數學的換尺術

．原載於科學月刊第七卷第十一期
．作者當時任教於台大土木系

數學的換尺術
如何解決逼近計算時遇到的一些問題

周文輝

在物理學或是工程上運用數學來解決問題的時候，往往因為所設立的數學模式過於複雜而無法得到精確的答案。這個時候物理學家或工程師總是要想辦法做逼近計算。事實上，工程上所需要的精確度有時候僅要三到五位有效數字就夠了。即使在很多有可能得到精確解的情形下，工程師們只要能用逼近方法很快地得到近似答案，就犯不著花很大力氣去尋求精確值。

我們首先看一看一個初中代數裏曾經做過的問題：求 3x²+0.5x-27=0 的解。任何一個初中數學及格了的同學都會告訴我答案

$\begin{eqnarray*} x_1&=&\frac{-0.5+\sqrt{(0.5)^2+324}}{6}=2.91766\cdots\\ x_2&=&\frac{-0.5-\sqrt{(0.5)^2+324}}{6}=-3.08433\cdots \end{eqnarray*}$

假設我們想要用逼近的方法來計算這兩個根的近似值，應該怎樣進行呢？我們可以用迭代方法來計算。首先估計在上面寫出的代數方程式裏各項之間的相對大小。如果x不是太大或太小的數目字，那麼0.5x的絕對值總是比3x²，或27小了很多。比方說x=5的話 $0.5x=2.5\ll 27$ 或75。如果x=8的話 $0.5x=4\ll 27$ 或192。所以，首先我們就認定了0.5x是可以暫時不必理它的。於是得到第一次的逼近方程式:

3x²=27

而得到x兩個根的第一次近似值 $x_1\approx3$ ， $x_2\approx-3$ 。這時再回頭過來想0.5x一定對這兩個根有一點影響，那麼如果知道x值的近似值，可以算出0.5x的近似值，把原來方程式寫成以下的迭代形式。

$\begin{displaymath}x_1=\sqrt{\frac{27-0.5x_1}{3}},x_2=-\sqrt{\frac{27-0.5x_2}{3}}\end{displaymath}$

把第一次算出來的近似值 0.5x₁=1.5 與 0.5x₂=-1.5 代到上面式子的右方，就可以算出來新的近似值

$\begin{eqnarray*} x_1&\approx&\sqrt{\frac{27-1.5}{3}}=2.9137\cdots\\ x_2&\approx&-\sqrt{\frac{27+1.5}{3}}=-3.0822\cdots \end{eqnarray*}$

上面這兩個近似值都已準確到三位數字。如果還想再提高精確度，還可以用這兩個新的近似值去計算0.5x的值，然後代到迭代式裏反覆計算就可以了。

不過盲目地利用迭代方法的話，有時候是行不通的。譬如以下的這個代數方程式:

0.01x²+3x-15=0

我們仍和以前一樣，發現式子的第一項前面乘了一個小數字0.01所以首先可以忽略掉它而得到以下的迭代形式

$\begin{displaymath}x=\frac{1}{3}(15-0.01x^2)\end{displaymath}$

於是第一次的近似值x=5，第二次近似值 $x=4.9166\cdots$ ，第三次 $x=4.921\cdots$ 。可是問題是:原來的二次方程式應該有兩個根，利用迭代法只找到了一個，另一個到那裏去了?上面這個迭代方法我們給它取個名字:「瞎子摸象」法。因為它生就一隻小眼，直把x值看小了。如果我們去做x的精確解就得到: $x_1=4.919\cdots$ ， $x_2=-304.919\cdots$ ，迭代法的小眼看不清楚x₂這隻大象了。那麼怎樣做這問題呢?我們用一個換尺的方法。比如說變數x是長度，而是用公分為單位的。用刻度是公分的尺來測量大象當然是不很適當的。現在我們用一把以公尺為單位的皮尺來量這大象。所以令: $x=100\overline{x}$ ，新的變數 $\overline{x}$ 是以公尺做為單位的。這樣原來的方程式就變成了

$\begin{displaymath}\overline{x}^2+3\overline{x}-0.15=0\end{displaymath}$

這時，我們可以判斷如果 $\overline{x}$ 不是甚麼怪物的話0.15一定可以先行忽略掉。所以第一次 $\overline{x}$ 的近似值是 $\overline{x}_1=0$ ， $\overline{x}_2=-3$ 。第一個根所以為零的原因，是因為我們用公尺為單位的尺來量老鼠，當然是很小的。現在我們就可以用以下的兩個迭代式算出來新的近似值

$\begin{eqnarray*} \overline{x}_2&=&-3+\frac{0.15}{\overline{x}_2}\\ \overline{x... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 31}?)} \end{eqnarray*}$

所以第二次兩根的近似值是 $\overline{x}_1=-3.05$ , $\overline{x}_2=0.05$ , 第三次 $\overline{x}_1=-3.0491\cdots$ , $\overline{x}_2=0.049\cdots$ 。如果再換回去以公分為單位就得到了正確的近似答案。一般來說，代數多項方程式的最高次項是不能忽略的，一忽略掉就會去了一些根。這時候必須用換尺的方法來計算。

現在我們跳級到大學二年級的問題：常微分方程的逼近解法。求 $\epsilon\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dx}{dy}-y=0$ ;y(0)=0; y(1)=1, $\epsilon\ll1$ 的解。首先我們想像 y 的二次導數不是甚麼怪物，所以，上式中的第一項是可以忽略的。於是得到了近似通解：

y=c₁e^x

如果用了 y(0)=0 的邊界條件，則得 y=0 這個很無聊的解；若 y(1)=1，則解不該很無聊。所以在上式中我們用y(1)=1的邊界條件決定了

y=e^x-1

這個解答的圖形表示在第一圖裏。

第一圖

問題是:在第一圖裏x=0時y=0，或y=e^-1。所以我們的解答在x=0的地方y由0跳到e^-1，產生了一個不連續的階梯。怎麼搞的呢?

這是由於我們用肉眼來查看這世界，對於很微小的東西是看不清楚的。在x=0附近很小的範圍裏，y由零急遽地變化到e^-1。原來以為應該很小的 $\epsilon\frac{d^2y}{dx^2}$ 在這個很小的範圍裏面和其他的項比較，已不能忽略了。所以，我們現在必須使用一個數學的顯微鏡，把這個範圍放大，仔細瞧瞧 y 是怎樣由 y=0 到 y=e-1 的。這個顯微鏡就是以下的變數變換了。

令 $x=\epsilon\overline{x}$ 。那麼當x很小的時候， $\overline{x}$ 就是不大不小的數字。在新的座標上看，就等於把原來的x尺寸放大了 $\frac{1}{\epsilon}$ 倍了。這樣我們也許可以看清楚x很小的地方藏看的一些構造了。在新座標上，原來的微分方程就變為

$\begin{displaymath}\frac{d^2y}{d\overline{x}^2}+\frac{dy}{d\overline{x}}-\epsilon y=0\end{displaymath}$

現在看起來，在新座標上，最後一項的作用就不大了。所以把它忽略以後就得到以下的解

$\begin{displaymath}y=B_1+B_2e^{-\overline{x}}\end{displaymath}$

因為 y(0)=0，所以

$\begin{displaymath}y=B_1(1-e^{-\overline{x}})\end{displaymath}$

如果我們把它寫回去原來的座標

$\begin{displaymath} y=B_1(1-e^{\textstyle -\frac{x}{\epsilon} }) \end{displaymath}$

就可以看出來，在 x 很小的範圍內，y 就很快地從零變化到 B₁。所以顯然 B₁=e^-1。而上面的式子只能適用在 x 很小的範圍。我們用這方法知道 y(x) 的圖形應該像下面的圖。

第二圖

有趣的是如果我們把上面所做的兩個不同的近似解湊起來，成為

$\begin{displaymath} y=e^{x-1}(1-e^{\textstyle -\frac{x}{\epsilon} }) \end{displaymath}$

就能夠很適當地描寫整個x範圍的函數值了。我們可以找原來的方程式的精確解得到

$\begin{eqnarray*} y&=&K_1(e^{\lambda_1x}-e^{\lambda_2x})\\ \lambda_i&=&\frac{-1... ...lon}\quad i=1,2\\ K_1&=&(\frac{1}{e^{\lambda_1}-e^{\lambda_2}}) \end{eqnarray*}$

當 $\epsilon$ 很小時,用二項展開,得到逼近的答案

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 &\approx& \frac{ -1 + (1+\frac{1}{2} \times 4 \epsi... ...& \frac{1}{e-e^{\textstyle -\frac{1}{\epsilon}}} \approx e^{-1} \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{eqnarray*} y &\approx& e^{-1}(e^{x}-e^{\textstyle -\frac{x}{\epsilon} }) ... ...on}} )}] \approx e^{x-1}[1-e^{\textstyle -\frac{x}{\epsilon} }] \end{eqnarray*}$

與用逼近法縫補補得到的答案是一樣的。

上面這個例子的原題是很簡單的，也許用不著做逼近計算。但是在一些複雜的方程式裡，這種方法提供了一個有利的計算工具。同時對於冷眼觀察宇宙的科學家們，它代表了一個很重要的觀念；當你不能一下洞察具細的時候，你必需選擇不同的尺度來觀察，然後編織出一個很有秩序的世界。

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編輯：李渭天 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002