向量外積與四元數

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．原載於數學傳播第十五卷第一期
．作者當時任教於台大數學系

向量外積與四元數

李白飛

1. 向量的外積
2. 四元數

1. 向量的外積

有「內積」就應該有「外積」，聽起來似乎理所當然，其實並不盡然，只有三維空間中，才有外積的定義。再說「內」、「外」之分，似乎是歷史的錯誤；兩個向量的內積，並不是個向量，而是個純量(數)，然而兩個三維向量的外積，卻仍是個向量，絲毫不見「外」。

在三維空間中，兩個向量的外積，可以自然地描述，也可以藉由座標來定義。設 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 為空間中兩個不平行的非零向量，其外積 $\vec{a}\times\vec{b}$ 為一長度等於 $\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta$ ，（θ為 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 兩者交角，且 $0<\theta<\pi$ ），而與 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 皆垂直的向量。通常我們採取「右手定則」，也就是右手四指由 $\vec{a}$ 的方向轉為 $\vec{b}$ 的方向時，大拇指所指的方向規定為 $\vec{a}\times\vec{b}$ 的方向。例如在右手系的空間座標中，若 $\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}$ 分別代表 x軸、y軸、z 軸正向的單位向量，則

$\begin{displaymath}\vec{\imath}\times\vec{\jmath}=\vec{k},\quad \vec{\jmath}\tim... ...ec{k}=\vec{\imath},\quad \vec{k}\times\vec{\imath}=\vec{\jmath}\end{displaymath}$

另外，顯而易見的是， $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 的外積與其次序有關， $\vec{b}\times\vec{a}$ 並不等於 $\vec{a}\times\vec{b}$ ；事實上， $\vec{b}\times\vec{a}=-\vec{a}\times\vec{b}$ 。當 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 中有一個零，或者兩者平行時，則令 $\vec{a}\times\vec{b}=0$ 。

如果選定一組座標系， $\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}$ 為對應的三正交單位向量，則 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的外積，可藉由其分量表示出來：若 $\vec{a}=a_1\vec{\imath}+a_2\vec{\jmath}+a_3\vec{k}$ ， $\vec{b}=b_1\vec{\imath}+b_2\vec{\jmath}+b_3\vec{k}$ ，則

$\begin{displaymath} \vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\imath} + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\jmath} + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{k} \end{displaymath}$

假使我們借用行列式的符號，不妨把它寫成

$\begin{displaymath} \left\vert\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \... ..._2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{array} \right\vert \eqno{(*)} \end{displaymath}$

不但容易記，而且也可以經由行列式的性質，驗證一些外積的性質。

這兩個方法，各有千秋，前者易懂，後者好算。借助於座標化，我們可以透過機械的運算(可能繁但不會難)，驗證一些類似

$\begin{displaymath} (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} + (\vec{b}\times\vec{c})\times\vec{a} + (\vec{c}\times\vec{a})\times\vec{b}=0 \end{displaymath}$

的複雜式子。即使只知道定義，你一樣可以驗證，然而自然的描述法，就很難辦到。不過，引進座標系來定義，終不免有個疑慮，那就是：選擇不同的座標系，會不會導致不一樣的外積？

由行列式的性質可知，若將 $\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}$ 分別代以a₁, a₂, a₃ 或 b₁, b₂, b₃，則(*)之行列式等於 0，也就是說 $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0$ 。換句話說， $\vec{a}\times\vec{b}$ 與 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 兩向量都正交。另外

$\begin{eqnarray*} &&\vert\vec{a}\vert^{2}\vert\vec{b}\vert^{2}-(\vec{a}\cdot\vec... ...b_2 -a_2 b_1 )^{2} \\ &=& \vert\vec{a} \times \vec{b}\vert^{2} \end{eqnarray*}$

而我們知道， $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta$ ，因此， $\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta$ ，總而言之， $\vec{a}\times\vec{b}$ 為一長為 $\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta$ ，而與 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 皆正交的向量，可見與座標系的選取無關。

外積的運算，與一般的乘積，有同有不同。相同的是，分配律成立：

$\begin{displaymath}\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\t... ...\vec{c})\times\vec{a}=\vec{b}\times\vec{a}+\vec{c}\times\vec{a}\end{displaymath}$

不同的是，交換律與結合律並不成立。（試舉一例，說明 $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$ 不必等於 $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$ ！）取而代之的是，反交換律 $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$ 及 Jacobi 恆等式

$\begin{displaymath} (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} + (\vec{b}\times\vec{c})\times\vec{a} + (\vec{c}\times\vec{a})\times\vec{b}=0 \end{displaymath}$

另外，純量與向量的混合結合律則無問題：

$\begin{displaymath} \alpha(\vec{a}\times\vec{b}) = (\alpha\vec{a})\times\vec{b} = \vec{a}\times(\alpha\vec{b}) \end{displaymath}$

現在，我們來看一些簡單的應用：

[例1] 正弦定律
如下圖 $\vec{c}=\vec{b}-\vec{a}$ ，故 $\vec{c}\times\vec{c}=\vec{c}\times(\vec{b}-\vec{a})$ 即 $0=\vec{c}\times\vec{b}-\vec{c}\times\vec{a}$ ，故 $\vec{c}\times\vec{b}=\vec{c}\times\vec{a}$ ，從而 $\vert\vec{c}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\alpha=\vert\vec{c}\vert\vert\vec{a}\vert\sin\beta$ ，因此 $\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$ 。

[例2] 平行六面體的體積
如下圖， $\vec{b}\times\vec{c}$ 垂直於底面，即 $\vec{b}$ 與 $\vec{c}$ 所生成的平面，其長 $\vert\vec{b} \times \vec{c}\vert$ $= \vert\vec{b}\vert \ \vert\vec{c}\vert \sin \theta$ ，也就是底面平行四邊形的面積，因此 $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ $=\vert\vec{a}\vert \ \vert\vec{b} \times \vec{c}\vert \cos \alpha$ ，而 $\vec{a}\cos\alpha$ 即為高 h，故 $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ 代表 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ 三向量所張之平行六面體的體積。

若 $\vec{a}=a_1\vec{\imath}+a_2\vec{\jmath}+a_3\vec{k}$ ， $\vec{b}=b_1\vec{\imath}+b_2\vec{\jmath}+b_3\vec{k}$ ， $\vec{c}=c_1\vec{\imath}+c_2\vec{\jmath}+c_3\vec{k}$ ，則

$\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) &=& (a_1\vec{\imath}+a_2\ve... ...3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}\right\vert \end{eqnarray*}$

又，由行列式的性質，易知 $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ $=(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ 。

[例3]平行四邊形與三角形之面積
在例2中，若取 $\vec{a}$ 為垂直於底面之單位向量，則平行六面體之體積，即底面平行四邊形之面積。因此， $\vec{b}$ , $\vec{c}$ 二向量所張之三角形面積，即為此三重積 $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ 之半。

例如，平面上三點 P₁(x₁,y₁)，P₂(x₂,y₂)，P₃(x₃,y₃) 所形成之三角形面積可計算如下：取 $\vec{b} = \overrightarrow{P_1 P_2}$ $= (x_2 - x_1) \vec{\imath} + (y_2-y_1) \vec{\jmath}$ ， $\vec{c}=\overrightarrow{P_1P_3}$ $= (x_3-x_1) \vec{\imath} + (y_3-y_1) \vec{\jmath}$ ，而 $\vec{a}=\vec{k}$ ，則

$\begin{eqnarray*} \Delta P_1P_2P_3 &=& \frac{1}{2} \left\vert \begin{array}{ccc}... ...& 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array}\right\vert \end{eqnarray*}$

[例4]平面方程式
設 P₁(x₁,y₁,z₁)， P₁(x₂,y₂,z₂)， P₃(x₃,y₃,z₃) 為空間中不共線三定點， P(x,y,z) 為空間中任一點，則 P₁,P₂,P₃ 所決定之平面上，其充要條件為 $\overrightarrow{P_1P}$ ， $\overrightarrow{P_1P_2}$ ， $\overrightarrow{P_1P_3}$ 所張之平面六面體之體積為 0。換言之，

$\begin{displaymath} \left\vert\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2... ...z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array} \right\vert =0 \end{displaymath}$

為P₁,P₂,P₃所決定之平面方程式。

這個方程式還可以這樣看：

$\begin{displaymath} \overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3} =\left\... ...2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array} \right\vert \end{displaymath}$

與 $\overrightarrow{P_1P_2}$ 及 $\overrightarrow{P_1P_3}$ 皆垂直，故為此一平面之一法線向量，而此面又通過 P₁ 點，因此 $\overrightarrow{P_1P} \cdot (\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3})=0$ 。

前面我們引進了 $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$ 這種純量值的三重積，現在我們考慮另一種向量值的三重積 $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$ ，我們可以證明 $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$ = $(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}$ ，從而Jacobi恆等式立即得證：

$\begin{eqnarray*} & &(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}+(\vec{b}\times\vec{c})\... ...\vec{c}\cdot\vec{b})\vec{a}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}\\ &=&0 \end{eqnarray*}$

這個式子，我們自然可以將 $\vec{a}=a_1\vec{\imath}+a_2\vec{\jmath}+a_3\vec{k}$ ， $\vec{b}=b_1\vec{\imath}+b_2\vec{\jmath}+b_3\vec{k}$ ， $\vec{c}=c_1\vec{\imath}+c_2\vec{\jmath}+c_3\vec{k}$ 代入驗證。如果利用內積和外積的線性(分配律和混合結合律)，當然簡化到只須檢查 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ 為座標單位向量 $\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}$ 就夠。然而機械式的演算，到底難以深刻地瞭解與記憶，因此，我們從另一個角度來分析。

假設 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 為二不平行的非零向量，則 $\vec{a}\times\vec{b}$ 與 $\vec{a}$ 及 $\vec{b}$ 皆正交，而 $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$ 則又與 $\vec{a}\times\vec{b}$ 正交，因此必須與 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 所張的平面平行，也就是說 $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}$ ，又因 $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$ 與 $\vec{c}$ 也正交，故 $x(\vec{a}\cdot\vec{c})+y(\vec{b}\cdot\vec{c})=0$ 。

若 $\vec{c}$ 與 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 皆不正交，則有

$\begin{displaymath} \frac{-}{(\vec{b}\cdot\vec{c})} = \frac{y}{(\vec{a}\cdot\vec{c})} = \lambda \; , \end{displaymath}$

因此

$\begin{displaymath} (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \lambda \big[ (\v... ...cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a} \big] \; . \end{displaymath}$

在 $\vec{b}=\vec{c}$ 的特別情況時，不難看出 $\lambda=1$ ，也就是說 $(\vec{a} \times \vec{c})\times\vec{c}$ $= (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{c}-(\vec{c}\cdot\vec{c})\vec{a}$ ：因為兩邊分別與 $\vec{a}$ 作內積，則得 $(\vec{a} \times \vec{c})\times\vec{c}\cdot\vec{a}$ $=\lambda \big[ (\vec{a}\cdot\vec{c})^2 - (\vec{c}\cdot\vec{c})(\vec{a}\cdot\vec{a}) \big]$ ；因此

$\begin{displaymath} \lambda \big[ (\vec{a}\cdot\vec{c})^2 - \vert\vec{a}\vert^2 ... ...c} \times \vec{a}) = -\vert\vec{a} \times \vec{c}\vert^2 \; , \end{displaymath}$

即

$\begin{displaymath} -\vert\vec{a}\vert^2 \vert\vec{c}\vert^2 \cdot \sin^2 \theta... ...bda \vert\vec{a}\vert^2 \vert\vec{c}\vert^2 \sin^2 \theta \; . \end{displaymath}$

從而 $\lambda=1$ 。

至於一般情況，可將 $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$ $=\lambda[(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}$ $-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}]$ 兩邊與 $\vec{b}$ 作內積而得：

$\begin{eqnarray*} & &\lambda[(\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{b})-(\vec{b}... ...(\vec{a}\cdot\vec{c})-(\vec{c}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{b}) \end{eqnarray*}$

故 $\lambda=1$ 。

[例5]
設 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 為二已知向量，且 $\vec{a}\neq0$ 而 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ ，又設 c 為一已知實數，試求一向量 $\vec{v}$ ，使其滿足 $\vec{a}\cdot\vec{v}=c$ 。

[解]
設 $\vec{v}$ 為所求之向量，則 $\vec{a}\times\vec{b}$ $=\vec{a}\times(\vec{a} \times \vec{v})$ $=(\vec{a}\cdot\vec{v})\vec{a}-(\vec{a}\cdot\vec{a})\vec{v}$ $=c\vec{a}-\vert\vec{a}\vert^2\vec{v}$ ，故 $\vec{v}=\frac{1}{\vert\vec{a}\vert^2}(c\vec{a}-\vec{a}\times\vec{b})$ ，代入檢驗，確實滿足。

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編輯：張觀洋 ∕ 校對：陳文是 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：4/26/2002