林松山

1、簡介 2、簡單的分枝理論 3、更多的分枝現象 4、結語

1、簡介

近二、三十年來，分枝現象 (bifurcation phenomena) 及理論 (bifurcation theory) 在數學及自然科學上受到格外的重視及研究。

首先我們來看看一個經常可見到的現象。拿一根細長的金屬棒。 在棒的兩頭向內稍稍用力，此時棒不會彎曲。當力量夠大時，則棒會彎起來。 再繼續加大壓力，棒可能會彎了兩彎。其變化如下圖：

在此實驗中，我們可用兩個量來描述。一為壓力 λ，另一為角度 θ， 此角度是量金屬棒在左端與水平方向所張開的角度。 若以λ為橫軸θ為縱軸，畫一幅分枝圖(bifurcation diagram)， 則上述現象可清楚在圖1表現出：

圖1

集合 A= 表示棒子不變形、不彎曲的狀態， 通常稱為主枝(main branch 或 trivial branch)。而當 時， 由主枝A長出新枝B= ， 通常稱為分枝(bifurcation branch)。 沿著B當 時又長出另一新枝C= 。 若以A為準，則C為第二次分枝(Secondary bifurcation branch)。 在上述情形，當λ為及時， 稱為臨界態(critical)，在此時由主枝長出新枝來。

在研究分枝現象時，至少我們希望能了解下面的幾個問題：

(甲)在何處主枝會長出新枝來？

(乙)分枝時，會分出多少枝？

(丙)分枝前後，主枝及分枝的穩定性如何變化？

(丁)新的分枝能長出多遠？

以圖1為例，則上述問題可回答如下：

(甲)在由主枝A長出分枝B，然後在 由主枝B長出分枝C。

(乙)每次長出二分枝，此分枝對A或B對稱。

(丙)當新枝長出後，原主枝就失去穩定性(圖1中用虛線表示)，而新枝則為穩定態(用實線表示)。

(丁)新分枝皆可拉到無窮遠，即 或 。

值得注意的是，穩定性的交換是個重要的變化。因為不穩定的狀態， 在自然界是觀測不到或只是極短暫的存在。因此，不穩定狀態只是理論上、 數學的存在。

上述我們所描繪的現象，是個高度理想化的想像實驗。實際上，因材料及用力不均， 所呈現的彎曲變化現象，不會整齊到如圖1所示。但重要的是：我們發現， 力量要大到某個程度(超過臨界力)，才能發現顯的彎曲現象。而不是稍稍用力， 即有明顯的變化。下面一節，我們嘗試用一個簡單的數學模式來說明圖1所示的現象。