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.原載於數學傳播第十二卷第二期
.作者當時任職於中研院數學所副研究員
 

黎曼Zeta--函數與 Bernoulli 數

郭嘉南

 
 

對於實部大於1的複數 s,我們定義黎曼 zeta-函數如下:

\begin{displaymath}
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}
\end{displaymath}

我們定義 Bernoulli 數為下面函數泰展開式中的係數 Bk

\begin{displaymath}
\frac{s}{e^s-1}=1-\frac{1}{2}s+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{B_k}{(2k)!}s^{2k} \eqno{(1)}
\end{displaymath}

由(1)式,我們容易推出每一個 Bk 都是有理數。

我們可以對 $\zeta(s)$ 作解析延宕 (analytic continuation),使得 $\zeta(s)$ 成為定義在整個複數平面上的半純函數 (meromorphic function),並且只有在 s=1 這一點有一個 residue 為 1 的 simple pole。而且經過解析延宕之後,$\zeta(s)$ 滿足下面的 functional equation:

\begin{displaymath}
\pi^{-\frac{1}{2}s} \Gamma(\frac{1}{2}s)\zeta(s)
= \pi^{-\frac{1}{2}(1-s)}\Gamma(\frac{1}{2}(1-s))\zeta(1-s)
\end{displaymath}

以上關於 $\zeta(s)$ 的性質,可以在 Ahlfors[1] 書裡找到,這不是這篇文章所要討論的主題。

黎曼 zeta-函數與 Bernoulli 數有如下重要的關係:

定理1:對任意正整數 $k \geq 1$,我們有

\begin{displaymath}
\zeta(2k) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}
= 2^{2k-1}\frac{B_k}{(2k)!}\pi^{2k} \eqno{(3)}
\end{displaymath}

如果在(3)式取 k=1,則由於 $B_1=\frac{1}{6}$,我們得到

\begin{displaymath}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{6}\pi^2 \eqno{(4)}
\end{displaymath}

(4)式的結果是大數學家 Euler 所證明的,長久以來一直都深深地引人入勝。定理1 的結果當然比(4)式還要深入許多。定理1 有幾個不同的證明,一般都不太容易,譬如可以參考 Ahifors[1] 或 Titchmarsh[2]。這篇文章的目的是要給一個比較淺顯直接的定理1 的證明,當作學習心得,希望對閱讀這篇文章的讀者會有助益。

現在我們開始證明定理1

\begin{displaymath}
\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 73}} f(s)=\frac{1}{e^s-1}\frac{1}{s^{2k}}(s\in \mathbf{C})
\end{displaymath}

考慮下面的積分

\begin{displaymath}
I(N)=\frac{1}{2\pi i} \int_{\vert s\vert=(2N+1)\pi}f(s)ds \eqno{(5)}
\end{displaymath}

其中 N 為一正整數。我們不難證明存在一個與 N 無關的正數 $\delta>0$,使得在圓 $\vert S\vert=(2N+1)\pi$ 上, 我們有

\begin{displaymath}
\vert e^s-1\vert \geq \delta
\end{displaymath}

所以當 $\vert s\vert=(2N+1)\pi$

\begin{displaymath}
\vert f(s)\vert=O((N\pi)^{-2k})
\end{displaymath}

因此積分

\begin{displaymath}
I(N)=O((N\pi)^{-2k+1}) \eqno{(6)}
\end{displaymath}

另一方面,對於每一非零的整數 mf(s)$s=2m\pi i$ 這一點有一個 residue 為 $(2m\pi i)^{-2k}$ 的 simple pole。而且由(1)式,我們知道 f(s)s=0 這點的 residue是 $(-1)^{k-1}\frac{B_k}{(2k)!}$。所以積分(5)式同時為

\begin{displaymath}
I(N)=\sum_{m=1}^{N}\frac{2}{(2m\pi i)^{2k}}+(-1)^{k-1}\frac{B_k}{(2k)!}
\end{displaymath}

現在令 $n\rightarrow +\infty$,由(6)式和(7)式,我們立刻得到

\begin{displaymath}
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2}{(2m\pi i)^{2k}}+(-1)^{k-1}\frac{B_k}{(2k)!}=0
\end{displaymath}

所以

\begin{displaymath}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}=2^{2k-1}\frac{B_k}{(2k)!}\pi^{2k}
\end{displaymath}

因此定理1 得證。

結束本文之前,我們給幾個註腳。到目前為止,人們還不知道如何明確對正奇數 2k+1 表示 $\zeta(2k+1)$ 的函數值。定理1 只不過是在數論 (Number Theory) 的研究領域裡更一般的問題的一個特例。研究數論的數學家經常必須對某一類的函數,例如橢圓函數,Γ 函數等,在某些特定的點將其函數值明確表示出來。

1.L.V. Ahlfors,《Complex analysis》,3rd Ed. McGraw-Hill Book company.
2.E.C. Titchmarsh, 《The theory of the Riemann zeta-function》, Oxford University Press, 1951.

 
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編輯:廖俊旻 / 校對:黃怡碧 最後修改日期:4/26/2002