.原載於數學傳播第十二卷第二期 .作者當時任職於中研院數學所副研究員 | |||
黎曼Zeta--函數與 Bernoulli 數
郭嘉南 |
對於實部大於1的複數 s,我們定義黎曼 zeta-函數如下:
![]() 我們定義 Bernoulli 數為下面函數泰展開式中的係數 Bk: ![]() 由(1)式,我們容易推出每一個 Bk 都是有理數。
我們可以對 ![]() 以上關於 ![]()
黎曼 zeta-函數與 Bernoulli 數有如下重要的關係:
如果在(3)式取 k=1,則由於
![]() (4)式的結果是大數學家 Euler 所證明的,長久以來一直都深深地引人入勝。定理1 的結果當然比(4)式還要深入許多。定理1 有幾個不同的證明,一般都不太容易,譬如可以參考 Ahifors[1] 或 Titchmarsh[2]。這篇文章的目的是要給一個比較淺顯直接的定理1 的證明,當作學習心得,希望對閱讀這篇文章的讀者會有助益。
現在我們開始證明定理1
![]() 考慮下面的積分 ![]() 其中 N 為一正整數。我們不難證明存在一個與 N 無關的正數 ![]() ![]() ![]() 所以當 ![]() ![]() 因此積分 ![]() 另一方面,對於每一非零的整數 m,f(s) 在 ![]() ![]() ![]() ![]() 現在令 ![]() ![]() 所以 ![]() 因此定理1 得證。
結束本文之前,我們給幾個註腳。到目前為止,人們還不知道如何明確對正奇數 2k+1 表示
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編輯:廖俊旻 / 校對:黃怡碧 | 最後修改日期:4/26/2002 |