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.原載於數學傳播第十九卷第四期
.作者當時任教於成大數學系
 

凸函數、Jensen 不等式與 Legendre 變換

林琦焜

 
 


一、前言

凸函數的出現絕非偶然,在古典力學中的動能 $E=\frac{1}{2}mv^2$,就是最自然直接的凸函數,其他如熵 (entropy)……等皆是,當然從幾何的角度而言就是拋物線。近代分析由於受凸分析研究所得之進展的影響,使得在非線性分析,非線性微分方程皆有長足之進展與突破,其中較重要的就是逐漸將非線性 (nonlinearity) 視為一個體,而非只是線性化 (linearization) 而已。凸函數是如此地美麗且重要,而一般教科書只是提個定義然後定理之後便是習題。對於這樣的數學,我們實在不滿足地無法忍受,畢竟數學要教導我們聰明並學習如何去思考。因此本文秉持此原則,將著重於幾何與物理直觀,並與一些相關聯的領域作一些對應,以思索在我們前面的那些數學巨人是如何思考問題。

 
對外搜尋關鍵字:
凸函數
Jensen不等式

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編輯:黃信元 / 繪圖:張琇惠、簡立欣 最後修改日期:4/26/2002