阿林談微積分(下)

曹亮吉

．原載於科學月刊第一卷第七期
．作者當時任教於台大數學系

「微分和積分的關係是怎麼回事?你好像時常提及。」小華忍不住插口。

「哦!因為這兩者間關係的定理太重要了。本質上，微分和積分是反運算，就好比乘法與除法互為反運算似的。表面看來，微分是求變化，求曲線的切線斜率，而積分是求面積，是一種和，二者彷彿風馬牛不相干;如今卻發現他們的關係竟是這麼密切。這個發現本身便足以令人讚嘆、欣賞，不但是意外發現的樂趣，其美妙的關連更如面對一幅名畫，或聆聽一曲交響樂。」阿林愈講愈起勁了。

「到底是怎樣的反運算關係?」小華就愛追根究底。

「要回答這個問題，還是用個實例來說明，就清楚了。我們已知道，x³在x₀的變化率是3x₀² -插一句話，這個變化率3x₀²顯然會因x₀的不同而不同。換言之，變化率還是x₀的函數，我們稱它作導來函數。於是從任何一個函數f(x)，我們可以對應於另一偶函數 f'(x)或寫作 $\frac{df(x)}{dx}$ 因此， $\frac{1}{3}x^3$ 的導來函數便是x² 。但上次我們曾算過，把x²從0積分到b的面積正是 $\frac{1}{3}b^3$ ，這個b如變化，面積便也跟著變化，所以它也是個函數 $\frac{1}{3}x^3$ 。於是一個函數，也可對應另一個"積分函數"。所謂"對應"，就是一種運算。你看微分和積分這兩種運算正是互為反運算呢。就是說，把x²先用積分運算，對應出一個新函數 $\frac{x^3}{3}$ ，再用微分運算，使得回原先的函數x² ;同樣，也可先作微分運算再求積分。

這末一來，想求一個函數的積分，只需先看它是什麼函數的導來函數，便可算出了。」

「這還是不太方便啊!」

「不錯。就計算上來說，積分還不如微分方便。在微分中，只要寫得出式子，而且它的極限值存在，一定可算出它的導來函數;可是許多簡單的函數，它的積分函數都不易求出。舉個最簡單的例子: xⁿ的導來函數是nx^n-1。這個n不但可以是1,2,3,......等自然數，也可以是0，負數，甚至分數或任何實數。但xⁿ的積分函數 $\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ (你自己證證這個式子)，當n=-1時便沒有意義了(0不能當除數)。」

「那麼n=-1時積分就不存在了?」

「當然不對。積分是求面積。我們如把這個函數 $f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}$ 畫出來 (是一條雙曲線):

顯然，從a到b的斜線面積是存在的。」

「那到底怎麼求呢?」

「求法還是得先找出 $\frac{1}{x}$ 是什麼函數的導來函數。這個積分函數已不是xⁿ的形式，它甚至不是多項式分式或帶有根號、指數等的代數函數，而是個超越函數- 對數函數 $\log x$ 。你看，一經積分，可把代數函數積出超越函數來。

這還算簡單。有許多函數根本就找不出稍為熟悉的積分函數。遇到這種情形，就只好用各種近似法，或查表，或用電子計算機來算了。

「雖然如此，但畢竟積分遇有路可循，而且常見的函數有一大半部可用微積分的關係來求出它們的積分函數。

「還有一個有趣的現象。積分後的函數可能愈來愈古怪。愈來愈"超越"，微分則恰好相反，它往往把"超越"或古怪的函數平凡化了。因此積分會造出許多新的函數出來，函數的領域便拓寬了，數學家可研究的材料便增多了。較易計算的微分便沒有這份本事。

「更有趣的事是:微分雖然較易計算，但限制反而較大。可以微分的函數一定可別積分。但反之。卻不成立 - 許多能積分的函數卻不能微分，因此兩者雖是互為反運算，適用的條件卻不一致。最簡單的例子就是"階梯函數"(如圖):

這種函數的面積顯然存住，但在x₁,x₂點是不連續的，在那些點就不能求它的變化率-也就是不能微分了。連繽的函數不一定可微分，但卻一定能積分-甚至不連繽的函數有時都可積分呢!」說到這裏，阿林停頓了一下。小明和小華聽得正出神，一時整個氣氛凍結成一團。

「好了，微分的重要觀念以及微分、積分間的關係已大致談過了，你們有沒有其他問題呢?」

小明搖搖頭，一副飽飽倦倦的模樣，正如剛吃下一席大拜拜，一時消化不了。「最好請你介紹些具體的應用，幫助消化吸收。」

「微分的應用太廣了,......」

「為什麼它有這麼大的應用?」阿林才開口，小華就插嘴了。

「這個問題很好。微分應用太廣了，我正愁不知從何談起呢。現在我們可以根據它「為什麼」有重大應用的原因為綱目，來介紹它。」

小華得意地向小明扮個鬼臉。剛才他插嘴時，小明顯得滿臉不耐煩。

「首先是微分的根本定義:微分是研究變化的學問。我們這個世界是動態的，任何一種現象都會因時間而變化- 動的車子，它的位置會隨時間的變化，夏天的溫度不同於春天，樹木會長大，這個月的投票比上個月漲了，你喜歡的那個女孩子今天變得更漂亮等等，所謂動態就是隨時間而變化。既然一切都會隨時間而變化，研究變化的微分學，便成為不可或缺的工具。

「甚至靜態的現象，例如空氣的密度會隨地點與高度而變化，地表在不同地點的起伏不同，一個彈簧拉遠拉近，其作用力就有變化等等，也都會牽涉到變化。從以上的分析不難知道，微分是所有科學的基礎，只要那些科學所研究的對象，能移用數量表示。

「舉個更具體的情況，研究對象的性質，一受外來影響，很自然地會產生變化，好比推你一把，你就會動一動; 用火拷烤，蕃薯就香了;戰爭停停打打，股票市場便隨之波波動動等等。科學家研究這些現象，首先要把研究對象的性質以及外來影響 "數量化"，就是說各找出一個函數來;其次要找出性質變化和外來影響的關係，這等於發掘自然定律或法則，這樣的定津通常是個方程式，包含了外來影響函數，以及性質函數的導來函數 (變化率)。這種包含微分的式子，便叫做微分方程式。多數的自然定律，都是以微分方程式的形式表示出來。

「以上是由微分的基本定義，而介紹它可能在各門科學的應用。在數學本身，也有許多應用。最重要是由它和積分的關係，藉它 "容易計算"的性質，使積分成了一門極有用的工具。另一項重大用途，是函數曲線的研究。

「一個函數曲線，如果只用代數的方法，我們通常只能求出它的根，即找出所有的x,使 f(x)=0 如果把函數圖解出來，譬如它的形狀可能如下:

我們等於說只求出x₁,x₂,x₃等三點。至於這個曲線在其他各地的情形如何,我們完全不知,除非我們把每一點的值都算出來;但這顯然行不通,因為總共有無數點呢!」

「但我們可以每隔一單位長度,求一次值。」

小明建議說。

「這當然是個辦法。但一來太麻煩了 -你通常要算十來個數值以上-,二來有時會行不通。譬如有個函數f(x)，它在x=0,1,2,3,的位置如下圖:

你說曲線應如何連起來呢?」阿林目視小明。

「這還不容易,它當然應該像f₁(x)」:

「你怎麼知道它不在1和2之間彎一次,像f₂(x)那樣呢?或甚至大彎若干次,像f₃(x)那樣?」

「這個......,這個......,好像不太可能嘛!」小明被問住了。「當然可能啊!有什麼理由說是不可能?」

「......」

「可見分別求1,2,3,......的數值並不可靠。即使求0.1,0.2,......,0.9,1,1.1,......也未必可靠。它照樣沒有保證，反而增加一些不必要的嚕囌計算。問題在於我們不知兩點之間，譬如1和2間，或 0.3及0.4之間函數會怎麼變。即使再把間隔取得更小，也還是個間隔，依舊不知函數在這中間會不會上下跳躍幾次?先上升?或先下降等等。」

「那怎麼辦呢?」「你想，要知道這其間的變化情形，該怎麼辦?」

「用微積分!」小華急應著。

「對啦!變化的研究當然該用微積分，我們困難在於不知其間的升升降降，盲目地算出在1,2,3,...... 等固定的點是毫無意義的。我們該找出關鍵的幾點......」

「我知道了，是不是該算出曲線從上升變成下降或從下降變成上升的那幾點?」小華靈機一動。

「完全正確!」,阿林十分讚許:「這些點叫做函數的局部極大或極小點。現在問題是該如何去求它們呢?」

「用微分......」

「當然用微分。但要如何用法?」阿林停了一下，看看沒有反應:「給你們一些提示。在這些極大或極小點，函數的變化率是多少?或者說，切線的斜率是多少?」

「切線好像是平平的直線。」

「對啦!水平線的斜率是0，就是說變化率為0。想想看，變化率如果是大於0，那表示函數值是愈來愈大,或者曲線是上升,如圖甲: