黎曼 (Riemann)
張海潮、李文肇

研究大綱 I. n 元量的概念 II. 能適用於 n 元量的度量關係（假設線的長度獨立於其形狀，每一條線都可以拿另一條線來量度） III. 物理空間中的應用 譯者註

研究大綱

大家知道，幾何學事先設定了空間的概念，並假設了空間中各種建構的基本原則。關於這些概念，只有敘述性的定義，重要的特性則以公設的形態出現。這些假設（諸如空間的概念及其基本性質）彼此間的關係尚屬一片空白；我們看不出這些概念之間是否需要有某種程度的關聯，相關到什麼地步，甚至不知是否能導出任何的相關性。

從歐幾里德（Euclid）到幾何學最著名的改革家雷建德（Legendre）， 無論是數學家或研究此問題的哲學家都無法打破這個僵局。這無疑是因為大家對於「多元延伸量」 （multiply extended quantities）（包括空間量） 的概念仍一無所知。因此我首先要從一般「量」（quantity）的概念中建立「多元延伸量」的概念。我將指出，「多元延伸量」是可以容納若干度量關係的。所以我們所處的空間也不過是三元延伸量的一種特例。然而在此必然會發覺，幾何學中的定理並不能由「量」的一般概念中導出，而是要源自經驗和能夠將空間從其他易知的三元量屬性區分出來。因而有了一個問題，即如何找出一組最簡單的數據關係來決定空間的度量關係。這個問題的本質尚有爭議且可能有好幾套簡單的數據關係均符合要求。單就眼前的問題看，最重要的一套是歐幾里得做為幾何學原本的公設。一如所有數據關係的定義，它們並沒有邏輯上的必然性。只是由經驗認可，是一個假說。因此，我們能夠做的是研究這類數據關係的可靠性（在我們的觀察範圍內當然相當可靠）。然後考慮是否能夠延伸到觀察範圍之外，亦即朝向測量不能及的大範圍和小範圍來推廣。