四元數與Cayley數

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．原載於數學傳播十五卷二期
．作者當時任教於中正大學數學所

四元數與Cayley數

余文卿

一、數系的發展
二、四元數
三、Cayley數
四、四平方和和八平方和

一、數系的發展

數系從自然數N到整數Z，從整數Z到有理數Q這一路發展下來，非常順利。發展後的數系可輕易地由前一數系表現出來；如

$\begin{eqnarray*} \mathbf{Z}&=&\mathbf{N}\cup\{0\}\cup\{\mathbf{-N}\} \\ \mathbf{Q}&=&\{\frac{p}{q}\vert p,q\in \mathbf{Z},q\neq 0\} \end{eqnarray*}$

從有理數系Q到實數系R，就有點小波折了，而需費點心去小心處理了。第一種觀點是引進極限的概念，如此把實數看成是一收斂有理數列{c_n}的極限，但對固定一實數，這種表示法並不唯一；這也不足為奇，在有理數系中已見過，如 $\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{6}$ = $\frac{5}{10}$ = $\cdots\cdots$ 。在此我們可定義一等價關係，即

$\begin{displaymath}\{a_{n}\}\sim\{b_{n}\}\Longleftrightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}\end{displaymath}$

如此，將實數看成是收斂之有理數列的等價類的極限。第二種觀點是以小數來表示實數。有理數都可表成有限小數或循環小數；另外的那些不循環的無窮小數則是無理數，這些無理數是從Q擴充到R所添加的新數。

無理數依其代數特性而區分為代數數與超越數；所謂的代數數，即是滿足整係數多項式方程式的解；如 $\sqrt{2}$ 滿足x²-2=0， $\sqrt[4]{5}$ 滿足x⁴-5=0， $\sqrt{2}$ 與都 $\sqrt[4]{5}$ 是代數數。另一方面，圓週率 $\pi(=3.141592\cdots\cdots)$ 與自然對數的基底 $e(=2.71828\cdots\cdots)$ 都不是代數數，而是超越數。基本上要證明一數值是超越數，並不是一件容易的事。