.原載於數學傳播第十二卷第二期 .作者當時任職於中研院數學所副研究員 | |||
黎曼Zeta--函數與 Bernoulli 數
郭嘉南 |
對於實部大於1的複數 s,我們定義黎曼 zeta-函數如下:
我們定義 Bernoulli 數為下面函數泰展開式中的係數 Bk: 由(1)式,我們容易推出每一個 Bk 都是有理數。
我們可以對 作解析延宕 (analytic continuation),使得 成為定義在整個複數平面上的半純函數 (meromorphic function),並且只有在 s=1 這一點有一個 residue 為 1 的 simple pole。而且經過解析延宕之後, 滿足下面的 functional equation:
以上關於 的性質,可以在 Ahlfors[1] 書裡找到,這不是這篇文章所要討論的主題。
黎曼 zeta-函數與 Bernoulli 數有如下重要的關係:
如果在(3)式取 k=1,則由於
,我們得到
(4)式的結果是大數學家 Euler 所證明的,長久以來一直都深深地引人入勝。定理1 的結果當然比(4)式還要深入許多。定理1 有幾個不同的證明,一般都不太容易,譬如可以參考 Ahifors[1] 或 Titchmarsh[2]。這篇文章的目的是要給一個比較淺顯直接的定理1 的證明,當作學習心得,希望對閱讀這篇文章的讀者會有助益。
現在我們開始證明定理1
考慮下面的積分 其中 N 為一正整數。我們不難證明存在一個與 N 無關的正數 ,使得在圓 上, 我們有 所以當 因此積分 另一方面,對於每一非零的整數 m,f(s) 在 這一點有一個 residue 為 的 simple pole。而且由(1)式,我們知道 f(s) 在 s=0 這點的 residue是 。所以積分(5)式同時為 現在令 ,由(6)式和(7)式,我們立刻得到 所以 因此定理1 得證。
結束本文之前,我們給幾個註腳。到目前為止,人們還不知道如何明確對正奇數 2k+1 表示 的函數值。定理1 只不過是在數論 (Number Theory) 的研究領域裡更一般的問題的一個特例。研究數論的數學家經常必須對某一類的函數,例如橢圓函數,Γ 函數等,在某些特定的點將其函數值明確表示出來。
|
對外搜尋關鍵字: .黎曼 .Euler |
|
(若有指正、疑問……,可以在此 留言 或 寫信 給我們。) |
EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系 各網頁文章內容之著作權為原著作人所有 |
編輯:廖俊旻 / 校對:黃怡碧 | 最後修改日期:4/26/2002 |