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．原載於科學月刊第二卷第八期
．作者當時任教於台大數學系
 

兔子、鳳梨、向日葵、帕德能廟、正十邊形、鸚鵡螺

曹亮吉

 
 

這是什麼怪題目？怎麼會擺在數學趣味這一欄？恐怕放錯了地方吧！沒錯，絕對沒錯！且聽我慢慢道來。 十三世紀的意大利數學家費伯納西(Fibonacci)寫了一本書叫做《Liber abacci》那是商用的算術和代數手冊。在這本書裏，他提出了這麼一個有趣的問題:假定一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子，其後每隔一個月又可以再生一對小兔子。假定現在在一個籠子裡有一對大兔子和它們剛生下來的一對小兔子，請問一年以後籠子裏應該有幾對兔子？

讓我們慢慢地算一下。一月底，大兔子又生了一對小兔子，但是第二代的那對小兔子還沒成熟，還不能生小兔子，所以總共有三對。 二月底，第一、二兩代的兩對兔子各生了一對小兔子，連同一月底所有的三對，現在一共有五對了。三月底，在一月底已經有的三對兔子各生一對小兔了，連同二月底所有的五對兔子,現在一共有八對了。 依此類推，每個月底所有的兔子對數應該等於前一個月底所有的兔子對數（也就是原有的兔子對數）加上前兩個月底所有的兔子對數（這些兔子各生了一對小兔子）。所以每個月底的兔子對數應該是3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、…，每一項都是前兩項之和。現在假定十四代同堂，那麼一年後籠子裡應該有610對兔子了。

費氏本人對這個數列並沒有再做進一步的探討。直到十九世紀初才有人詳加研究，其後各方面的文章就像費氏的兔子一樣迅速地增加，而 1、1、2、3、5、8、13、21…這個數列就被叫做費氏數列（最初的兩項代表最開始的一對大兔子和一對小兔子）。現在讓我們看看費氏數列到底和向日葵、帕德能廟、正十邊形、鸚鵡螺等等有些什麼關係：

為方便起見，我們用 Fn（$n \geq 0$）表示費氏數列的第 n 項，譬如 F7=21 表示費氏數列的第七項是 21。現在把每一項用前一項來除，得一個新數列：

\begin{displaymath} \begin{array}{ll} {\displaystyle \frac{F_1}{F_0} =\frac{1}{1... ...playstyle \frac{F_9}{F_8} =\frac{55}{34}=1.618, } & \end{array}\end{displaymath}

這不是很奇怪嗎？新數列好像趨近某個定值 $1.61\cdots$。讓我們用 Gn 表示新數列的第 n 項 $\frac{F_{n+1}}{F_n}$。因為費氏數列中的每一項都是前兩項之和，所以 Fn=Fn-1+Fn-2。那麼

\begin{displaymath} G_n=\frac{F_{n+1}}{F_n} = \frac{F_{n}+F_{n-1}}{F_n} =1+\frac{F_{n-1}}{F_n}=1+\frac{1}{G_{n-1}} \end{displaymath}

由 $G_n=1+\frac{1}{G_{n-1}}$ 這個關係式，我們可以證明 Gn 是趨近到一個定值的（證明的過程要費一點手腳，在此不提。），我們管這個定值叫做 φ 這就是說， 當 n 愈大時，Gn 和 φ 之差就愈小，而 Gn-1 和 Gn 之差也可以小而不計。所以由 $G_n=1+\frac{1}{G_{n-1}}$ 這個式子我們可以推得 $\varphi=1+\frac{1}{\varphi}$（嚴格的證明須要有清楚的極限觀念。），而算得 $\varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。

雅典的帕德能廟 (Parthenon at Athens) 莊嚴、宏偉、給人以美的感覺，被認為是古希臘最偉大的建築之一。為什麼它會顯得那麼和諧。有人說它的寬度和高度正合於黃金律。

什麼是黃金律?那就得先從黃金分割談起。如圖一，假如 $\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{BC}$，那麼就說C點把線段AB黃金分割了。認我們來算算 $\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{BC}$這個比值:

\begin{displaymath}\frac{AC}{BC}=\frac{AB}{AC}=\frac{AC+BC}{AC}=1+\frac{1}{\frac{AC}{BC}}\end{displaymath}

這個比值不就是前面所求的φ嗎?正是，一點不錯，我們叫它做黃金比值(Golden Ratio)。報紙、書本度和寬度之比往往接近這個比值，大概是因為在這個比例之下，它們看起來很順眼，很和諧吧!建築和繪畫方面也常利用這個比值來引起美的感覺，這就叫做黃金律。


圖一

歷史上，正多邊形的作圖很引起人們的興趣，同時在數學上也佔看相當重要的地位。我們來談談正十邊形的作圖吧!


圖二

如圖二，假定O點是正十邊形的心，那麼OAB是個等腰三角形，它的頂角 $\angle AOB=36^{\circ}$， 底角 $\angle OAB=\angle OBA=72^{\circ}$，作$\angle OBA$的分角線BC，則由角度的計算得知OC=BC=AB。 又因$\triangle BCA$和$\triangle OAB$相似，得 $\frac{OA}{BC}=\frac{AB}{AC}$， 所以 $\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{AC}$,這就是說C點將OA黃金分割了。如果給一個一定的長度OA， 我們能夠求出AB(=OC)，那麼$\triangle OAB$就可以作圖，而正十邊形的作圖也就完成了。

但是怎麼樣把一線段AB黃金分割呢?(圖三)，引直線BD垂直於AB，令 $BD=\frac{1}{2}AB$，連接AD， 在AD上取DE=BD，在AB上取AC=AE，則C點就把AB黃金分割了。


圖三

長和寬之比為 φ 的長方形叫做黃金長方形。這種長方形有許多奇怪的性質。假如我們從黃金長方形 ABCD 的一端把小正方形 ABEF 去掉（圖四），剩下的 CDEF 還是一個黃金長方形。用同樣的方法，可別逐漸步去掉許多正方形而得到愈來愈小的黃金長方形，而黃金分割點 F,H,I,J,K,L, … 都排在一個等角螺線上，螺線的心正好是兩虛線 AC 和 DE 的交點。所謂等角螺線（圖五）就是向徑和切線的交角永遠不變的曲線。鸚鵡螺的外殼、象鼻、羊角、鸚鵡的爪子等等都是成等角螺線形的。


圖四


圖五

仔細觀察雛菊花蕊的排列，你會發現它們也是成等角螺線形。這種排列可以有兩種看法：左旋的和右旋的。大部份雛菊的左旋數和右旋數是21和34，正是費氏數列的相鄰兩項。松果、鳳梨的鱗片也有類似的排列，而排列數各為 5 和 8 以及 8 和13，也是費氏數列的相鄰兩項。向日葵也是一樣（圖六），通常左旋數和右旋數各為34和55，更大的向日葵則有89和144，甚至144和233的排列數，都是費氏數列中相鄰的兩項。


圖六

1960年左右，許多數學家對費氏數列和有關的現象非常感到興趣，不但成立了費氏學會，在1963年居然還創辦了《費氏季刊》，做為會員發表觀察結果和個人心得的園地，是一份相當學術性的刊物。有人說未爾吉 (Vergil) 和那時候的許多羅馬詩人經常在他們的作品裏應用費氏數列；甚至鋼琴的琴鍵在一個八度音之間有黑鍵五個，白鍵八個！費氏數列到處可見。

費氏數列相鄰兩項的比值趨近於黃金比律，由黃金長方形又可描出等角螺線，等角螺線又出現在松果、鳳梨、雛菊、向日葵等，而它們的左右螺旋數又恰好是費氏數列相鄰的兩項，自然之造物令人嘆為觀止！

現在提出一些問題來讓讀者花點腦筋想一想。

1. （圖七）假定蜜蜂在蜂房裡只能向右方或上右方移動，那麼移到第 n 個小蜂房的方法有幾種？


圖七

2. 如果以 Fn=Fn-1+Fn-2（F0=1,F1=1）來表示費氏數列，則我們說費氏數列是以遞推公式 (Recursive formula) 表示出來的，那就是說該數列的一般項並沒有辦法直接計算，我們所知道的只是該項和前面各項之間的關係而已。譬如說等差數列的遞推公式是 an=an-1+d，d 是公差，但是我們可以求到它的一般公式 an=a0+nd。由這個公式，an 的值就可以直接求得了。因為在許多場合裡我們希望有一個可以直接計算的公式，所以求得數列的一般公式是一個重要的課題。那麼費氏數列是否有一般公式呢？有的，一般公式是這樣的：

\begin{displaymath} F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]\quad n\geq1 \: , \end{displaymath}

而 F0=1。 請讀者證明這是費氏數列無誤。

3. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\varphi$是黃金比值， $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是個純小數，所以n很大時 $(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$的絕對值就變得很小,譬如n=6時該絕對值小於0.1。所以n很大時，將φ自乘n次以後，再除以$\sqrt{5}$，取最接近的整數就得Fn。事實上φ取值1.62,$\sqrt{5}$取值2.24就夠了。請讀者仔細考慮為什麼Fn的值可以這樣計算 ，並自行算出幾項來。

4. 試證 $\sum_{k=0}^n F_k = F_{2n}$

5. 讓我們來玩一種兩個人玩的遊戲。現在有n顆石頭，誰能拿掉最後一顆石頭，誰就贏。規則是這樣的：

(1)如果甲先拿，則第一次甲不能拿掉所有的石頭。

(2)其後乙、甲輪流拿，每個人每次最多只能拿掉前一次對方拿掉石頭數目的兩倍。

在這種規則之下，如果 n 是費氏數列的某一項，則先拿的會輸，反之如果 n 不是費氏數列的任何一項，則先拿的會贏。你可知道這是怎麼一回事？讓我給你一點提示：任何正整數都可以唯一地寫成費氏數列中某些項的和，而費氏數列中相鄰的兩項不能同時出現在該表示式裡。

6. 頂角為36度的等腰三角形叫做黃金三角形，這在討論正十邊形作圖時已經考慮過了。請你也仿照黃金長方形，描出等角螺線來，並找出螺線的心。

7. 請嚴格地作出正十邊形來。正五邊形又如何？

8. 請證明本文裡黃金分割的作圖是對的。

9. 請注意觀察自然界中還有那些現象和費氏數列黃金律或等角螺線有關。

 
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編輯：李渭天 ／ 繪圖：張琇惠 最後修改日期：2/17/2002