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．原載於科學月刊第一卷第四期
．作者當時任教於台大數學系
 

黃金分割比

黃敏晃;方述誠

 
 


再談費布那齊數列

上次所談的內容是費氏數列。寫完稿後，因覺得還有許多與費氏數列有關的問題，還沒談到，所以再來談談，費氏數列是 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,等，我們可以用下列的遞迴關係式表示出來：
設 f(n) 表示費氏數列的第 n 項，則

\begin{displaymath}f(1)=1,f(2)=1, n \neq 3 \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 118}}, \quad f(n) = f(n-1) + f(n-2) \end{displaymath}

由此，我們可以算出費氏數列的任意一項，但讀者不難體會到，如果 n 很大時，要照上式算出 f(n) 是很困難的，所以，我們想找出一些近似算法，來補救這個缺陷。

為了達到這個目的，我們先讀費氏數列中相連的兩項，做出它們的比值來，看看有什麼發現。我們由頭幾項開始（計算時只計算到小數點後第四位小數）：

\begin{displaymath} \begin{array}{ll} {\displaystyle a_1 = \frac{f(2)}{f(1)} = \... ...} \\ [10pt] \cdots\cdots\cdots & \cdots\cdots\cdots \end{array}\end{displaymath}

這樣做下來，我們就得到兩的數列 an 與 bn，它們具有下列的性質：

(1) $a_n = \frac{f(2n)}{f(2n-1)}$, $b_n = \frac{f(2n+1)}{f(2n)}$
(2) an 是一個遞增數列，而 bn 是一個遞減數列

\begin{eqnarray*} & a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 \cdots < a_n < \cdots & \\ & b_1 < b_2 < b_3 < b_4 < b_5 \cdots < b_n < \cdots & \end{eqnarray*}


(3) 數列 an 中任一項，都大於數列 bn 中任一項，所以

\begin{displaymath} a_1 < a_2 <a_3 < \cdots <a_n < \cdots <b_m < \cdots < b_3 < b_2 < b_1, \end{displaymath}

(4) 由(3)知道，遞增數列 an 有上限，遞減數列 bn 有下限，所以數列 an 與 bn 都有極限存在。
(5) 當 $n \rightarrow \infty$ 時， $\vert b_n - a_n\vert \rightarrow 0 $。 所以當數列 an 與 bn 趨近同一個極限。這個極限介於 1.6180 與 1.6181 之間。實際上，這個極限是 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（取到小數點後五位的準確值是1.61803）。

有了極限值 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 後，我們就可以把費氏數列的第 n 項用它表示出來（因證明過程極為繁複，就此省略）：

\begin{displaymath} f(n) = \frac{1}{\sqrt{5}} \big[ (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n \big] \end{displaymath} (1)

注意到 $\sqrt{5} \approx 2.236$，而 $\frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618$，不過當 n 很大時，(-0.618)n 就變得很小。所以，當 n 很大時，可以在上式中略去 $(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$ 這一項，而得到下列的近似值：
\begin{displaymath} f(n) \approx \frac{(1.618)^n}{2.236} \end{displaymath} (2)

例如，當 n=50 時，(1)式給出 f(50)= 12586269025，而(2)式給出了， $f(50) \approx 12600000000$，這是一個很好的近似值了。

 
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編輯：康明軒 ／ 繪圖：簡立欣 最後修改日期：5/2/2002