球的體積

．本文分上下兩篇，分別原載於科學月刊第十五卷第三期、第十六卷第四期。

球的體積

塞爾日．藍 (Serge Lang)
翻譯：楊淑芬（就讀於師大數學所）

本文是譯自塞爾日．藍的演講記錄輯本《數學：挑戰中學生！》(MATH! Ecounter with High School Student)，民國77年3月份的「數學傳播」曾刊過此書的第一篇，這是其中的另外一篇，讀者如果想對作者有更多的瞭解，可以參考當期的數學傳播，在那裡對此書及作者有一些簡短的介紹。-譯者

這個課程總共花了兩個小時的時間，前一小時在午餐前、後一小時在午餐後，對象是在巴黎大約九年級的一班學生，所以大概是在十四歲左右。因此，他們尚未習得畢達哥拉斯定理。

藍:你們在這堂課裡都做些什麼？幾何？代數？

全班:代數。

藍:幾何呢?

全班:有，一點點。

藍:所以你們也懂一些幾何?

全班:我們才剛開始。

藍:[指著一名學生]你知道π是什麼嗎?

學生:知道。

藍:那它是什麼呢?

學生:它是一個數，嗯……屬於幾何的……

藍:哦，是嗎?哪一個數?

學生:3.14……。

藍:3.14……?那麼π如何表示呢?

學生:???

藍:好。誰知道π如何表示?你,你叫什麼名字?

學生:克里斯多夫。

藍:好。克里斯多夫，怎麼表示呢?

克里斯:一個圓的圓周。

藍:那又是什麼樣的一個圓周呢?

克里斯:你指的是什麼意思呢?

藍:我的意思是，譬如給個π的函數。

克里斯:???

藍:你有一個圓半徑……

一個學生:哦!它是 $2\pi r$

藍:很好! $2\pi r$ ，在這裡r是它的半徑。那麼，它的面積是多少呢?

這些學生:它是 $\pi r$ 平方。

藍:對了，所以我們有兩個公式，像克里斯多夫所說的，π等於3.14……好，我不打算繼續討論這個問題，但是我想在更高一維度裡來做同樣的事情。假如我們到更高一維度去……你看，在我們討論圓周與面積之前，如果我們到更高一維度去，我們會得到什麼?

這個學生:一個球。

藍:對，一個球，我把它畫下來。那麼我們想對這個球做些什麼?

這個學生:體積。

藍:答對了，體積。你叫什麼名字?

這個學生:安。

藍:你知道半徑為r的球，它的體積公式是什麼嗎?

安:???

藍:誰知道這個公式?

全班:???

藍:好吧。一個圓的周長是 $2\pi r$ ，面積是 $\pi r^2$ 。但是球呢?會是什麼樣子?

一個學生:π的平方乘上r的四方。

藍:不，讓我們回到盒子!假設我有一個正方形，邊長是r，那它的面積是什麼樣子?

全班:r平方。

藍:假設我有一個立方體，它的體積是什麼?

全班:r三方。

藍:你們已經做了一些推廣了嗎?

全班:一點點。

藍:好的，我們選擇一個邊長為a的立方體，那麼它的體積是a³，如果我做一延伸，在每一個方向上都乘上一個數r，那麼體積會變成什麼?安?

安:ra整個的三方。

藍:答對了，(ra)³，換句話說就是r³a³，對不對?每個人都了解嗎?所以我們可以說，如果我做一個延伸乘上一個數r，那麼體積就會改變了，如何改變?乘上一個數r³，對不對?好，現在讓我們繼續來看球體積會是什麼樣子?

蘇菲: $\pi r$ 三方。

藍:哦!那並不是這麼顯然的吧?但是無論如何它一定會有r³這個數，因為我們把它延伸了。所以答案裡會有 $\pi r^3$ ，但在前面還有一個數，這個數等(4/3)，這就是球的體積：

$\begin{displaymath}V=\frac{4}{3}\pi r^3\end{displaymath}$

你們還知道其它幾何圖形的體積嗎?還是你們只知道面積?這是你們所知道的第一個體積嗎?

全班:不，還有立方體!

藍:好，所以我今天想做的，就是要說明球的體積是(4/3) $\pi r^3$ ，我想證明它。那麼，要怎麼證明它呢?沒有人知道嗎?首先我們要找出半徑為1的球體積，這比較簡單一點。半徑為1的球體積是多少?安?

安:(4/3)π。

藍:對了，(4/3)π,我們想證明半徑為1的球體積是(4/3)π,但是怎麼證明呢?

全班:???

藍:好吧，從我們知道的開始，例如圓柱體或盒子。如果有一個長方體盒子，底面積是B，高是h，那麼體積應該是多少?

蘇菲:底面積乘以高。

藍:答對了，B乘上h，在這裡我所選擇的底是一個長方形。但是如果我選擇一個不規則的形狀作為底面呢?任何形狀的底面，譬如像下圖

全班:也是一樣啊!

藍:是的，也是一樣，都是底面積乘以高。如果我有一個實心的圓柱體，它的底面是一個半徑為r的圓板，高是h，你[指著一名學生]……

翡蘿妮:???

藍:底部的面積是什麼?

翡蘿妮:???

藍:那是一個圓板，底部是一個圓板，圓板的面積是什麼?

羅卡夫: $\pi r^2$ 。

藍:所以圓柱體的體積是多少?

全班: $\pi r^2h$ 。

藍:很好，半徑為r高為h的圓柱體體積=pi r²h對吧?如果你知道圓板的面積是 $\pi r^2$ ，那麼圓柱體的體積就是 $\pi r^2h$ 。每個人都同意吧?好，現在我們來看看球。我們要做什麼呢?我們要把球切成一塊塊的，切成我們所知道的，目前我們所知道的是圓柱體的體積。

蘇菲:把它切成一半。

藍:如果我們把球切成一半，我們會得到像這樣的東西

蘇菲:我們可以把它再切成一片片，那底部將會是一個圓板。

藍:底部會是一個圓板，所以你就知道底部面積是 $\pi r^2$ ，很正確。但是在最頂端仍然還有東西和圓柱體很不一樣的，那麼，我們怎麼做下去呢?

安:再把它切成很多圓板。

藍:你實在非常聰明[笑聲]。對的，我們把它切成一片片，像這樣：好，你們知道畢氏定理嗎?

全班:不知道。

藍:如果我有一個直角三角形，像這樣：一邊是a，另一邊是b，第三邊斜邊是c，你們不知道 a, b, c 它們之間的關係嗎?你們從來都沒有看過它嗎?我們有 a²+b²=c² 你們從來都沒有見過這個嗎?

老師:明年才教！

學生范亞:為什麼要平方呢?

藍:為什麼要平方，這並不是那麼顯而易見的，必需要證明它!但這不是我今天要講的。所以我要求你們接受它，你們能接受它嗎?

全班:可以。

藍:好，現在我把這個球切成一片片，而且把它弄成一片片的圓柱體，像這樣。事實上，我是用了半個球，把這半個球切成一片片。每個人都看到這些薄片了嗎？如果我們從側面來看，它們看起來像是一些長方形，但是如果我把它們繞著垂直軸轉一轉，那麼我們就可以得到圓柱體了。而我們只要知道圓柱體的半徑和高，就可以知道它的體積了，是多少?

全班: $\pi r^2h$ 。

藍:好，現在我需要知道半徑和高。嗯，高要看圓柱體有多少個才能決定它的大小。我可以有5，或6，或更多個圓柱體，譬如我們畫一個有6個圓柱體的圖形。如果我把最底下的點當作原點0那麼第一個點的高度是多少?

全班:1/6

藍:下一個呢?

全班:2/6。

藍:再下一個呢?

全班:3/6。

藍:答對了，其它的點它們的高度分別是4/6,5/6,6/6。

全班:是的。

藍:那麼如果我有7小片呢?第一個點的高度會是多少?

全班:1/7。

藍:其它的呢?

全:班2/7,3/7，一直到7/7。

藍:如果我想把它一般化呢?我要怎麼說才對?

克里斯: $\frac{1}{n}$ 。

藍: $\frac{1}{n}$ ?完全正確!一般而言我們會得到 $\frac{1}{n}$ ，那麼第一個點會在哪裡呢?

全班:在 $\frac{1}{n}$ 。

藍:下一個呢?

全班:在 $\frac{2}{n}$ 。

藍:再下一個呢?

全班: $\frac{3}{n}$ 。

藍:最後一個呢?我們一直做到最後一個會是多少?

全班: $\frac{n}{n}$ 。

藍:答對了，這就是一般的情形。那麼每一個圓柱體的體積是多少?它的高等於多少?

一個學生:等於h。

藍:對，等於h，但h又是多少?

全班:……

藍:當我把這半個球切成6片，高是多少?

范亞:那要看你怎麼切啊!

藍:對，所有這些圓柱體都有相同的高度，你看到了嗎?

范亞:是的。

藍:高是什麼?如果我有6片的話?

范亞:1/6。

藍:對了，當我把它切成6片，那麼第二片的高也是1/6，其它的也都一樣，對不對?

全班:對!

藍:好，如果是6片，那麼每一片的高度是 $\frac{1}{6}$ ，如果是 n 片，那麼每一片的高度該是多少?

全班:[全班一起] $\frac{1}{n}$ 。

藍:非常好， $\frac{1}{n}$ 。現在我們來看半徑，半徑是多少?第一片的半徑是多少?

全班:r。

藍:對，是r，但r是多少？……好，我把這6個畫下來，第一個是r，第二個是r，第三個到最後一個都是r!但是半徑會改變的，是不是?那麼第一個半徑是多少?那是一個大圓的半徑，也就是球的半徑，這裡我把它當做1，記住，現在我們是要想辦法找出半徑為1的球體積。第一個圓柱體的半徑，我們寫成OA₁，它等於多少?

全班:???

藍:我們實在不知道它是多少，不過它會比1小，同意嗎?

全班:同意。

藍:好，這裡我們要用到畢氏定理了。我們把第一個圓柱體畫下來！在圖形中我們有一個直角三角形OA₁B₁，而剛剛我們都同意了在直角三角形中，有這樣的結果a²+b²=c²，現在，在直角三角形OA₁B₁裡，a是什麼?

全班:是這個圓柱體的半徑。

藍:對了，是第一個圓柱體的半徑r₁，那b是什麼?

菲力浦:是它的高。

藍:那高是多少?

菲力浦:1/6。

藍:對了，那麼c是什麼?

菲力浦:球的半徑。

藍:它等於多少?

菲力浦:嗯……1

藍:完全正確，所以我們就得到 $r_1^2+(\frac{1}{6})^2=1^2$ ，你同意這個式子嗎?

菲力浦:同意!

藍:所以 r₁² 應該等於多少?

菲力浦: $1-(\frac{1}{6})^2$ 。

藍:答對了，非常好。現在我們來看第二個圓柱體。我把它畫下來。我又有一個新的直角形,OA₂B₂了，在這個直角三角形裡，a是什麼?

菲力浦:是這個圓柱體的半徑。

藍:對，是第二個圓柱體的半徑 r₂，那 b 呢?

菲力浦:是 A₂B₂。

藍:它等於多少?

菲力浦: $\frac{2}{6}$ 。

藍:很好，而 c 仍然是1，那麼 r₂² 應該是多少?

另一學生:r₂² 會等於 $1^2-(\frac{2}{6})^2$ 嗎?

藍:你答對了!就是這樣。下一個是 r₃，你們想 r₃ 會是多少?

這個學生: $r_3^2 = 1-(\frac{3}{6})^2$ ?

藍:是的，你們懂了嗎?我們可以繼續下去囉?我們繼續看看r₄,r₅,r₆，我把它寫下來[這個學生大聲複誦]。

$\begin{eqnarray*} r_1^2 &=& 1-(\frac{1}{6})^2 \\ r_2^2 &=& 1-(\frac{2}{6})^2 \\... ... \\ r_5^2 &=& 1-(\frac{5}{6})^2 \\ r_6^2 &=& 1-(\frac{6}{6})^2 \end{eqnarray*}$

現在我們對圓柱體的半徑有一些了解了。那麼這些圓柱體的高會是什麼?

卡琳:按順序來說應該是 $\frac{1}{6},\frac{2}{6}$ ,……

藍:不不，這是我們在計算半徑時所看到直角三角形的高。但是這些圓柱體都有相同的高，它等於什麼?

卡琳:1/6。

藍:答對了，很好，1/6。而半徑是隨著圓柱體改變的。這些半徑都有所不同，第一個半徑是r₁，，第二個半徑是r₂，第三個是r₃，它們會變得愈來愈小，是不是?現在你們可以告訴我圓柱體的體積是多少了嗎?

李奇納:底乘以高。

藍:對，是 $\pi r^2h$ ,第一個圓柱體的半徑是r₁，所以第一個圓柱體的體積是……

其他學生:[大家一起] $\pi r_1^2$ 乘以1/6

藍:那第二個圓柱體的體積是多少?

一些學生: $\pi r_2^2$ 乘以1/6。

其他學生: $\pi r_2^2$ 乘以2/6。

藍:誰說1/6的?

[一些人舉手]

誰說2/6的?

[另一些人舉手]

藍:不對不對!第二個圓柱體的高也還是1/6，是不是?所以第二個圓柱體的體積是什麼?它應該是

$\begin{displaymath} V=\pi r_2^2\cdot \frac{1}{6} \end{displaymath}$

第三個圓柱體的體積呢?

李奇納:是 $\pi r_3^2\cdot \frac{1}{6}$ 。

藍:答對了!下一個呢?

安: $\pi r_4^2\cdot \frac{1}{6}$ 。

藍:對，不過r₁0xA141r₂的平方我們一分鐘前已經找出來了，這些平方是多少?

諾拉: $1-(\frac{1}{6})^2$ ， $1-(\frac{2}{6})^2$ ，……

藍:所以如果我把這些圓柱體都加起來，我會得到什麼？……你，你叫什麼名字？

一個學生:藍生。

藍:哇，和我同姓！[笑聲]好，所以我得到了這樣的和[藍一邊問學生一邊寫下來]第一個是什麼？藍生？

藍生: $\pi r_1^2\cdot \frac{1}{6}$ 。

藍:而r₁²等於什麼?

藍生: $1-(\frac{1}{6})^2$ 。

藍:好，所以第一個圓柱體的體積就是 $\pi(1-(\frac{1}{6})^2)\cdot \frac{1}{6}$ ，那麼第二個呢?

藍生: $\pi(1-(\frac{2}{6})^2)\cdot \frac{1}{6}$ 。

藍:第三個呢?

藍生: $\pi(1-(3/6)^2)\cdot \frac{1}{6}$ 。

藍:好，我們繼續做下去，然後把這些體積加起來，就得到圓柱體的體積和= $\pi(1-(\frac{1}{6})^2)\cdot \frac{1}{6}$ + $\pi(1-(\frac{2}{6})^2)\cdot \frac{1}{6}$ +…+ $\pi(1-(\frac{6}{6})^2)\cdot \frac{1}{6}$ 。現在假設我把6個小圓柱體改成7個小圓柱體，那麼我們得到的和會是什麼? 你，你叫什麼名字?

這個學生:希蘿麗。

藍:好，希蘿麗，和是什麼?

希羅麗:你必需把6改成7，就是 $\pi(1-(\frac{1}{7})^2)\cdot \frac{1}{7}$

藍:很好，繼續下去最後一個是多少?

希羅麗: $\pi(1-(\frac{7}{7})^2)\cdot \frac{1}{7}$

藍:現在我們可以改成 6, 7, 8, 9, 10，……如果我乾脆把它切成n片，那麼我們得到的第一個圓柱體的體積是多少?

希羅麗: $\pi(1-(\frac{1}{n})^2)\cdot \frac{1}{n}$

藍:太棒了!下一個呢?有沒有其它人會?

一個學生: $\pi(1-(\frac{2}{n})^2)\cdot \frac{1}{n}$

藍:對，繼續下去就像這樣子。最後一個會是什麼?(指著一名學生)你叫什麼名字?

這個學生:卡拉斯。 $\pi(1-(\frac{n}{n})^2)\cdot \frac{1}{n}$

藍:答對了！所以這些圓柱體的體積和就是：

$\begin{eqnarray*} \mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 241}\h... ...}{n}+\cdots \\ && {} + \pi(1-(\frac{n}{n})^2)\cdot \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

現在，如果 n 愈來愈大，這個和會變成什麼？它會很接近什麼？

全班:???

藍:我得到愈來愈多的圓柱體，像這樣這些圓柱體的體積會接近什麼?

菲力普:球的體積。

藍:[正把它寫下來]當n愈來愈大，圓柱體的體積和會接近半徑為1的球體積所以，現在問題變成:當n愈來愈大時，這個式子的右邊變成什麼樣子?

安:你可以把它算出來!

藍:你想直接把它算出來？好，可是怎麼算呢？

安:把一個個的體積算出來。

藍:對，這是當妳有任何特殊的數字的時候，像6或10。但如果是n怎麼辦？而且n又愈來愈大了？妳不知道n是什麼特別的數字，所以現在我們要做的就是當n愈來愈大時，怎麼把這個和算出來。不過我們要花午飯過後把它做出來，下午見了！

第二個小時
[全班於午餐後再回來上課]

藍:好了，我們又回來了，剛剛我們的問題是去找出半徑為1的球體積。我們已經證明了半個球的體積可以用

$\begin{displaymath}\pi(1-(\frac{1}{n})^2)\cdot \frac{1}{n}+\pi(1-(\frac{2}{n})^2)\cdot \frac{1}{n}+\cdots +\pi(1-(\frac{n}{n})^2)\cdot \frac{1}{n}\end{displaymath}$

這樣的式子來接近它，而且當n愈來愈大時，它就更接近半個球的體積。在這個式子裡，我們可以看到每一項都有 $\pi，1/n$ 這兩個數，所以我們可以把它提出來，變成 $\pi/n[1-(\frac{1}{n})^2+1-(\frac{2}{n})^2+1-(\frac{3}{n})^2+\cdots+1-(\frac{n}{n})^2]$ 現在讓我們看看括弧裡的式子。我們看到有好多個1，到底有多少個呢？

全班:n個。

藍:對，所以我就得到 $\pi/n$ [n-一些要被減去的東西]什麼是我們要減掉的？

李奇納: $(\frac{1}{n})^2$

藍:答對了，還有呢？

李奇納: $(\frac{2}{n})^2$

藍:很好，下一個是什麼？克里斯？

克里斯: $(\frac{3}{n})^2$

藍:對，一直到 $(\frac{n}{n})^2$ ，所以我們要減掉 $(\frac{1}{n})^2+(\frac{2}{n})^2+(\frac{3}{n})^2+\cdots+(\frac{n}{n})^2$ 因此，如果我們把它全部寫下來，整個式子變成什麼？克里斯？

克里斯: $(\pi n/n-(\pi/n)\cdot[(\frac{1}{n})^2+(\frac{2}{n})^2+\cdots+(\frac{n}{n})^2]$

藍:但是 $\pi n/n$ 等於多少？

克里斯:π

藍:對，現在要減掉……

克里斯: $\pi/n$ ，……嗯……

藍:對，繼續。

克里斯:乘以 $(\frac{1}{n})^2+(\frac{2}{n})^2+(\frac{3}{n})^2+\cdots\cdots$

藍:很好，一直到 $(\frac{n}{n})^2$ ，所以現在式子就變成 $\pi-\pi[(\frac{1}{n})^2\cdot \frac{1}{n}+(\frac{2}{n})^2\cdot \frac{1}{n}+(\frac{3}{n})^2 \cdot \frac{1}{n}+\cdots+(\frac{n}{n})^2\cdot \frac{1}{n}]$ 而且當n愈來愈大時，這個式子就愈接近半個球的體積。現在，假設我最開始說的式子是對的，你們想這個括弧裡應該會接近哪一個數了

全班:???

藍:半徑為1的半球體積我們假設它等於 $(2/3)\pi$ ，這裡我們又有這樣的式子

$\begin{displaymath} \pi-\pi[(\frac{1}{n})^2\cdot \frac{1}{n}+(\frac{2}{n})^2\cdo... ...)^2\cdot \frac{1}{n}+\cdots +(\frac{n}{n})^2\cdot \frac{1}{n}] \end{displaymath}$

如果這個式子接近 $(2/3)\pi$ 那麼括弧裡的和應該接近多少?你看到了嗎?我有一個π，而我又減掉π乘以一些分數，我希望最後剩下來 $(2/3)\cdot\pi$ ，所以這個分數應該是多少?

一個學生:1/3。

藍:對。就是1/3，你叫什麼名字？伊莉莎白？她答對了！伊莉莎白答對了。括弧裡的式子接近1/3，非常好！這是我們必需要說明的。如果我們成功了，那我們就搞定了！好，我們把它寫下來，到目前為止，我們已經說明了圓柱體的體積和等於

$\begin{displaymath} \pi-\pi[(\frac{1}{n})^2\cdot \frac{1}{n}+(\frac{2}{n})^2\cdo... ...)^2\cdot \frac{1}{n}+\cdots +(\frac{n}{n})^2\cdot \frac{1}{n}] \end{displaymath}$

所以我們現在要證明

$\begin{displaymath}[(\frac{1}{n})^2\cdot \frac{1}{n} + (\frac{2}{n})^2\cdot \fra... ...cdot \frac{1}{n} + \cdots + (\frac{n}{n})^2\cdot \frac{1}{n}] \end{displaymath}$

會接近1/3，乍看之下，這好像是個很難解的問題。有一些平方，還有好多個n，它們的和是什麼完全不是那麼明顯可以看出來的，所以，我們該怎麼呢?

全班:???

藍:假如沒有平方，你認為你比較有可能把它算出來嗎？好，我們發現這個式子裡有一些數有平方，而我們不曉得怎麼做。這個問題看起來很困難，因此我們試著去思考一個類似，但比較簡單的問題，所以我們試試看沒有平方會是什麼樣子。假設我寫下來的式子裡沒有平方，它看起來會是什麼樣子？克里斯？

克里: $(1/n)\cdot \frac{1}{n}+(2/n)\cdot \frac{1}{n}+(3/n)\cdot \frac{1}{n}+\cdots+(n/n)\cdot \frac{1}{n}$

藍:答對了，現在我們有了一些分數的和，它們的分母是……伊莉莎白?

伊莉莎白: $n\cdot n$ 。

藍:對，你也可以說是n平方，不過你對了，我們可以把它寫成 $n\cdot n$ ，那麼分子是什麼?

伊莉莎白: $1,2,3,4\cdots n$ 。

藍:對，那麼我要怎麼把這個和算出來？讓我們來畫個圖，我要用這樣的方法來解決這個問題。我畫一個邊長是1的正方形，而且把它切成一片片，我把它切成每一個邊長都是1/n的小正方形，像這樣在左下角的點我把他當作0，所以當我往右邊走的時候，我就得到了一些點1/n, 2/n, 3/n……，最後一個是什麼？……克里斯？

克里斯:n/n。

藍:很好，那它的前一個是什麼？

克里斯:(n-1)/n。

藍:對，再前一個呢？

克里斯:(n-2)/n。

藍:是的，垂直的那一邊從下到上我也做同樣的事。現在，我想找出 $(1/n)\cdot \frac{1}{n}+(2/n)\cdot \frac{1}{n}+(3/n)\cdot \frac{1}{n}+\cdots+(n/n)\cdot(n/1)$
我們看看 $(1/n)\cdot \frac{1}{n}$ 在這個圖裡，它應該是什麼？

全班:???

藍:1/n 乘以 1/n 是什麼意思?那是一個邊長為 1/n 的正方形面積，所以在這個正方形中我畫出這樣一個小正方形，我們把它畫在這個圖形的左上角。下一個是什麼呢?那是 2/n 乘以 1/n，這表示什麼意思?

一個學生:是兩個小正方形。

藍:答對了，那是一個長為2/n，寬為1/n的長方形，我把它畫在第一個小正方形的下面。那3/n乘以1/n的呢？

全班:長3/n的長方形。

藍:那麼有(n-1)/n那一項呢？

全班:長(n-1)/n的長方形。

蘭:最後一個呢？

全班:長n/n的長方形。

藍:對，長是1，像這樣，把所有的長方形往一邊靠，所以圖形看起來就像是一個樓梯，而它們的和就是些樓梯的面積。現在如果我把n增加了，如果n變得愈來愈大，這些樓梯看起來會像什麼。

范亞:它會有很多階梯。

藍:嚴格來說，它是會有很多階梯，但這些樓梯的面積會接近什麼？當n愈來愈大的時侯?

一個學生:會接近這個正方形的一半。

藍:你叫什麼名字?

這個學生:里夫卡。

藍:你答對了!里夫卡答對了!我們把它寫下來:當n愈來愈大時，樓梯的面積會接近1/2，你們都同意里夫卡的說法嗎?都沒問題?好，那麼我們現在就要來看這個有平方的和了。剛剛我們已經看過一個比較簡單，沒有平方的和，而且我們處理這個比較簡單的問題，是把它看做一個個的樓梯，當n愈來愈大時，和就接近1/2了。這太好了，你們實在很棒哩![笑聲]

現在我們知道怎麼做下去了。我們可以回到那個有平方的和上了，好嗎?[全班都同意了]再把那個和重複一次：

$\begin{displaymath} (\frac{1}{n})^2\cdot \frac{1}{n} + (\frac{2}{n})^2\cdot \fra... ...rac{3}{n})^2\cdot \frac{1}{n} + \cdots + (\frac{n}{n})^2(1/n) \end{displaymath}$

我們怎麼做呢?[詢問的神色]好吧，我們看看這個和的某一項，例如 $(\frac{2}{n})^2\cdot \frac{1}{n}$ ，這是什麼?它指的是什麼意思?這是個體積，不是嗎?如果我把它看做是某個東西的平方乘上某個東西，我就可以把它當成是一個一邊長 $\frac{1}{n}$ ，另一邊長是 $\frac{2}{n}$ 的盒子，你們同意嗎?好，現在有多少個盒子呢?

史第芬妮:n個。

藍:對，有n個。不過剛剛我們畫n個長方形的時候，我們把它畫在一個大正方形裡，現在我們有n個盒子，我們應該把它畫在什麼東西裡?

史第芬妮:一個大立方體裡有許多小立方體!

藍:[很欣賞地]哇!你有這種概念了!完全正確。所以我要畫一個邊長是1的大立方體，而且把它切成許多小立方體，每個小立方體邊長是 1/n。這是一個大立方體。現在我們要求的和裡頭的第一項是 $(\frac{1}{n})^2\cdot \frac{1}{n}$ ，這指的是什麼?這指的是一個邊長為 $\frac{1}{n}$ 的立方體體積，像剛剛的小正方形一樣，我把它畫下來。下一個 $(\frac{2}{n})^2\cdot \frac{1}{n}$ 是什麼?這不是一個立方體了?

菲力浦:是一個長方盒子。

藍:對了，是一個長方盒子，有兩邊等於 2/n，高是 1/n，我把它畫在第一個小立方體的下方。那麼第三個 $(\frac{3}{n})^2\cdot \frac{1}{n}$ 呢？伊莉莎白？

伊莉莎白:邊長為 $\frac{3}{n}$ 的長方盒子。

藍:對了，高仍然是 $\frac{1}{n}$ ，其餘的邊長是 $\frac{3}{n}$ ，我們可以像這樣一直做到 $\frac{n}{n}$ 。所以有平方的和，我們也得到一個像樓梯一樣的圖形，但這是一個真實的樓梯，有體積；它們是三度空間裡的樓梯，就像現實生活中的一樣。現在，當 n 變得愈來愈大時，樓梯會接近什麼？

一個學生:1/3。

另一個:1/2。

藍:有其它意見嗎?

蘇菲:金字塔。

藍:啊!就是這個!這就是我想要聽到的答案。樓梯的形狀就接近一個金字塔，你們都同意這一點嗎?我們怎麼得到這個金字塔呢?把這些長方體盒子的某一邊，頂點，全都往最左邊靠，左上頂點和底下的正方形連起來，就得到一個斜的金字塔了。看看這個立方體最上面的正方形，和左上方頂點相對的正方形有幾面呢?

里夫卡:三個嗎?

藍:對，有三個和它相對。這也就是說，我們會有三個像剛剛那樣的金字塔。而且這三個金字塔把這一整個立方體全都填滿了。所以，這其中一個金字塔的體積等於多少?

范亞:2/3。

藍:不，在這個立方體裡有多少個金字塔?

范亞:三個。

藍:而立方體的體積是……

范亞:1。

藍:所以金字塔的體積是……

范亞:1/3。

藍:對了，1/3。現在讓我們回到高為(1/n)的樓梯上。當n愈來愈大，這些樓梯就會接近金字塔的形狀了，對不對？好，我把它寫下來：
當n愈來愈大時，樓梯的體積會接近體積為1/3的金字塔 這樣我們就搞定啦！這正是我們想要證明的。你們還記得我們從什麼地方開始的嗎？我們從圓柱體的體積和開始，然後我們發現

$\begin{displaymath} \pi-\pi[(\frac{1}{n})^2\cdot \frac{1}{n}+(\frac{2}{n})^2\cdo... ...)^2\cdot \frac{1}{n}+\cdots +(\frac{n}{n})^2\cdot \frac{1}{n}] \end{displaymath}$

括弧裡面的和有很多的平方。為了要算這個和，我們設法找一個類似但沒有平方的式子，然後我們發現了一個平面的樓梯,當n很大的時侯它的面積接近1/2，現在和裡面有平方，我們發現它是一個三度空間的樓梯，當n很大的時候，樓梯的體積就接近1/3，因此圓柱體的體積和就接近

$\begin{displaymath}\pi-(\pi/3)\end{displaymath}$

所以它等於多少?

伊莉莎白: $\frac{2\pi}{3}$ 。

藍:所以我們就證明了半個球的體積是多少?

伊莉莎白: $\frac{2\pi}{3}$ 。

藍:因此整個球的體積是……

伊莉莎白: $\frac{4\pi}{3}$ 。

藍:這就是我們要證明的定理，我們贏了！

定理:半徑為1的球，體積是 $\frac{4\pi}{3}$ 。

從剛剛那個方法裡，我們也得到了一些有關和的結果，而且知道當 n 愈來愈大時，它們的和會接近多少。
第一個，沒有平方的，是 $\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} + \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{n} + \frac{3}{n} \cdot \frac{1}{n} + \cdots + \frac{n}{n} \cdot \frac{1}{n}$ 接近 $\frac{1}{2}$
第二個，有平方的，是 $(\frac{1}{n})^2\cdot \frac{1}{n}+(\frac{2}{n})^2\cdot \frac{1}{n}+(\frac{3}{n})^2\cdot \frac{1}{n}+\cdots+(\frac{n}{n})^2\cdot \frac{1}{n}$ 接近 $\frac{1}{3}$
在這之後，下一個會是什麼?

克里斯:有三方的， $(\frac{1}{n})^3 \cdot \frac{1}{n} + (\frac{2}{n})^3 \cdot \frac{1}{n} + (\frac{3}{n})^3\cdot \frac{1}{n} + \cdots + (\frac{n}{n})^3\cdot \frac{1}{n}$ 接近 $\frac{1}{4}$

藍:誰說 $\frac{1}{4}$ ?安，你認為如何?

安:不曉得，我不知道!

藍:伊莉莎白?藍生?

藍生: $\frac{1}{4}$ 。

藍:前面兩個我們都證明過了，但是第三個我們還沒有證明，下一個呢?會是什麼樣子?

伊莉莎白: $(\frac{1}{n})^4 \cdot \frac{1}{n}+(\frac{2}{n})^4 \cdot \frac{1}{n} + (\frac{3}{n})^4 \cdot \frac{1}{n} + \cdots+(\frac{n}{n})^4 \cdot \frac{1}{n}$ 接近 $\frac{1}{5}$

藍:太棒了！完全正確。這是一個定理，但是我們怎麼證它呢？

菲力浦:可是並沒有哪一個維度可以讓我們把 $(\frac{1}{n})^3 \cdot (\frac{1}{n})$ 展開來，然後去找 $\frac{1}{4}$ 啊？

藍:很好很好，你已經完全了解剛剛我所講的了。所以我們現在遇到麻煩了！到三度空間為止，我們都是利用畫圖和計算樓梯體積的方法來處理問題，但假如我現在想要處理下一個問題……

一個學生:嗯，你可以想像……

藍:對了，你可以想像！而且你也必需這麼做！不過好像很不安全，感覺起來，好像不太保險。這樣引起了一些問題，而且事實上，我們也必需找其它的方法來解決，因為在更高維度裡，我們的直觀……太複雜了！像有立方的和，我們就必需在幾度的空間裡來做？

菲力浦:四度。

藍:對，下一個要在五度空間裡。但是現在我做的到底對不對，就無法再那麼確定了，因為我們已經打破直觀，所以你必需找一個代數上的方法來彌補高維度幾何直觀上的不足。這是可以做到的，不過我今天不打算談這個問題，但無論如何，這是真的。今天我所使用的方法，是把球切成許多小圓柱體，然後再把它們加起來。你們知道誰是第一個使用這個方法的人嗎？是阿基米得，你們聽說過阿基米得這個人嗎？克里斯……對，就是那個從浴缸裡跳出來，口裡喊著「我得到了！」的那個傢伙。你們聽過這個故事？他非常聰明，而他就是發明這種方法的人，我差不多是摹仿阿基米得來做的。所以現在我們做個結論：

半徑為 1 的球體積是 $4 \frac{\pi}{3}$

那麼半徑是 r 的球體積是多少？克里斯？利用延伸？

菲力浦:半徑為 r 的球體積等於 $4\pi r^3/3$ 。

藍:對，你利用延伸得到了一個 r³，答對了，在這個班級裡你實在很棒!你對球知道得很多。我很少看到一個班級做得像你們這麼好，你們都很聰明。
你們還有其它問題嗎?數學的或其它方面的?[有一個學生舉手]什麼問題?

一個學生:用旋轉圓板的方法，你能不能把球的表面積算出來?

藍:好啊!你自己去試試看![笑聲]哦哦，可以可以，你可以做，不過……好，我們來試試看。利用圓板對垂直軸的旋轉來找出球的表面積。好，找它的圓周，或者我們只看一半圓周好了，是 $\pi r$ ，把它轉一圈，會得到什麼?你必需把 $\pi r$ 乘上某些東西。

這個學生:乘上中間那個圓的圓周長。

藍:不過這樣會得到 $2\pi^2 r^2$ 。

這個學生:哦!

藍:如果整個半圓的圓周都對一個半徑為 r 的圓之中心旋轉，那麼你的答案當然是正確的。但是你看，在最頂端和最底部，旋轉所對的圓比中間那個要小許多了，所以 $2\pi^2 r^2$ ，不會是正確的答案。但是如何得到正確的答案呢?你看到這個問題了嗎?有一個困難存在，你必需計算出每一個小片段對小圓旋轉之後會得到什麼結果。你的想法很好，不過你就必需要用到「平均圓」的概念了。這也有一個定理，不過現在做這個問題太複雜了，它是怎麼得來並不是那麼明顯的事。你們知道球的表面積公式嗎？就是

球的表面積 = $4\pi r^2$

所以這個公式也告訴我們，必需乘上 $4\pi$ ，不會再乘上另一個π，而且可以用你的方法來證明它，不過這個問題太困難了，這也就是為什麼我喜歡用另一種方法的原因，不過這得另外找時間來說明了。

作者備註：

上這個班級的課讓我感到很愉快，這個主題對他們而言都還是相當新鮮的。一般而言，雖然老師們總想說明，不過最好還是等到10年級或是11年級再去證明比較好。另外，就像在本書的其它章節裡一樣，幾何常常能引起一些有趣的問題，可以導入代數中。我發現這個主題用來練習代數很不錯，可以幫助學生對n更加熟悉。球的表面積是下一堂課的主題。

譯者備註：

閱讀完這篇文章之後，不得不令人由衷地讚賞 Serge Lang 在處理數學教學上的能力。表面上看起來，他要教給學生的是如何求得球的體積，但是從過程中來看，他使數學課程活潑化，鼓勵並引導學生思考。我們可以看到，在這個課程當中，老師與學生互動的熱烈情況，而不是單調地只由老師詳細說明球的體積公式。Serge Lang 巧妙地以求得球體積為開端，很自然地促使學生逐步運用代數的方法來處理幾何的問題，把複雜的算式和熟悉且直觀幾何圖形結合起來。對一個中學生而言，這樣的處理方法無疑地最容易被接受了。

但是在阿基米得的著作中，並沒有看到阿基米得用 Serge Lang 所說的方法來求得球的體積。阿基米得所使用的方法，其基本概念是：利用圓的內接與外切正多邊形對垂直軸旋轉以逼近球體積，進而得到球體積公式。

假設半徑為 R 的球，表面積為 E，體積為 S；

$\begin{eqnarray*} I_n && \;\; \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont... ... minus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}} \end{eqnarray*}$

阿基米得先證出

$\begin{eqnarray*} \begin{eqalign} E(I_n) &< A < E(C_n) \\ E(I_n) &< E < E(C_n) \end{eqalign}\end{eqnarray*}$

其中 A 為半徑等於 2R 之圓面積，即

$\begin{displaymath}A=(2R)^2\pi=4\pi R^2\end{displaymath}$

再利用窮舉證法得 A<E，A>E 均為矛盾，故

$\begin{displaymath}E=A=4\pi R\end{displaymath}$

其次，再說明

$\begin{eqnarray*} S(I_n) &=& \;\; \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectf... ... minus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}} \end{eqnarray*}$

又證有

$\begin{eqnarray*} \begin{eqalign} S(I_n) &< X < S(C_n) \\ S(I_n) &< S <S(C_n) \end{eqalign}\end{eqnarray*}$

其中 X 為底面積是 E 高是 R 之圓錐體體積

他同上面的窮舉證法證得 $S = X = (1/3)\cdot 4 \pi R^2\cdot R = (4/3) \pi R^3$ 。

[詳細證明過程讀者可參考後面書目]

不過，就對立體圖形的直觀感覺而言，中國古代數學家祖沖之所使用的方法，可能更為直接。在此，我們提出一個簡單的介紹，讀者們可以作一番比較!

在《九章算術》第四章少廣章末，有這樣的一個問題：

今有積四干五百尺。問為立圓徑幾何？
答曰：二十尺
又有積一萬六千四百十八億六十六百四十三萬七十五百尺。問為立圓徑幾何？
答曰：一萬四干三百尺。
開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑。

魏晉數學家劉徽指出這個方法是錯的：

……令圓冪居方冪四分之三，圓囤居立方亦四分之三。更令圓囤為方率十二，為丸率九，丸居圓囤又四分之三也。置四分自乘得十六分，三自乘得九，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘積，九而一，得立方之積。丸徑與立方等，故開立方而除，得徑也。然此意非也。

他的意思是說，前人以為正方體與內切的圓柱體體積比為4:3（取圓周率為3），這是正確的，因為它們的體積比即為正方形與內切圓的比；但前人認為圓柱體與內切球體體積比亦為4:3，劉徽指出這是錯誤的，因為取兩者之截面，是兩個同心圓，並不再是正方形與內切圓，所以前人認為正方體與內接球體體積比為16:9是錯誤的。

劉徽認為：

……取立方基八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規之為圓囤，徑二寸，高二寸。又復橫規之，則其形有似牟合方蓋矣。……按合蓋者，方率也。丸居其中，即圓率也。……觀立方之內，合蓋之外，雖衰沒有漸，而多少不掩。判合總結，方圓相纏，穠纖詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者。

所以牟合方蓋和球體積的比才是正方形與內切圓面積的比，因此，如果要求得球的體積，應從解出牟合方蓋的體積著手，才是正途。但劉徽自認無法得到這個比，乃謙虛地留給後人作正確的計算。

有了這樣一個開端，南北朝時代的祖沖之終於算出牟合方蓋的體積，再進一步求得球的體積。對於他的方法，我們作一番敘述如下：

考慮如下圖之形狀：

牟合方蓋的分截

(1)在圖(1)中，此小立方體是球的外切大正立方體的 $\frac{1}{8}$ ，故小正立方體的邊長即為球之半徑 r。

(2)將此小正立方體從橫豎兩面截為圓柱體的一部份，如圖(1)，故整個小正立力體被分成四部份，如圖(2)、(3)、(4)、(5)。其中圖(2)便是劉徽所指的牟合方蓋的1/8，現在我們想把這個小的牟合方蓋的體積算出來。

(3)首先我們把這個已被切割的小正方體在高 h 處橫截，如圖(6)。在直角三角形ABC中，AB=r，BC=h,AC=小牟合方蓋截面正方形之邊長 a。

則由勾股弦定理知：a²=r²-h²= 小牟合方蓋截面面積。

(4)設其餘三部份截面面積為 S，則 S= r²-a²= r²-(r²-h²)-h²；也就是說，不管在何處截面，S=h² 恆成立。

(5)接下來，取一個倒立的方錐，其邊長和高都等於 r，則在高為 h 的地方截之，其截面面積亦為 h²。

(6)由於剩餘三部份和的截面面積與方錐的截面面積均為 h²，高亦均為 r，故兩者體積也應相等，又方錐體積 $= \frac{1}{3}$ 小立方體體積，由此可知小牟合方蓋的體積應為小正方體體積的 $\frac{2}{3}$ 。故整個牟合方蓋的體積應為大正方體體積的2/3。

(7)因為牟合方蓋和內接球體積在等高處的截面積比為方和圓的比，故牟合方蓋和球的體積比為 $4:\pi$ ，所以球的體積V為：

$\begin{displaymath} V=(\frac{\pi}{4})\cdot(\frac{2}{3})\cdot(2r)^3 = \frac{4}{3}\pi r^3 \end{displaymath}$

雖然祖沖之和阿基米得均很巧妙地求出了球的體積，但是我們可以看到，他們所使用的方法及思考過程卻有著根本上的不同。在一味地追隨西方的數學思想脈絡之後，我們是否也應該承認，蘊藏在中國悠久的文化傳統中，有值得挖掘的數學寶藏。

參考書目

: 1. 李儼，《中國古代數學簡史》，台北九章出版社，1983。
: 2. 錢寶琮，《九章算術點校》，台北九章出版社，1984。
: 3. E.J. Dijksterhuis，《Archimedes》，Princeton:Princeton University Press,1987。
: 4. M. Kline，《數學史》上冊，台北九章出版社 ,1979。

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編輯：李渭天 ∕ 校對：陳文是 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：4/26/2002