起見我們分別把這三類的控制空間中的 t 為常數的三維空間記為 S_a², S₀ 以及 S_-a²。首先來考慮 K 在 S_a² 中的截面，它應該是 S_a² 中的一個曲面，能把 S_a² 畫分成一些部分，使得在不同的部分 V'(x)=0 有不同數目的實根。圖一就畫出 K 的形狀，它好像一個屋頂由兩個曲面（二重根之點）沿著曲線 C 交結而成。其中 C 是 S_a² 中使得 V'(x)=0 具有三重根之點所集成，其方程式可從解聯立方程式： V'(x)=V''(x)=V'''(x)=0 而得，應為: u=-(10x³+3a²x), v=(15x⁴+3a²x²), w=-(6x⁵+a²x³)，這是一條很簡單的曲線，如圖一所示。

圖一

在三維空間 S_a² 中考慮各個 u=常數的平面，這種平面跟 K 的交線方程式可以藉著解 V'(x)=V''(x)=0（其中令 t=a²，u= 常數）而得：
應為：

$\begin{displaymath} u=-(5x^4+3a^2x^2+2ax),\, w=(4x^5+2a^2x^3+u^2) \end{displaymath}$

這種曲線畫出來也十分簡單，只是些尖點曲線，其尖點落在三重根曲線 C 之上。因此K可視為一族其尖點沿著C變動的尖點曲線所構成的曲面。這曲面把S_a²劃分成兩部分，在外側 I 的部分，只有一個實根，這是一個V(x)的極小。但是在K的內側，V'(x)=0有三個實根，故為V(x)的兩個極小夾一個極大。因此如果極小代表穩定的物理狀態，則在 II 中存在兩種穩定的物理狀態彼此相競爭。如果採用Maxwell法則，規定在那種使得兩個極小具有相等之V值之點，這兩個極小彼此相持不下，不分勝負，我們就可以得到一個以C為邊界的激震波(shock wave)曲面W，以分隔這兩個相衝突相競爭的極小之勢力範圍。

其次考慮K在S₀中的截面，其情況跟圖一完全類似，只不過這時三重根曲線的方程式變為:u=-10x³,v=15x⁴,w=-6x⁵，這曲線在原點十分的平直(flat)。每個u=常數的平面與K的交線方程式為:v=-(5x⁴+2ux),w=(4x⁵+ux²)。這仍然都是尖點曲線。

K 在 S_-a² 之中的截面情形就變得相當的複雜。圖二先畫出三重根曲線C。這時曲線不再像圖一中的C那麼單純，因為它的方程式變成為:

u=-(10x³-3a²x)

$\begin{displaymath}v=(15x^4-3a^2x^2) \quad \eqno{(2)}\end{displaymath}$

w=-(6x⁵-a²x³)

其中-3a²x,-3a²x²,-a²x³等項在x值不大時發生很大的作用，使得C從(-,+,-)的象限(x為大正值之時)一直伸展到P₁點，在這兒C有一個轉折，然後經過原點到達P₂，在這兒第二次轉折，而逐漸伸展向(+,+,+)象限的無窮遠處。這兩個特別的轉折點其實正是四重根點。記得(1)式在控制空間中為一條曲線，它跟S_-a²的交點就是在(1)式中令t=-10x²=-a²，因此 $x^2=\frac{a^2}{10}$ 而有 $x=\pm\sqrt{\frac{a^2}{10}}$ ，這樣的x值分別代入u,v,w便得P₁,P₂兩點。曲線C由於轉了兩折，在圖二中形狀像燕尾形，但是要記得C並不跟本身相交。當u=0時，由(2)式 $x=\pm\sqrt{\frac{3}{10}} a$ ，因此 $w=\mp\frac{6\sqrt{3}}{25\sqrt{10}} a^5$ ，表示由(-,+,-)升上來第一次碰到u=0平面之時w值為負，但曲線到P₁時w值已升為 $\frac{a^5}{25\sqrt{10}}$ ，轉折後w值逐漸減少到0再減少到P₂之 $-\frac{a^5}{25\sqrt{10}}$ ，在P₂轉折後w值急速上升，等到曲線在交u=0的平面時w又已經是正值 $\frac{6\sqrt{3}}{25\sqrt{10}} a^5$ 了。

圖二

現在我們要藉著圖三來看出S_-a²裏K的形狀到底如何。還是照樣取各個u=常數的平面，這種平面跟K的交線方程式是:

$\begin{displaymath} v=-(5x^4-3a^2x^2+2ux),\, w=4x^5-2a^2x^3+ux^2 \eqno{(3)} \end{displaymath}$

當u=常數小於 $-\sqrt{\frac{2}{5}} a^3$ 或大於 $\sqrt{\frac{2}{5}} a^3$ 時，(3)式形狀很好，都是尖點曲線，就像圖三中最左邊或最右邊的交線。但是當u=常數由P₂的 $-\sqrt{\frac{2}{5}} a^3$ 變化到P₁的 $\sqrt{\frac{2}{5}} a^3$ 時，這交線的形狀變得大為不同。從開始出現一個小小的燕尾形，演變成這個小燕尾形刺過尖點曲線的另一支而結果形成兩個聯合在一起共有一個共同尖點的燕尾形。然後一個燕尾形收縮，又演變成單單剩下一個小燕尾形，而後逐漸完全消失。

圖三

當u=小值的常數時，(3)式這條曲線的形狀很像蝴蝶；只要把圖三上方的第四截面圖顛倒過來看就是。這曲線把u=常數的平面劃分為幾部分：I的部分只有一個實根，因此V(x)只有一個極小。III的部分有五個實根，因此有三個極小。兩個被點了一小點的三角形以及II的部分有三個實根，因此有兩個極小。在圖四中我們能把這件事看得更加清楚。在V'(x)=0，令t=-a²，u=常數，則 V'(x)=x⁵-a²x³+ux²+vx+w=0變成一個展布於(v,w)平面上的曲面，在I上只有一層（一個極小），但是在II的部分確有三層（二個極小、一個極大），在III的部分有五層（三個極小、二個極大）。這個曲面就是劇變曲體M在 S^u_-a² x x-軸這個三維空間裏所呈現的樣子，其中S^u_-a²代表S_-a²之中u=常數的平面。

圖四

圖四中當u是個不為0的小值常數時，S^u_-a²平面中的蝴蝶形曲線對於v軸並不對稱，蝴蝶形是偏向扭曲的。但是如果u=0，則(3)式變為 v=-(5x⁴-3a²x²)， w=4x⁵-2a²x³。這是個對於v軸對稱的正蝴蝶形。由於u值的變化會影響蝴蝶曲線的形狀，因此u通常就叫做偏向因子(bias factor)。在圖四中如果我們考慮v=常數的平面做為截面跟M所形成的交線，我們能看出，當v=負值常數時(考慮直線E₁)，這交線的形狀我們十分熟悉，它其實已出現在尖點劇變的模型之中，上下兩支代表極小，中段卻代表極大。因此對於v小於0而言，圖四其實就是個尖點劇變的模型。控制因子沿著E₁變動會產生突然的不連續的劇變現象，由一個極小跳到另一個極小。如同前篇中已定義，我們稱v為分裂因子(splitting factor)，稱w為正則因子(normal factor)。另一方面，在圖四中，當v是個比較大的正值常數時，例如考慮E₂直線(當u=0時，由(3)式容易算出只需要求v大於 $\frac{9}{20} a^4$ 便可)，這交線根本不打摺，因此控制因子沿著E₂變動時根本不產生任何劇變現象，這也是尖點劇變模型中我們所早已熟悉了的。圖四這個模型中最有趣的部分是當v等於小值的正數之時，因此讓我們考慮S^u_-a²中平行於w軸的直線E₃及E₄，這時M上位於E₃及E₄上方的兩條曲線形狀分別畫成圖五之中的E'₃及E'₄。這兩條曲線都打了四摺，上下及中間的實線段代表極小，連結這些實線段的點線段代表極大。

圖五

在E'₄ 的情形，如果控制點沿著E₄從右往左移動，而且我們使用第二篇所介紹的拖延法則(Delay Rule)，則極小最初位於E'₄的最上支，一直連續移動到A點，然後發生劇變現象一下子從A跳躍到中層的A'點，然後連續沿中層一直走到A''，再次發生劇變而跳躍到最底下的極小A'''。反過來，如果控制點是在E₄上從左往右移動，則極小在最下支右移到B點，發生劇變跳到中支的B'點，然後連續沿中支右移到B''點再次發生劇變而跳到上支的B'''點。但是如果考慮E'₃線，情形就有點不同，這時儘管仍有中間的極小存在，但是它的範圍不很大，並不位於A(或B)點的下(或上)方，因此若使用拖延法則則劇變現象直接在上下支之間變到，不取道中支的極小。

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編輯：陳文是

最後修改日期：5/2/2002