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．原載於數學傳播第九卷第三期
．作者當時任教於成功大學應用數學研究所所長
 

漫談布朗運動

李育嘉

 
 


一、布朗運動簡史

西元1827年，英國植物學家勞伯•布朗 (Robert Brown) 利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中的花粉粒時，發現這些花粉粒會做連續快速而不規則的隨機移動， 這種移動稱為布朗運動 (Brownian motion)。 接著生物學家發現懸浮於液體或空氣中直徑小於 0.04 公分的粒子都會產生布朗運動。 譬如，當陽光射進暗室時，我們很容易從光束中觀察到灰塵粒子在空氣中產生布朗運動的現象。

事實上布朗並非第一個發現布朗運動者。 布朗在提到1819年 Bywater 發表的一篇文章時曾說：「不但是有機物質， 無機物質也包含他（指 Bywater）所謂活潑的或激應性的粒子」。 由此我們還察覺到，十九世紀初生物學家還以為布朗運動的發生是由於粒子本身是「活的」的緣故。直到1917年這種粒子的「生機說」才被 D'Arcy Thompson 所推翻。Thompson 認為布朗運動之所以會發生是因為粒子與液體或氣體分子連續互相碰撞的結果。

自1860年以來，許多科學家都在研究此種現象。經由謹慎的實驗及討論， 科學家發現布朗運動有下列主要特性：

一、
粒子的運動由平移及及轉移所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。
二、
粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
三、
粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。
四、
粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
五、
粒子的運動永不停止。

其中，關於第一點，數學上的確存在處處連續而處處不可微分的函數。例如 $f(x) = \sum^{\infty}_{n=1} 2^{-n}\cos(2^nt)$（Weierstrass 函數）便是。 事實上，從布朗運動的數學定義（見第三節定義一），我們可證明幾乎每一布朗運動的軌跡皆處處不可微分（因此也就沒有切線）。第二點曾被布朗所提及。第五點則是由觀察一個樣本二十年及觀察一個千年石英礦中之液體所得到的結論。

二十世紀初，愛因斯坦 (Einstein) 及史莫盧可夫斯基 (Smoluchovski) 發現不管粒子的運動有多麼不規則，布朗運動仍可以用機率律來分析，其研究說明了粒子在一段時間內之位移是根據常態分配的。愛因斯坦的工作可說是布朗運動的動力論的先驅。 今將其結果（發表於1906年）概述於下：

令 $\rho=\rho(x,t)$ 是一個布朗運動粒子在時間 t 及位置 x 時之機率密度 ( $x\in\mathbf{R}^3$)。 然後在某些機率假設下，愛因斯坦導出

\begin{displaymath} \frac{\partial \rho}{\partial t}=D\triangle\rho, \end{displaymath}

這裡 D 表一正常數，稱之為擴散係數 (Diffusion coefficient)。假若粒子在 t=0 之位置為 x=0，則

\begin{displaymath} \rho(x,t)=\left(\frac1{\sqrt{4\pi Dt}}\right)^3e^{-\frac{\vert x\vert^2}{4Dt}} \end{displaymath}

1923年，諾伯特•衛納 (Norbert Wiener) 首先把布朗運動當作一種隨機過程 (Stochastic Process) 來研究。 因此，布朗運動也叫做衛納過程 (Wiener Process)。 接著衛納之後有 Bachelier 的啟發性的工作。不久，Paul Levy 及後來的研究者將布朗運動發展成目前的巨構，如今布朗運動在理論上與應用上已與帕松過程 (Poisson process) 構成了兩種最基本的隨機過程。 在本文之中我們將首先探討隨機漫步 (Random walk) 之基本性質，然後利用一組隨機漫步的極限來導出布朗運動的數學模式。讀者若對本文中之名詞有不明之處請參見參考資料 [6]

 
對外搜尋關鍵字：
．愛因斯坦
．Wiener
．隨機過程
．帕松過程
．隨機漫步
．中央極限定理

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編輯：黃怡碧 最後修改日期：6/21/2002