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．原載於數學傳播第12卷第1期

•註釋
 

π是什麼

塞爾日•藍 (Serge Lang)
翻譯：洪萬生（台大數學系）

 
 

本文是塞爾日•藍的演講紀錄輯本《數學：挑戰中學生！》 (MATH! Encounter with High School Students)的第一篇。 這些演講是他四、五年前分別到加拿大、法國的兩所中學講課的記錄。 至於動機則出自他對數學教育的關心， 這從他在本書中致娜雪兒等學生的一封信可以看得出來：

大部份中小學數學課程都很枯燥乏味。你們可能沒有機會看到漂亮的數學像什麼樣子。如果你們現在是中學生，我希望你們讀過這本小書後，對你們所學的數學有所補充。我有很多理由反對中學數學課程，其中最主要的便是它的前後不連貫、通盤概括的欠缺，以及一些毫無意義的習題。你們將會發現本書相當不同，而我正是希望這個「不同」對你們有所啟發。如此，則在「做」數學之後，你們最後也許會喜愛數學就像喜愛音樂一樣，或者正如我喜愛它一樣。

本篇談話對象是一班十五歲左右的中學生，地點在加拿大多倫多郊區一所中學，時間在1982年四月。該節談話花了一個小時又十五分鐘。

塞爾日•藍出生於1927年法國巴黎。他在小學 10 年級時移民美國，唸了兩年中學之後進入加州理工學院就讀。1946年畢業後即加入美國陸軍，待了一年半之後使進入普林斯頓大學哲學系，就讀了一年後即轉入數學系，並於1951年獲得博士學位。

五十年代以來，他相繼任教過芝加哥大學、 哥倫比亞大學、普林斯頓大學和哈佛大學。 最後在耶魯大學安定下來，那是1970年的事。

除了數學，他極喜愛音樂，曾經學過鋼琴和魯特琴(lute)彈奏。

在 1966 到 1969年期間，他是美國大學中反越戰的活躍角色，此外，他當然也很熱衷社會改革運動。最近，他仍然一本自由派學者的初衷，在美國科學院的院士選舉中，大肆抨擊杭丁頓 (Huntington) 的政冶學為「擬科學」(pseudoscience)，從而把杭丁頓擋在院士的行列之外。然而，他的主要興趣永遠在數學上。到目前為止，他已經出版28本書，和60篇以上的研究論文。他曾經榮獲美國的 Cole 獎和法國的 Carriere 獎。

塞爾日•藍（Serge Lang, 底下簡稱藍）

藍： 我的名字是塞爾日．藍， 任教於耶魯大學今天特地來此跟你們做一點數學。

我們打算研究一些簡單幾何圖形像長方形、三角形和圓形的面積， 想必你們在這數學課上已有所聞。 讓我們從長方形談起。我們假設它的面積是底乘高， 因此，如果它的兩邊長度分別是 a 和 b ， 那麼這長方形的面積就是 ab。 舉個例子，如果一個長方形的兩邊長度是 3cm與 4cm， 那麼它的面積就是 12cm2。你們不妨在底下圖形上做個驗證。



如果你們把一個長方形切成兩半，像這樣



那麼你們就會得到一個直角三角形面積，因此這個直角三角形的面積就是底和高乘積的一半。我們可以寫成

\begin{displaymath}\mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 242}\... ...amily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}} = \frac{1}{2} bh\end{displaymath}

其中 b 是底，h 是高。



你們應該也知道這公式對任意三角形都成立，只要 h 指的是垂直的高度。關於這一點，我們或可看看兩種可能的圖形：



關於證明就讓你們自行試試，因為我想要多一點時間來討論更有趣的事──圓 註1 。

所以現在就假設你們已知三角形面積。接著，請看這個半徑是 r 的圓。



有人曉得它的面積公式嗎？

學生：$\pi r$平方。
藍：對的，是 $\pi r^2$。那麼，π 是什麼？
學生：π 是什麼？！
藍：是的。
該生：3.14。
藍：你宣稱 π 是3.14。那是一個精確的表示式嗎？
該生：不，我想不是。
藍：那麼你怎麼會說是3.14呢？
學生：嗯，應該是點點點下去。
藍：好的。就讓我們把點點點下去， 像這樣 3.14……來表示它是點點點下去。 不過，你如何知道它是怎麼點點點下去的？ [眾生反應不一。]
藍：看來它並沒有那麼清楚!顯然，怎麼點點點下去是一個問題。 我的意思是，你們打算怎麼去計算它呢？
學生：你可以量取圓的周長，再除以半徑約兩倍。
藍：啊，你正指出了另外一些事。不過，我們通常不叫「周長」(perimeter)， 而叫「圓周」(circumference)。我這樣叫它你不介意吧？
學生：不介意？
藍：好的，首先你們告訴我面積 $\pi r^2$，現在又提到圓周。 而你們剛剛又告訴我的又是什麼呢?你們做了一項結論說

\begin{displaymath}c= 2 \pi r ,\end{displaymath}

這就是你們所說的: 2r 是直徑， 因此圓周是 pi 乘直徑，所以我們也可以寫成

\begin{displaymath}c=\pi d ,\end{displaymath}

其中 d 是直徑，d=2r。現在請注意。你有兩個公式， 分別表示面積和圓周：

$\pi r^2$ 和 $2 \pi r$

喔！對了，你叫什叫名字？[指向該生]

該生：塞爾日。
藍：喔塞爾日，就跟我一樣〔全班嘩然！。〕

剛才塞爾日說，要計算 π，你們注意圓周並將它除以直徑。 這圓周是你們可以度量的某種東西。你們可以在家取一條軟帶子， 將它繞上煎鍋的周圍，並且度量其圓周。其次， 你們再用直尺度量直徑，然後去除圓周。實際上， 你們可以由此取得一到兩位小數的精確值； 如果你們夠細心的話，多半可以得到兩位小數準確。 你們取得的數值，都是 π 的一個近似值。

你們若想要經由（圓）面積度量而取得 π 的近似值， 則將更費周章。好了，現在的問題是：你們手頭上有兩個公式， 一個是算面積的，另一個是算圓周的。那麼， 你們知道這兩個公式是真確的嗎？

[學生面面相歔，鴉雀無聲。]

藍：你們怎麼證明呢？有那一位曾經說過要證明這兩個公式嗎？ 在什麼時候?你們剛剛有了這兩個公式。
學生：[大部份臉上都寫了「不」字，但也有一、兩位舉手。]
塞爾日：你只要說 π 等於圓周除以直徑，然後算出它就行了。
藍：算什麼出來?你剛剛重複了其中一個公式。你有兩個公式。 假定我想證明它們。要證明它們，我必須從某些東西開始， 然後經由邏輯而得到公式。這麼說我從什麼開始好呢？
塞爾日：你從 π，也就是圓周除以直徑的地方開始。
藍：然後呢?現在你必定會觸及面積了。π的定義是什麼？ 在你能夠證明某些東西以前，你必須有一個定義。
塞爾日：它就是我所說的，圓周除以直徑。
藍：但是接著，你必須證明它也是（圓）面積公式中的那一個 π。 假如你告訴我說 π 是圓周除以直徑（直徑是半徑兩倍）， 那麼你可以當它是個定義並由它開始， 但按著你必須證明某些東西──那就是其他的公式 註2 。

所以我必須從某些東西，從一個定義開始，不然我不能證明任何東西，然後邏輯地導出公式。於是，問題正是：我們究竟從什慶地方開始呢？那就是我正在探尋的。我要從某個地方開始，然後達到這兩個公式。

關於這兩個公式，我將必須先解釋兩件事。 其中之一是 r2 從那裡來的;其次 π 又是從那裡來的。 它們來自同一個問題的兩個不同方面。 其中一個必須跟 r2 打交道。 何以面積公式中會有一個 r2 呢？ 而何以在圓周公式中又會有一個 r （而不是 r2）呢？ r與 r2的現身必須加以討論。 至於其他我還必須討論的是 π。

這樣我們對每一方面都有了開始的交代。底下我要先解釋 r2， 然後再解釋 π。讓我們回到更簡單的長方形的例子上。 假定我們有一個邊是 a,b 的長方形。 那麼這長方形的面積恰是其乘積 ab。 現在假定我取一個長方形，其邊是兩倍 a 與兩倍 b， 也就是我把它的兩邊都放大兩倍，這樣的話， 它的面積如何變化呢？

學生：它加倍。
藍：你叫什麼名字？
該生：阿道夫。
藍：面積加倍了？這個新長方形的面積是什麼？[另一個學生開始回答。]
藍：不是你，是阿道夫，我是問阿道夫。長方形面積是兩邊乘積，對不對？
阿道夫：是的。
藍：於是這新的長方形的一邊是 2a，而另一邊是多少呢？
阿道夫：是 2b。
藍：對的，因此整個面積是 2a 乘上 2b ，也就是 4ab。



現在假定我取一個長方形，其邊是原有的三倍， 那麼這新的長方形約兩邊就是 3a 和 3b。



這長方形的面積是什麼？阿道夫。

阿道夫：9ab 。
藍：對的，是 9ab，它是 3a 乘 3b ，那是 9ab。 假定我取一個長方形，其邊是原有的一半， 也就是 $\frac{1}{2} a$和$\frac{1}{2} b$。 這長方形的面積又是什麼呢？



阿道夫：是 ab 除以4。
藍：正是。四分之一 ab。現在假定我取一般的一個長方形， 其邊為 ra 和 rb。像這樣



阿道夫，這長方形面積是什麼？

阿道夫：ra 乘 rb。
藍：正是，ra乘 rb，那又是什麼？
阿道夫： r 平方乘 ab 。
藍：是的，r2 ab。因此， 如果我藉著放大一個因數r而變化這長方形， 那隨這面積將如何變化?阿道夫。
阿道夫：你可以重複說一下，請？
藍：好的。我原有一個長方形， 在它的兩個方向(兩邊)上，我都放大了一個因數r。 你看，這新的邊是 ra，rb 吧？ 那麼這面積如何變化呢?原有的面積是 ab。 新的面積是什麼呢？
阿道夫： r平方ab。
藍：是的，r2 ab，不是 rab。這面積變化了，經由的是什麼因數呢？
阿道夫：經由 r2。
藍：你剛在一分鐘前說是 r。 你看它並不是 r，而是r2。你看到了吧？ 大家都看到了吧？[學生們同意他們都看到了。]
藍：所以如果我在兩邊都放大一個因數 r， 那麼這長方形的面積就會變化一個因數 r2。 而且，r當然可以大於1，也可以小於1，像 $r = \frac{1}{2}$ 或 $r= \frac{1}{3}$ 。所以現在你知道長方形面積是如何變化的了。 有問題嗎？大家都懂了吧？[沒問題。]很好， 現在我換一種圖形來取代長方形。假定我有一個曲線形，像這樣：



就像一個腎臟一樣。假定我有一個腎臟，而且它有面積 A。 現在我將這腎臟放大2倍，比如說。那麼這放大的腎臟的面積將是什麼？

學生： A2？
藍：不，讓我們回頭看。我有一個面積是 A 的長方形， 如果我將它放大2倍，那麼它的新面積將是什麼？
學生：是 4A。



藍：是的，這面積以 2 平方變化了。如果 我放大這長方形 r 倍， 那麼其面積將以 r2 的因數變化。假定我放大一個曲線形。 我把它放大2倍，那麼其面積將以那一個因數變化？
學生：4。
藍：好的，這（腎臟形的）面積以同樣的因數4 變化。 為什麼呢？怎麼證明呢？我有一個曲線形，一個腎臟，它不是長方形。 我要如何證明它呢？有人有任何想法嗎？很好，阿道夫。
阿道夫：你繞著周圍量。
藍：不，你繞著周圍量不能決定面積。如果我繞著周圍量， 我會得到周長，圓周（長）等等。我正在處理面積， 所有相關的面積都在（曲線）內部。 [一位學生舉起她的手。不少學生表現出摸索的模樣。 過了一會兒，藍繼續他的話題]
藍：我試著把這問題化約到長方形上。我畫一個像這樣的格子。



大家看到這格子了吧？ 這腎臟的面積可以由其內部的長方形面積來逼近。 我所注視是完全落在腎臟內的長方形。 [藍用粗線條在下一個圖形標示出這些長方形。] 它們就像這樣。



因此，只要我取得這些長方形， 在粗線段內部的這些，我就得到這腎臟面積的一個逼近。 假如我把這格子造得精細一點，就像下一個圖形的樣子， 那麼我就會得到一個更好的逼近。



大家看到所有這些小長方形都在裡面吧？ 假使我取得這些小長方形的和，這些小長方形面積的和， 那麼我就會得到這個腎臟面積的一個好的逼近。 現在我把整個圖形放大某一個因數 r。這樣我們就做了一次伸縮， 那是一個經由因數 r 的擴張或收縮。 於是這些長方形也跟著伸縮了一個因數 r。 例如，如果 r 大於 1，那麼在第一圖中的長方形將會放大成較大的長方形。



學生：是的，如果你放大腎臟裡面的這些長方形一個因數 2， 那麼這些放大的長方形面積將是原有面積的四倍。
藍：對的。還有，如果我放大一個因數 r， 那麼這些新長方形的面積將是 r2 乘原長方形積。 大家都懂了吧？注意看這裡的所有長方形，像這樣，有第一個， 第二個，第三個，等等。它們有面積 A1 , A2 , A3 , A4 , A5, A6, A7, A8, A9, A10 。 如此我把這些小長方形的面積數出來。



大家都看到那裡面的這些長方形吧？接著， 我取得這些長方形的面積和，就像

\begin{displaymath}A_1 +A_2 +A_3 +A_4 +A_5 +A_6 + \cdots \mbox{{\fontfamily{cwM2... ...{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 131}} A_{10} \end{displaymath}

我共有十項。這個和逼近了腎臟的面積， 對吧?現在我把整個情況做了一次放大， 像照片放大一個因數一樣。大家想要什麼因數呢？2 或者 r？ 大家想要一個特定數嗎？或者我可以使用 r 嗎？

多位學生：你可以使用 r。
藍：我可以使用 r，很好。如此我就放大一個因數 r。



現在如果其中一個長方形有面積 A， 就像她剛剛說過的──妳叫什麼名字？

學生：娜雪兒。
藍：娜雪兒。就像娜雪兒所說的，這伸縮過的長方形面積將是 r2A。 因此如果這裡有一個長方形面積是 A， 那麼在那兒我將會有一個長方形面積是 r2 A。 這麼說來，所有這些放大過的長方形面積將是什麼呢？它將是

\begin{displaymath}r^2 A_1 + r^2 A_2 + r^2 A_3 + \cdots \mbox{{\fontfamily{cwM2}... ...ntfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 131}} r^2 A_{10} \end{displaymath}

娜雪兒：是的。
藍：如果我提出因數 r ，把 r 放在前頭，如此我得到

\begin{displaymath}r^2 (A_1 +A_2 + \cdots \mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}... ...{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 131}} A_{10} \end{displaymath}

但 A1 + A2 + … + A10 是腎臟面積的一個逼近，而且

\begin{displaymath}r^2 (A_1 + A_2 + \cdots + A_{10} ) \end{displaymath}

是伸縮過的腎臟面積的一個逼近，所以它是新面積的一個逼近， 它也就是原面積的 r2 倍。

現在如果我造一個更精細的格子， 那麼腎臟內部這些長方形的面積將會愈來愈靠近腎臟的面積。 而這也正是腎臟面積以一個因數 r2 變化的緣故。 大家都了解這個論證嗎?並不完全？

學生：有一點。
藍：有一點……。大家了解關於長方形的論證吧？ 假如我放大每個長方形一個因數，那麼它的面積就會以 r2 的因數變化。 大家也都看到我可以用長方形逼近這曲線形吧？ 那麼我如何利用長方形逼近曲線形呢？
娜雪兒：加出這些小長方形的面積。
藍：對的。首先我造一個格子，然後加出所有這些小長方形的面積。 而那也給了我腎臟面積的一個良好逼近。接著我放大整個圖形一個因數 r。 如此，每一個小長方形也跟著放大一個因數 r， 而且每一個長方形的面積也以一個因數 r2 變化。也正因為如此， 所以我才宣稱那是一個何以這曲線形也會以一個因數 r2 變化的論證。 大家都接受吧？有沒有什麼評論呢？ [好多位學生交頭接耳，討論這一問題]
學生：它變得大一點？
藍：對的。如果 r 大於 1，它會變大。如果 r是 $\frac{1}{2}$， 它會一個 $\frac{1}{4}$ 的因數收縮。這是對的。你接受吧? 還有沒有其他的？
另一學生：呀，我接受。[一陣笑聲，這個陳述聽來好笑。]
藍：大家有任何反對意見嗎？
學生：我有一個問題。如果 r 小於 1， 那麼它將會以一個 r 的負2次方縮小嗎？
藍：不。如果 r 小於 1， 那麼你將得到一個因數 r2 的放大，不過 r2 將小於 1。 你可以把 r 寫成某一個其他數 s 的負一次方， 也就是 r=s-1，因此 r2 是 s 的負2次方， 也就是 r2 = s-2。 於是乘以 r2 實際上是一個經由小於 1 的因數之收縮。
學生：所以它實際上並不是一個放大。
藍：對極了，讓我們使用一個中性名稱，讓我們稱它做伸縮好了。 如果 r 像 2 或 3，那麼這伸縮就遞增了面積。 如果 r 是 $\frac{1}{2}$，那麼這面積就以一個因數 $\frac{1}{4}$ 變化， 這就是一種收縮。於是我們使用中性稱呼──伸縮。

我們剛剛的論證是經由長方形來逼近曲線形。 我們可以說在一個因數是 r 的伸縮下，面積是以一個因數 r2 變化了。 我們可以從那繼續下去嗎？我可以擦掉嗎？[學生點頭。]

我們繼續下去。現在回到圓上，這圖形肯定是較腎臟好多了。 我的意思是，它也是彎曲的，但因為比較規則，所以它較腎臟好多了。

取一個半徑 1 的圓。大家要如何從半徑 1 的圓得到半徑 2 的圓呢？



學生：你把半徑增加了1。
藍：增加了因數 1 或 2 呢？ 取另一個半徑。你如何從半徑 1 的圓得到一個半徑 10的圓呢？
學生：你已經經由一個因數 10 增加了它。
藍：我已經經由一個因數 10 而增加了它。 一般情形，如果我有一個半徑 r 的圓， 那麼我要如何從半徑 1 的圓得到半徑 r 的圓呢？
學生：你經由半徑 r 的一個因數去增加它。
藍：經由 r 的一個因數。 如此我可以說半徑 r 的圓是半徑 1 的圓經由因數 r 的伸縮。 大家都接受吧？
學生：嗯。



藍：還有， 半徑 $\frac{1}{2}$ 的圓半徑 1的圓經由 $\frac{1}{2}$ 的伸縮。 現在假定大家知道半徑 1 的圓面積吧？ 那麼，半徑 2 的圓面積將是什麼呢？令 A 是半徑 1 的圓面積， 半徑 2 的圓面積是什麼呢？
學生： 4A 。
藍：完全正確！你叫什麼名字？
學生：何。
藍：何。真棒。4A。那麼半徑 10 的圓面積又是什麼呢？
另一學生： 100A。
藍：還有半徑 $\frac{1}{4}$ 的圓面積又是什麼呢？娜雪兒。
娜雪兒：四分之一 A。
藍：好的。那個半徑 r 的圓面積又是什麼呢？
娜雪兒： r2？
藍： r2？[詢問的口吻。]
娜雪兒：r2 A 。
藍：r2 A。正是它。現在你看到 r2 出場了吧？ 那正是我們所謂的 r2。

順便提起，關於我所謂的圓，當然有一點混淆。 圓的周邊，就是所謂的圓。如果你要的是圓的內部， 我們必須有個區別，我們稱它是一個圓盤。它就像一個飛盤。 我們稱它是圓盤，是由於希臘人稱它是圓盤的緣故； 如果希臘人稱它是飛盤，我們將也會稱它是飛盤。 因此我們可以說這半徑 r 的圓盤面積是 r2 A， 其中 A 是半徑 1 的圓盤面積。現在， 你想要給半徑 1 的圓盤面積一個稱呼吧， 那就是我們打算要稱呼的 π（唸成pi）。 於是我定義 r 是半徑 1 的圓盤面積。為了我們今天講解的目的， 我們打算假設 π 就是那個數。當然我們假設我們已經給出度量單位， 無論你要的那一種方式。半徑 1 的圓盤面積， 就是我們要把它當成 π 的定義的東西。

所以，要是我們這麼做，那麼根據我們前面已經討論過的， 半徑 r 的圓盤面積是 A ，現在則稱它作 π， 它顯然是個常數。還有，從 π 的定義開始， 我們已經解釋了 r2。這樣著我們關照了其中的一個公式， 對吧？有沒有問題？我可以往下講嗎？[沒有問題。]

現在讓我們回到我們原來的題材上，一開始有兩個問題被提出來， 那就是:圓盤面積和圓的圓周。我們已經關照過面積了， 剩下來就是圓周了。它的有關定理就是：

定理: 半徑 r 的圓的圓周（長）是 $2 \pi r$。

我們說的就是這個定理。讓我們稱這圓周為 c。 我們從 π 的一個定義開始，然後得到 $\pi r^2$，而現在我們想要證明

\begin{displaymath}c = 2 \pi r\end{displaymath}

這就是我想要做的：給公式 $\pi r^2$ 和 $2 \pi r$ 一個系統的處理。可以吧？有沒有人抱怨？[笑聲。]

學生：沒有抱怨。
另一學生：還沒有!
塞爾日：你為什麼用半徑而不是直徑呢？
藍：我也可以把公式寫成 $c = \pi d$，其中 d 是直徑。
學生：但又何以用直徑呢?你如何知道它是 2r 呢？
藍：妳不知道。那正是我打算要證明的！我正在做結論； 我還沒有證明它呢。那是我們操演的全部重點： 證明它是一個正確公式。我還沒有證明它。證明馬上就會現身。 同樣的常數（π）曾經在面積中出現的， 將會在圓周上恰好也以那種類型出現， 這是一個相當不尋常的事實，也十足地是定理的內容。 它恰好他按同樣的方式出現在這公式中：圓周是 $\pi d$，π乘上直徑。

首先，沒有理由說公式非這樣出現不可。我的意思是說， 它可以按其他任何方式出現。假如它出現成那個樣子，不要責怪我。 我的意思是，上帝使它成為那個樣子！[笑聲。] 那種形式並不是我固定的，它是被某個其他人所固定的。 不過，你可以問我為什麼，而且我也正在回答為什麼。 那也正是「證明」這個字所表示的意思。[笑聲。] 現在我就寫下這個字：

證明。

而我也正要給出證明。你叫什麼名字？

學生：雪莉兒。
藍：所以雪莉兒問為什麼。 [大笑聲。]塞爾日也問為什麼。[笑聲。]而我則正打算證明為什麼。 於是我將會使用什麼方法呢？我將再度使用逼近法。 關於面積我們確定的唯一事情是長方形和三角形的面積。 那也就是我們即將要憑藉的。因此我注視我的半徑 r 的圓，並且用三角形來逼近它。首先，讓我們使用四個三角形，像這樣。



大家看這四個二角形。它是一個頗為粗陋的逼近。 它並沒有特別的好。於是我可以使用更多的三角形來逼近這半徑 r 的圓， 例如用六個三角形。



我可以取七個、八個甚至更多三角形的逼近，它們的逼近程度會愈來愈好：



你們以前見過正多邊形吧?有嗎?很好。因此我用多邊形逼近圓。 我使用的第一個多邊形是正方形，它有四個邊。 如果正多邊形有六個邊，你們知道它叫什麼嗎？ 你們知道它被稱作什麼，一個六邊的正多邊形？

學生：正六邊形。
藍：對的，是正六邊形。我只是核對一下你們所知道的東西。 所以這兒是四個三角形，其次是六個三角形，七個三角形， 而且當然我還可以取得更多。 一旦我取得的多邊形邊數愈來愈多， 我就會得到圓的愈來愈好逼近。對吧?[藍邊講解邊在黑板上畫了些圖。] 現在我畫了一個多邊形有 n 邊，n 是任意的。



你們知道 n 吧？

學生：它是任意數。
藍：是的。我不想只是處理特定的情形，我希望能夠對一般的情況加以考慮。 因此我將使用 n。它會困擾你們嗎？
學生：不會。
藍：很好，我們就用這個方法。我用正多邊形逼近圓。 還有， 在面積被三角形逼近的時候，圓的圓周也被多邊形的周長逼近。 在此我們考慮正方形並不頂好，我們用的是重複四次的某一三角形。 在下一個圖中，我們用的是重複六次的三角形。而在那邊， 三角形則重複了七次。對吧? 我給每一次的三角形一的名子。 例如，我稱呼第一個為T4，其中的數目 4 表示我有四個三角形。 我稱呼它的底為 b4，它的高為 h4。這三角形 T4，重複了四次。



其次我有三角形 T6 ， 它的底 b6，高 h6。 這三角形 T6 重複了六次。



在那邊我有三角形 T7 重複了七次。我有三角形 Tn， 它重複了 n 次。我將稱它的底為 bn，它的高 hn。



T4 的面積是多少 ? 三角形的面積是什麼 ？

雪莉兒： bn 的一半乘 hn 。
藍：你超前多了。讓我們為了大家進行慢一點。 T4 的面積是 $\frac{1}{2} b_4 h_4$。她給了一般的答案。 讓我們一步一步來。T4 的面積是多少?
學生：b6的一半乘h6。
藍：是的，那麼 T7 的面積又是多少呢？ 它是 $\frac{1}{2} b_7 T_7$。還有， 最後 Tn 的面積是多少?雪莉兒剛才給了我答案。
學生：hn 的一半乘 bn。
藍：完全正確。現在因為我需要一點黑板面， 我可以留下帶 n 的圖形而擦掉其他嗎？ 我挑選了帶 4、6 和 7 的圖形主要是為帶 n 的圖形鋪路。 對吧?現在這多邊形的面積是多少？
學生：Tn的面積乘n。
藍：完全正確。妳叫什麼名字？
學生：查理。
藍：查理說得對，多邊形的面積是 n乘上 Tn 的面積。 它就是了 $\frac{1}{2}b_n h_n$，而且我們還可以寫成公式


\begin{displaymath}A_n = n \frac{1}{2} b_n h_n = \frac{1}{2} n b_n h_n \end{displaymath}

那麼這第 n 個多邊形的周長又是多少呢？

雪莉兒： n 乘上 bn 。
藍：完全正確。我要把這公式寫在那邊你懂了吧?阿道夫，你懂了吧？
阿道夫：懂的。
藍：因為這第 n 個多邊形是 $A_n = \frac{1}{2} n b_n h_n$，我可以把這寫成


\begin{displaymath}A_n = \frac{1}{2} L_n h_n \end{displaymath}

其中 Ln 是這第 n 個多邊形的周長。

假定我把 n 變得很大。如此我把多邊形的邊數增加， 並且得到圓的一個更好逼近。



過了一會兒，我就不能再繪了。當 n 變得很大， 這右邊的數量 $\frac{1}{2}L_n h_n$ 將會趨近什麼？ 而周長 Ln 又趨近什麼呢?查理。

查理:圓的圓周。
藍：是的。那麼這個高 hn，將會趨近什麼呢？
學生：半徑。
藍：很好。你叫什麼名字？
學生：喬。
藍：喬說得好當 n 變得很大時，hn 趨近圓的半徑。 大家都表現得很好──查理，喬，雪莉兒，塞爾日……[笑聲。]，娜雪兒……。 我很難第一次就記住所有的名字。 現在 hn 趨近半徑 [藍寫在黑板上，並且耗光了粉筆。]
學生：抽屜裡還有粉筆。[笑聲。]
藍：好的。於是在這等式


\begin{displaymath}A_n = \frac{1}{2} L_n h_n \end{displaymath}

的右邊，Ln 趨近於圓周 c，而且 hn 趨近於半徑。 而在等式的左邊，多邊形的面積 An 趨近什麼呢？ 讓我們挑一位新面孔來回答。[藍指向另一位學生。]

該生： π [藍揚起他的眉毛。]不……。
藍： 我這兒的圓半徑是 r 。我們已經決定了半徑 r 的圓面積吧？
該生： $\pi r^2$ 。
藍：很好。因此左邊趨近 $\pi r^2$，而右邊趨近 $\frac{1}{2} cr$ 。 所以我得到

\begin{displaymath}\pi r^2 = \frac{1}{2} c r \end{displaymath}

現在利用代數，你要怎麼做? 查理。
查理:你把 r 消去。
藍：對的，我可以把每邊的 r 消去， 左邊的 r 和右邊的 r ，如此你可以得到

\begin{displaymath}\pi r = \frac{1}{2} c \end{displaymath}

其次你怎麼做？

查理:乘以2。
藍：是的，你乘以2，然後你得到什麼？
查理: $2 \pi r$ 等於 c 。
藍：是的， $ 2 \pi r = c$，而這就是你剛才想要證明的公式。 [烘堂大笑。]你看到了吧? 我們從半徑 r 的圓盤面積 $\pi r^2$ 開始。 然後我們使用了一個逼近，經由計算多邊形的周長和面積的方式。 按著我們讓 n 趨近無限大並且得到圓的圓周長和圓內部面積的逼近。 右邊逼近於 $\frac{1}{2} cr$;而左邊逼近於圓盤面積 $\pi r^2$。 這我們前面已經加以證明了。於是你使用一點代數， 你消去一個 r 並且乘上 2，你即可得到公式

\begin{displaymath}2 \pi r = c \end{displaymath}

這就是你的公式。你同意這是一個證明嗎?[藍指向娜雪兒。]

娜雪兒：是的。[她的聲調並不肯定。]
藍：是嗎？
娜雪兒：是的。[淺笑聲。]
藍：你的「是的」是什麼意思？ 那是表示被恐嚇的「是的」還是表示信心的「是的」？ 或是兩者都有一點？
娜雪兒：兩者都有一點。[笑聲。]
藍：好的，那麼被恐嚇的成分在那兒呢？
娜雪兒;我不知道。
藍：妳不知道?[笑聲。] 很好，讓我們把它變成全部都是信心。 看著，我剛才是從那裡開始的? 大家同意我說 $\pi r^2$ 是半徑 r 的圓面積。 在那之後我做了些什麼? 嘿？
娜雪兒：你畫了一個圓。[笑聲。]
藍：是的，我畫了一個圓。然後我又做了什麼？
娜雪兒;你把它分成幾個三角形。
藍：對的，我把圓的內部分成幾個三角形。我在圓內部畫了一個正多邊形， 再將它分成幾個三角形。
娜雪兒：嗯。
藍：然後，我使用邏輯，我的意思是說你們同意我用三角形的面積。於是，我取了 n 邊的正多邊形，先是 n=4,5,6,7,8,9,10, $\cdot$ 然後是一般地，我取一般的 n 邊正多邊形。不會困擾你吧？
娜雪兒：不會。
藍：一點兒也不?。 然後我給出了三角形的高和底的稱呼。 我把底叫 bn，把高叫 hn，那不曾困擾你吧？
娜雪兒：不會。
藍：那是被恐嚇還是出自信心呢？
娜雪兒：那是信心。
藍：到目前為止沒有被恐嚇吧？
娜雪兒：到目前為止還好。
藍：到目前為止還好?[笑聲。]那麼現在每一個三角形的面積是多少？
娜雪兒：底的一半乘高。
藍：底的一半乘高，這可是你自己說的。因此那不是被恐嚇的。
娜雪兒：不是，那是信心。
藍：我很高興那是信心。[笑聲。]好的，那麼多邊形的面積是什麼？ 裡面到底有多少個三角形?[藍畫了一個新圖形。]



娜雪兒：[她開始計算。]一，二，三，……，七──我的意思是 n
藍： n 個三角形，對的。還有，如果我已知每個三角形的面積， 那麼這多邊形的總面積是多少？
娜雪兒：n 乘上每個三角形的面積。
藍：因此多邊形的面積是 n 乘上 $\frac{1}{2}b_n h_n$。 到目前為止都還好吧？

娜雪兒：是的。
藍：信心？
娜雪兒：嗯[微笑]。
藍：很好。那麼，我的下一步是什麼??你看到這多邊形了吧?它有幾個邊呢？
娜雪兒：七個──喔，對不起，我是說 n 個。
藍：完全正確，你從特別的數目7開始，但接著妳的心靈一般地處理它， 說出 n，這表示你了解了個中奧妙。你最後說它有 n 個邊。
娜雪兒：是的。
藍：每邊長度是 bn。那麼這多邊形的周長是多少？
娜雪兒： n 乘 bn。
藍：正是，你看到這裡的 n 乘 bn了吧？
娜雪兒：是的。
藍：於是我得到 n bn，那也就是 Ln， n 邊多邊形的周長。這 n 邊多邊形(內部)的面積是


\begin{displaymath}A_n = \frac{1}{2} L_n b_n \end{displaymath}

這是出自信心還是被恐嚇的呢？

娜雪兒：是信心。
藍：很好。現在假定你讓 n 變得一大再大而得到圓的一個一好更好的逼近。 如此，這些數量會趨近什麼呢 ? $\frac{1}{2}$ 趨近 $\frac{1}{2}$。 多長邊的周長趨近什麼呢？
娜雪兒：圓的圓周。
藍[對全班說]：那是她說的，圓的圓周。[對娜雪兒說：] 這是出自信心還是被恐嚇的呢？
娜雪兒：信心。
藍：那麼 hn 趨近什陵呢？
娜雪兒：半徑。
藍：的確如此。因此這三樣東西的乘積趨近於 π 乘圓周乘半徑。 你看到了吧?到目前為只有沒有問題？
娜雪兒;沒有。
藍：這是出自信心還是被恐嚇的呢？
娜雪兒：信心。[微笑。]
藍：好極了。現在看左式的 n 邊多邊形面積 An，它趨近什麼？
娜雪兒：圓的面積。
藍：是什麼樣子？
娜雪兒： $\pi r^2$。
藍：很好，於是我得到 $\pi r^2$ 等於 $\frac{1}{2} cr$。
娜雪兒：到目前為止還好!
藍：到目前為止還好。現在我有


\begin{displaymath}\pi r^2 = \frac{1}{2} c r \end{displaymath}

你應該有一股不可抗拒的衝動想要對它做些什麼。 [笑聲。]你的不可抗拒衝動是什麼呢？

娜雪兒：把它變成 $ 2 \pi r = c$。
藍：對的，那麼它是怎麼變成的呢？
娜雪兒：你消去 r，然後這邊乘以 2，那邊也乘以 2，於是就得到 $ 2 \pi r = c$。
藍：那正是我剛剛想證明的公式！
娜雪兒：你證明過了。[笑聲。]
藍：我是證明過了。那麼被恐嚇（相信）的部份究竟在那裡呢？
娜雪兒：它已經消失了。[肯定的語氣]
藍：已經消失了！？啊…… [笑聲。] 因此我們贏了，數學贏了！對吧？？
娜雪兒：對的。 [塞爾日舉起他的手。]
藍：咦？
塞爾日：那只是逼近而已。
藍：不，在第 n 邊的多邊形上的確只是逼近，但是如果我取極限， 那麼這些數量所逼近的，就不只是逼近而已。
塞爾日：不過，問題還是存在，我的意思是它將永遠到達不了圓。 如果你把圓分割到一定數目……即使是無限多……。
藍：我並沒有分割到無限多。我使用了「趨近」這個字。 你們准許我說多邊形（內部）的面積趨近於圓盤的面積吧？
塞爾日：是的，但它從未完全到達，它並不是恰恰好。
藍：什麼東西不是恰恰好?[藍和塞爾日同時出聲。] 我要在黑板上寫一點東西。我有圓的面積，我知道它是 $\pi r^2$。 我有 n 邊多邊形的面積 An。面積 A 趨近於圓的面積。 我不曾說它們恰恰相等;我只說過前者趨近後者。
塞爾日：既然它從不完全到達，你怎麼可以說……。
藍：我不懂那個句子。你說的「從不完全到達」究竟是什麼意思？ [藍和塞爾日同時在交談。]
塞爾日：多邊形的面積從不完全變成跟圓的面積一樣。
藍：完全正確，它的確不會。
塞爾日：那好，按著你怎麼可以說你的公式是正確的呢？
藍：啊，n 邊多邊形的面積趨近圓的面積。 n 邊多邊形的面積 $\frac{1}{2}L_n h_n$。 $\frac{1}{2}L_n h_n$ 會趨近什麼呢？
塞爾日：嗯，這，呀……。
藍：趨近什麼數呢？
塞爾日：$\frac{1}{2} cr$。
藍：完全正確。在一方面，n 邊多邊形的面積趨近 $\pi r^2$； 而在另一方面，這個等於那個多邊形面積的 $\frac{1}{2}L_n h_n$， 則趨近於 $\frac{1}{2} cr$ 。如果我有一個表示式，它趨近了兩個數， 那麼這兩個數就必須相等。
塞爾日：喔，我懂你的意思。
藍：當我寫下


\begin{displaymath}A_n = \frac{1}{2} L_n h_n \end{displaymath}

時，我就有了一個等號。這個等號並不是近似的。 這就是一個如假包換的等式。喔?還有，在一方面， An 這個數趨近 $\pi r^2$ ； 而在另一方面這同樣的數 $\frac{1}{2}L_n h_n$趨近 $\frac{1}{2} cr$。 因此，這同樣的數趨近兩種可能，於是，這兩種可能必須相等。

塞爾日：啊，是的。
藍：你懂了吧？那回答你的問題了嗎？
塞爾日：是的。
藍：其他人有類似問題嗎？你了解這個論證嗎？[藍指向一位學生。]
該生：是的。
藍：你叫什麼名字。
該生：麥克。
藍：你願重複這個論證嗎？麥克！[笑聲]
麥克：好的。你畫了一個圓，而且[笑聲。]而且你分割它， 然後，還有半徑是 r。按著你分割了 n 次。這裡 n 是任意數目。 於是，有了那些小的……當你分割它時，你得到很多小三角形， 還有三角形的面積是半底乘高。
藍：是的。
麥克：那三角形的底是 bn，高是 hn ， 因此其面積是 $\frac{1}{2}b_n h_n$。
藍：對的。
麥克：然後你把它乘上 n，這 n 是你得到的數。[笑聲。] 再然後 n 乘 bn 是長度。也就是 Ln 。 然後 $\frac{1}{2}L_n h_n$ 是 $\frac{1}{2} c$ 乘 r …。
藍：是趨近，不是「是」
麥克：喔，是趨近。$\frac{1}{2} c$ 乘 r。還有這，是的， $\pi r^2$ 等於 $\frac{1}{2} cr$。你從兩邊消去一個 r：然後你兩邊乘上2，所以 $2 \pi r$ 等於 c。
藍：好極了！你真得是懂了！[轉向全班：] 你們都懂麥克的步驟吧？ 他能夠重述整個證明，同時地重述了全部系列的構想。棒極了！真棒！

 
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評論

這堂課的反應十分令人滿意。課後一位女老師告訴我說， 當我一開始「出自信心──被恐嚇」系列對話時， 她曾經擔心娜雪兒承受不了那種壓力。娜雪兒不但承受了 （我甚至不知道它是一種壓力）， 而且逐步地獲得信心;還有， 她回答的音調也從不確定變成十足肯定。 遺憾地，這種音調無法複製在這本書的紙頁上。

我本來並沒有打算要跟任何學生做這樣的一系列對話。 對我來說，我必須迅速判斷這位學生到底會覺得這種對話壓力太大， 或剛好相反，正是由於它而達到一種新的理解層次。

最後麥克的表演極為成功：他能夠複製整個證明。我對中、 小學課程和教學的反對意見之一。 是過分重視技巧，前後不夠連貫，並且缺乏對有關問題的全面照顧。 我挑選的題材具有一定的全面性，而且眼看學生的智慧原動力激發了， 例如當麥克在複製這個證明時，臉部神情所反應的，就是十分令人著迷的事。 他必須完全用口述，把很多句子放在一起，並且解決了一連串的組織問題， 還有，用字的挑選，構想的系列等等，不僅滿足了他自己， 而且也帶給全班，以及我，很多的樂趣。

在一個更技術性的層面上， 證明的第一部份所討論的逼近(關於面積在伸縮下的變化)， 應該更推進一點，可惜我時間不夠， 因為我想完整地處理證明的第二部份。 要是我手頭上還有另一個鐘頭可用， 我將會按下述方式闡釋何以面積會如此變化。 考慮一個包括垂直線和水平線的格子（網）



要逼近地決定圓盤的面積， 我們可以計算落在圓內部的所有正方形，度量它們的邊長， 加上它們的面積，然後得到所要的逼近。 不過，我還想估計這個逼近有多好。 包含在圓盤內的所有小正方形面積和與圓盤本身的面積之差， 是由接觸到圓盤邊界，也就是圓， 的所有小部份正方形面積和所決定。 我們有很強的直覺認為只要格子夠細， 那麼這樣的小面積的和就會相當的小。 到底有多「小」，我們可以給一項估計。 假定我們造一個格子網使得它的正方形邊長為 a。 如此這正方形對角線長即是 $a \sqrt{2}$。 假如一個正方形跟圖相交， 那麼這正方形上的點頂多距離圓有 $a \sqrt{2}$　遠。 請看圖 (a) 。這是因為這



正方形的任何兩點距離都是頂多 $a \sqrt{2}$的緣故。 讓我們畫一條帶子，它距離約兩側都是 $a \sqrt{2}$， 像圖 a 所示。如此則所有與圓相交的正方形都會落在那條帶子之內。 這條帶子的面積頂多等於

\begin{displaymath}2a \sqrt{2} \mbox{{\fontfamily{cwM3}\fontseries{m}\selectfont... ...us0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 197}} \end{displaymath}

這看來十分合理。於是，如果我們把 a 取得很小， 也就是，如果我們把格子造得很細，那麼這條帶子的面積也就跟著變小， 也就是頂多 $2a \sqrt{2}L$ ，其中 L 是圓的圓周。

因此，我們已經估計好了這個使用格子網中與圓相交的正方形面積和去逼近圓 （盤）面積的誤差。 當這格子的大小趨近 0 時，這個誤也趨近於 0。 於是，當這格子大小趨近 0 時，

格子網中完全落在圓內的正方形面積和，就會趨近於圓盤的面積。

類似的論證可以應用到任何曲線形上。

最後，在稍後的談話中， 你們會找到從圓盤面積 $A = \pi r^2$ 導出圓的周長 $c=2 \pi r$ 的另一種方法，它將較目前給出的方法簡易， 而且若將它加以延拓，則可找到球的（表）面積。

[本文譯自 S．Lang , 《MATH! Encounter with High school Students》 第一章 "What is pi ?"。該書由 Springer-Vellag 於 1985年出版。]

   

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編輯：康明軒 ／ 繪圖：張琇惠 最後修改日期：4/26/2002