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.原載於數學傳播第十六卷第二期

註釋
 

丘成桐院士演講:漫談微分幾何

丘成桐
紀錄:林憲政(東海大學數研所)

 
 

今天很高興能夠在各位面前講講我做學問的經驗,可以供大家參考一下。我講「如何學好微分幾何」的題目,主要是想跟大家講講有關於從前我做學問的態度,因為我是做幾何的,所以我就講做微分幾何。很明顯的,大部份的同學不會選幾何,不過沒有關係,其實就是講講我做學問的態度。

首先,講講我從前的一些經驗。我從前在香港長大,在香港唸中學、大學,然後到美國唸研究所,所以至少在前一半跟大家的經驗應該差不了太遠,不過是時代有點不同。我在多年前唸數學,你們現在唸數學,看法上已經有許多不相同,事實上我也不太瞭解你們現在的想法。不過基本上,我們都是中國文化出生的,所以我想仍有一部份共同的地方。基本上我們是要講怎麼作科學研究,也就是純科學的研究,我們要看的是我們的志向是怎樣的。假如我們想做一個好的科學家,當然我講的是怎麼做一個好的數學家。先說我自己的經驗,我從前在香港培正中學念中學的時候,就開始對數學有興趣。當然還有一些其他的課程,我對數學有興趣,一方面是受到我家庭的影響,我父親是做哲學的,所以對於唸數學一直都相當鼓勵,到了中學以後,我父親去世了。不過也因此對於自然科學有很濃厚的興趣。另一方面受老師的影響也很大。我想很重要的當我們開始要做一個學問,尤其是你真的要做一個出色的科學家,跟你的興趣和你一開始所立下的志向有很大的關係。就是說,開始的時候你期望能夠做到什麼。假如說開始的時候你根本不想做一個好的科學家,那麼你就永遠也不可能做一個好的科學家。從前有位大學老師跟我講說:「假如你不買馬票,你永遠也中不了。」倒不是說我鼓勵你們去買馬票,是說假如你不準備做好的科學家,就永遠也做不了一個好的科學家。不過是不是講,你想做一個好的科學家,你就可以做個好的科學家呢?當然不是,你還要有很多其他的因素在堶情A我想第一點是要你將做人的目標先決定。

我在國外二十多年了,也教了不少的學生,有些在世界上算是很出名,但有些不是太行。從這方面來講,比較好的學生和不好的學生我可以曉得不同的經驗。我想好的學生大部份一開始就決定他要做到什麼程度的科學家,從很早就可以看得出來,因為有了志向以後,才曉得怎麼去用功、怎麼去花時間在上面。這看起來倒是老生常談,因為你從小學、中學到大學,大概很多老師都跟你講同樣的意見,可能你聽多了都覺得沒有什麼意思,但是事實上這是成功的第一個因素。我的一位老師跟我講,你要決定以後你想做什麼,講明了,不是為名就是為利。當時我很驚訝,老師為什麼講這一句話。我們不能否定大部份的想法不是為名就是為利,同時這個想法也推動了不少科學的研究。不過我們也曉得,單是為名為利不可能將科學達到最高峰的研究,我們一定要對這個科學有濃厚的興趣。我們應當曉得,做科學,我們有一個很純正的想法,就是對真理的追尋,在真理的背後有一個很漂亮的境界在裡面,我們到了一個境界以後,對我們追求學問的人來講,是無法抗拒的,就算是沒有名沒有利,我們也希望能夠將這個真理搞清楚。舉例來講,如果你喜歡下棋的話,有時你會曉得下到一半的時候,結局會是怎樣,你非為名也非為利,當然可以講說你是為了好勝,但是有時候你總是想追求,想曉得怎麼解決這個問題。在科學上來講我們要追求的是比這個高的境界。我為什麼講為名為利這個事實呢?舉例來講,我們這幾年在哈佛大學堭苳F幾個在大學堜擘ずヶ嵿o很好的學生,可是到了畢業的時候,我曉得他們明明對數學有很大的興趣,但是他們選取了完全不同的途徑,他們有些人寧願選取做生意或是到銀行堶掠筐ヾC我並不反對你們去做生意、賺大錢,我失望的緣故是因為這些學生明明是對做學問興趣特別大,但是他們沒有辦法去抗拒賺錢的引誘而放棄了繼續做學問的前途,有些人甚至過了幾年賺了錢,又想重新再做學問,但問題是無論你資質有多好,一般來講你將做學問的機會放棄以後,再想重新做起將會遇到許多困難。並不是說不可能,也曾有這種情形發生過,但是真正能夠達到的情形,幾乎是絕無僅有,做學問是不能中斷的。我遇見過很多朋友,有些甚至是很有名的數學家,他們有些人會講我現在一方面做行政的工作,一方面可以做學問,可是事實上,這是沒有辦法可以達到兩者兼顧的情形。我們曉得做學問幾乎是全心全意的工作,當對證明追尋的時候,很難說受到其它外界的打擾,仍能夠達到很高的成功的。以我的經驗來講,在想問題的時候,晚上睡覺也在想這個問題,躺在床上也在想,早上起床第一件事就是想這個問題。我並不是講你們也要這樣子,我是希望你們在遇到一個問題要解決的時候,你要全力以赴,不可能在中間慢慢想一點而在其它也可以花點功夫,這樣精神不集中的態度是不可能做好學問的。我想對大家做個建議,假如你想做個真正的好科學家的話,就不能夠再往回走,假如你想做生意,那乾脆一開始就不要想這個問題,並不是你要做個好的教員就要照我剛才講的,要花這麼多功夫,倒是要唸好科學這是很重要的,所以這是第一點,立志很重要。

第二點我要講的,我在國外多年,遇見過許多很出名的數學家,甚至許多有名的物理學家我也見過許多。在我認為並沒有一個是真正的像一般報紙上所講的是天才,在我所親身認識的大科學家,都是經過很大的努力,才能夠達到他所達到的成就。我的學生問我:「為什麼你做的比我好?」,我說很簡單,我比你用功。我在辦公室或是在家媄銦A我天天在想問題,你們在外面玩,而我花了功夫在解決想了很久的問題,我總比你不想、不花時間成就大一點。你可能去聽個大科學家或大數學家演講,你會覺得漂亮得不得了,怎麼一個人能夠講得這麼好!這個人是個天才!可是你有沒有想到,他在後面準備花了多少時間想這個問題?大概你們聽過最出名的科學家費因曼,《費因曼物理》註1漂亮得不得了,所有出名的物理學家都這麼講,去聽的人不是學生,都是老師或物理學家。費因曼在準備費因曼物理的時候是什麼事都不做,就只有腦子在花功夫,整天在想這個問題,跟許多學生不停的在談這個問題。費因曼是個有名的天才,可是他準備這個研究也花了許多不同的功夫。我想很多出名的科學家在有所表現出不同的時候,你會覺得他是天才,事實上他用在後面的功夫都是很不少的。

有許多很聰明很厲害的人可能是研究生甚至是教授,往往你給他一個問題,他可以很快給你一個答案,同時是很不錯的一個答案。可是很多這樣出色的學生或是教授,過了很久以後,你總會覺得他沒有做出很好的成績出來。問題是,你解決的問題太容易了;沒有再花很多精神去考慮這個問題。尤其在我們中國人最缺乏的,就是在做中學生或是大學生的時候,沒有將一個問題從頭到尾仔細考慮清楚,並沒有真正的全部瞭解,這是個很重要的問題。從一個很小的問題,我們可以引發很多不同而且有意思的問題。思考要自己訓練,不單是在聯考或在大學的時候,老師出個題目,你考了一百分就完了,假如這樣的話,你很容易就滿足你自己,你不覺得問題有什麼意思。往往出名的研究是在很平凡的問題堶情A不停的思考所找出來的,很多人因為很快將問題解決了,便不願再想下去,所以不能夠再啟發新的東西。科學的研究,不是解決人家已經曉得的問題。當一個科學家問一個好的問題的時候,即是成功的一半。因為科學的推動是從不斷的找尋新的問題,新的方向出來的,解決從前的問題雖是個重要的推動方向,可是我們還要找出新的方向,而不單是解決從前的問題。我們知道在物理上解決問題的時候,往往大的或出名的公式是將前面固定的理論推翻,而找出新的路子。為什麼大數學家或大物理學家能夠做到這個地步呢?因為他們不斷的問問題。有時候在一般人來講很明顯的問題,在出名的科學家看起來,就不見得很明顯。為什麼不明顯呢?因為我們有不同層次的問題要一路考慮下去。問問題的能力是一個很重要的訓練,並不是花很多功夫就可做到,我想在我們中國的小學、中學或大學堻ㄗS有很好的做到這一點,我想從小應該做到這一點的。

現在我們來看數學跟其它物理、化學或生物等實驗科學有那些不同?物理或化學等科學是從一般實驗、現象界所找的題目,最後再經過實驗的證實,才能算是個成功的理論。理論物理學家可以發展很多不同漂亮的理論,但最後假如不能夠在實驗堸等X來的話,對物理學家來講就是一篇廢話。數學家有個好處。就是說,我們做了學問,一方面大部份是從一般的科學堶捲ㄔ芚鳩畯怐滿A一方面可以當作文學作品來欣賞。我們的取材多采多姿,一方面是比較基本的,從自然界或物理上的基本粒子、廣義相對論、重力場去拿出很多基本的大自然的問題。這方面對近代幾何學上的影響很大,另一方面可從比較沒那麼基本的理論媯o生出來。所謂不基本,並不是說不重要。我們要瞭解到我們有些問題是從工業界來的,譬如說做飛機、做螺絲,甚至做流體變動的問題,都是可產生許多有趣的幾何問題或是數學問題。例如說機械人手怎麼去拿東西?這都可以看做是基本的幾何問題,物理學家不一定有興趣,可是數學家卻有很大的興趣。另外我們也可以對與實際問題不相近的問題產生興趣,我們對一個圖畫得漂不漂亮,我們也可以在數學上研究。幾何在數學上的取材有三個不同方向:第一是從基本自然界堬ㄔ耵滌暋D。從基本粒子、重力場到電磁波基本上如何產生的種種重要幾何問題,從表面上你看不出來為什麼它跟幾何有關,但事實上近代物理將很多這種基本場論的問題變成幾何問題,對微分幾何來講有很大的貢獻。第二是剛才所講,工業界與古典力學出了很多很重要的幾何問題。第三就是純粹從美的觀點來找問題。舉例來講,從數論堶惕鉹F許多很漂亮的問題,尤其是近十或二十年來,大部份重要的數論問題大多是用幾何的方法來解決的,這是幾何在數學上三個重要的取材方向。

我為什麼講取材的問題呢?因為很多中學生或大學生在念幾何或是某些數學課程的時候,認為我們念那個學科就念那個學科就夠了,而不要唸其它的學問,這是個很錯誤的觀念。因為數學堶惆C一門的學問都有密切關聯的,不單是數學,其實所有的理論科學中間都有很密切的關係。例如我們剛剛所講的,高能物理與數學的關係,或是化學甚至生物都跟數學有很大的關係,所以我想怎麼學幾何呢?第一點是當你決定好要做一個好的幾何學家時,你一定要廣泛的學不同的學問,基礎要比較廣,如微分方程、代數、物理學以及其它學科,至少在心理上有個準備,就是說這些學科將來是對你有幫助的。你聽起來會覺得這是很困難的事情,你不可能學會這麼多種不同的學問。這主要的分別就是你要有一個層次,你的專科是那一方面,就要多學一點,但不可忘掉其它的學科。有時在某個意義下,我們可以很驚訝的看到同一個學問、同一個命題,在兩個不同的學科裡面,可以以不同的方法出現,就是說以不同的方法證明。我想主要的原因是根本上這兩個學科的分別並不是很大。在幾十年前有個出名的物理學家說數學有不可思議的力量。為什麼數學能夠在物理上有這麼大的影響呢?因為從物理學家的看法,數學家祇是在玩一些簡單的符號,純粹是在家媟Q一些自己的問題,與自然界的關係好像不大,其實這是個錯誤的想法。我們數學家研究的問題是很具體的,只是有不同的層次,所以有點不同而已。舉例來說我們研究微分幾何上一個最簡單的圖形-圓球,這圓球可以說是一個抽象的觀念,我們也可以說它是自然界很具體的一部份。也就是說我們將所研究的圓球視為自然界的一部份,其實跟物理的現象差不了太遠的。尤其在現代的高能物理堙A我們研究基本粒子,尤其到了量子力學的觀念以後,因為能量已經到了很高的地步,所以有很多根本沒有辦法做實驗,所以基本上也是在家堜彖珧騤怍怷鴗蔚К怚巹筆來算,這跟數學家想像的差不了太遠。假如物理學家可以這麼做,表示數學家也能夠坐在家堶惘蚢鵀蛣M界達到某種程度的瞭解。

為什麼我要講這些呢?這些與微分幾何有什麼關係呢?我要講的是你在選題的時候,我們雖然有個自由度對於選題與自然界無關,但是我們也有一個限度在裡面,假如我們選的問題與現實相差太遠,最後我們的命題會被淘汰掉。在歷史上出現很多不同的研究,過了十年、二十年後就完全被淘汰的。你看現在的圖書館堶惘陶\多的文章出現,不過再過個十年八年以後,我想大部份的文章是會被淘汰掉的,根本在整個數學歷史上起不了任何作用。這是因為很多的文章實在沒有解決問題,其次是對我們研究的對象沒有產生任何效果。所以雖然我們數學界不用時間來做證明,可是我們有某種程度的測試。一般來講,證的很好的數學,二十年或五十年內都可以看到它在現實堨X現幫助。我們曉得在這個二十年以來,從前許多不重要的問題,在今日的工程上發生很大的影響。舉例來講,從前在數論媢鴭騣頛う熒j查這個問題,這完全是一個無聊的命題。就是說一個很大的數,你怎麼將它因子分解得很快。近十多年來,在國防科學上這問題變成一個重要的命題,有許多國防科學家在做這方面的研究,所以說數學上的選題很重要。為什麼因子分解很重要呢?表面上看來跟真正的用途好像沒有什麼關聯,可是它是一個很自然的問題,一個很大的整數它怎麼分解,很快地,表面上並不重要,但可以幫助我們瞭解質數的分佈情形,所以我說選題是一個很重要的問題。我記得從前我們在做大學生的時候,花了很多功夫去念一些文章與參考書,有些對數學來講是很無意義的,可是反過來說因為花了很多功夫,所以可以瞭解到有些問題比較重要,有些問題比較不重要,所以花的功夫並沒有白費。

其次我們講做一個學生應該是怎麼一個看法。對於做數學或做微分幾何來講,我覺得研究的氣氛很要緊,尤其在中國的環境堙A好像是不太容易培養出這種氣氛來。假如你旁邊的朋友或同學跟你談的都是其它的問題,譬如說股票漲了或跌了或其它問題,久而久之,你大概對於做學問也沒有很大的興趣,所以培養做學問的態度與你交的朋友、跟的老師的關係很大。如果你們時常討論學術上的問題,你就不會覺得自己很孤單,能夠激勵你對數學上有更大的興趣。假如你自暴自棄,就是說你認為自己不能夠在數學上做研究,不能夠在數學上達到貢獻的話,你永遠也達不到,而且同時也影響到你旁邊的朋友,使得大家都不能向前走。我們曉得許多出名的數學家甚至在牢堣]可以寫一些出名的文章,倒不是你永遠關在牢奡N能做好的文章,是說人在最困難的時候也可以做研究。除了氣氛很重要外,你也需要得到先進的支持,從前我們唸中學的時候,念了很多關於做學問的方法,從前覺得很好笑,以後唸書唸得多了以後就覺得這些很重要,事實上這些是很重要的經驗。有句話說「學而不思則罔,思而不學則怠」,你單是學而不想是不行的,你單是想而不學也是不行的,這兩句話看起來很簡單,其實就是怎麼分配你的學習跟思想,這是一個很微妙很重要的問題。一個人無論你多用功多天才,你假如不將前人做過的東西去體驗去學習,是不可能做好的。這道理很簡單,一個人的智慧有限,我們不可能與前面十年、五年所有人做過的加起來的智慧相比,我們要靠前人的經驗,要靠他們的啟發,才能夠向前邁進,雖然有人自誇的講比他們加起來都行,我不相信這種情形,也沒見過這種情形。所以出名的貢獻如愛因斯坦、牛頓的貢獻,也是在前人的成果方面再向前走一大步或一小步。所以學是一定要的,可是如果你學過這個東西以後而不去思考,不去消化,就算你可以考第一,考一百分,但是你不想是絕對沒有用的。我們看過很多出名的天才,十二歲就拿到學士學位,甚至拿了很高分,可是往往我們看不出他以後的成就。為什麼很多所謂的天才在以後的科學發展堥S有任何的貢獻?這是因為他們沒有思考,沒有思考在科學上完全不會引起任何的波瀾、任何的貢獻,對於整個科學完全沒有好處。所以學了以後一定要思考,怎麼分配你的學習跟思考就往往要有導師的幫忙或是同學的幫忙。所謂的幫忙並不是說老師跟你講你應當這麼做或應當怎麼做,這樣往往是沒有很大的效果,所以我剛剛講的氣氛很重要。從人家用功的程度或是講話的態度的啟發,或是講話的時候能夠去聽,追根出什麼東西來,從它而得到很大的幫助。從前我到柏克萊去念研究所時,我花了很多功夫去聽很多不同的科目,有些人覺得很奇怪,為什麼我會去聽那些課?我覺得這些課對我有好處,過了幾十年後我還是覺得有好處。有些課在我去聽的當時可能不懂,可是聽了還是覺得有好處,因為一個人的腦袋的想法並不是那麼簡單的,有時候某些東西當時可能不懂,可是慢慢的就能領悟很多東西。我舉例來講,我做博士論文的時候,我剛好要用到群論的東西,當時我問過許多專家,但是都不懂,我突然想到從前在某一課上聽過一個有關這方面的論文,我忘了當時講什麼課,但我記得大概在那裡可以找這方面的文章,所以我花了2天的時間在圖書館,結果給我找到差不多是我所要的文章。假如當初不去聽這門課的話,我完全沒有這個機會,所以有時候聽一門不懂的課,有很多不同的幫助,所以很多研究生我跟他們講,你們去聽課不一定要懂,你坐在那邊總比不坐在那邊好,你不坐在那邊的話,你完全不可能知道有其它的方法。

我想最後還是你對整個學問有多大興趣的問題,假如你對這個學問興趣不大的話,你沒辦法長年累月的坐在圖書館,坐在辦公廳堙A或是坐在一個課堂上聽課,所以你一定要先決定你對這學問的興趣有多大,當然做研究還有許多其它方面比較複雜的原因,以後有機會我們再講下去。我想現在你們在大學的階段,最要緊的是決定以後你要做什麼東西,其它的可能就容易做到了。

   

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編輯:翟孝威 / 校對:陳文是 最後修改日期:4/26/2002