康明昌

一、前言 二、Lagrange 預解式 三、方程式 xn-1=0 的根式解 四、Galois 預解形與 Galois 群 五、Galois 理論 六、Galois 的生平 七、Galois 理論的影響 八、Sturm 法則 九、多元高次聯立方程式 十、中國數學家的貢獻

一、前言

代數方程式是高中數學教育最基本的一環。事實上，不管時代如何的前進、數學如何的抽象化，方程式的研究一直是數學研究的核心部份。直到今日，多元高次方程式的研究（代數幾何）、Diophantus 方程式的研究（代數數論）、微分方程式的研究，仍然是最生氣蓬勃的數學分枝。

遠在北宋仁宗時代（約1050年），中國數學家賈憲已經知道如何把一個正數開 n 次方根，也就是求方程式 xⁿ-a=0 的近似根；這個方法，中國數學家稱之為「增乘開方術」。南宋末年秦九韶（1247年）推廣賈憲的方法，得到任意方程式近似根的求法。1804年意大利數學家 P. Ruffini 得到同樣的結果。這個方法在1819年被英國一個中學教師 W.G. Horner重新發現，這就是俗稱的 Horner 方法。

更一般的，我們把數字方程式 推廣成文字方程式 ，其中 a₁,a₂,…,a_n 是沒有任何關係的文字；這種方程式叫做 n 次一般方程式 (the general equation of degree n)。請注意，x⁴+ax²+b=0 不是四次一般方程式，因為 x 項的係為零。如果我們能夠解一般方程式的根，那麼數字方程式的求根問題當然迎刃而解。

根據 O. Neugebauer 的說法，巴比倫人在 1600∼1800 B.C. 已經知道求二次方程式的根。七世紀的印度學者 Brahmagupta（約598∼？）寫出方程式 x²+ax=b 的一個根的公式 。十二世紀的印度學者 Bhaskara（1114∼1185年？）更詳盡的討論一次和二次方程式。九世紀的阿拉伯數學家 Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi（780∼850年）在他的書中第一次提出二次方程式的一般解法 ¹ 。

文藝復興時代意大利數學家發現三次與四次一般方程式的根的公式（約1545年）。方程式 x³+qx-r=0 的根的公式是 ²

高中代數的 Cardano 公式告訴我們，任意三次方程式都有根式解，Ferrari 告訴我們，任意四次方程式都有根式解 ³ 。 因此，數學家面對一個最具挑戰性的問題：是不是任意方程式都有根式解？ 或者，一個更簡單的問題：是不是任意方程式至少都有一個根？

1746年法國數學家 Jean Le Rond D'Alembert「代數基本定理」： 任意 n 次複數方程式恰有 n 個複數根。D'Alembert 的證明其實是錯的，雖然這個定理的敘述是正確的。第一個正確的證明是偉大的 Karl Friedrich Gauss 在二十歲（1797年）提出的。此後 Gauss 又提出另外三種證明。

「代數基本定理」出現之後，根的存在性問題完全解決。接著最自然的問題是，用什麼方式才能把這些根求出來？能不能只用係數的加、減、乘、除、開方根就把這些根表示出來（即「根式解」）？很明顯的，方程式 x⁵+x⁴+x³+x²+x+1=0 與 x⁵+2=0 都有根式解 ⁴ 。但是，一般五次方程式是不是有根式解？

十六世紀以來，有許多數學家研究五次一般方程式的根式解問題。在沒有解決這個問題之下，他們轉而探討一些更根本性的問題，例如：

• 根的存在性問題（即「代數基本定理」）。
• 根與係數的關係，根的個數，檢驗重根的方法，檢驗兩個方程式有公解的方法。
• 求數字方程式的近似根。
• 給定某個實係數方程式，並給定一個範圍（例如 0 到 100），估計在此範圍內實數根的數目。
• 因式分解是解數字方程式的第一步。研究因式分解是極為重要的。 第一個問題：對於有理數係數的單變數多項式，如何有效的進行因式分解？ 第二個問題，多變數多項式能否進行因式分解？ 第三個問題，因式分解是否有唯一性？

法國數學家 Joseph Louis Lagrange 在1770∼1771年綜合前人解方程式的各種方法，歸納出一個一般性的模式。Lagrange 的洞察力在研究方程式根式解的領域打開一條新的道路。沿著 Lagrange 指示的方向，Paolo Ruffini（1765∼1822年）、Niels Henrick Abel（1802∼1829年）、Évariste Galois（1811∼1832年）終於解決了方程式根式解的問題。Alexandre Theophile Vandermond 在1770年提出和 Lagrange 同樣的觀察，可惜他的結果沒有被當時的人注意。因此，所謂「預解式」的成果就由 Lagrange 所獨享，後世也稱為「Lagrange 預解式」。

從1799年開始，意大利數學家 Ruffini 就提出幾種方法，證明一般五次方程式不可能有根式解。Ruffini 的證明雖有不少創見，卻有許多漏洞，當時的人並不接受他的證明。

1826年挪威數學家 Abel 證明：一般五次方程式沒有根式解。Abel 又說，五次以上的一般方程式的討論方法與五次類似。Abel 的證明有一個漏洞，經愛爾蘭數學家 William Rowan Hamilton（1805∼1865年）加以補充說明。因此可以說，Abel 完全解決了一般五次方程式沒有根式解的問題。

但是一般方程式沒有根式解，並不表示所有的數字方程式都沒有根式解。事實上，方程式 2x⁵+5=0 有根式解，但是 2x⁵-10x+5=0 沒有根式解。法國數學家 Galois 在1832年提出任意（數字或文字）方程式有根式解的充分必要條件。Galois 把方程式求解問題轉化成置換群 (permutation group) 的問題。他在繁複的計算中洞見方程式求解的本質。

Galois 的方法其實只是一個豐富深遂的理論的一個應用。這個理論就是我們習稱的 Galois 理論。Galois 在二十一歲死於決鬥。他在決鬥前夜寫一封給友人的信，再度的簡單解釋 Galois 理論的要點，因為當時許多成名的數學家，如 S.D. Poisson、S.F. Lacroix，都不能瞭解他的理論。Galois 說，更進一步探討這個理論足夠讓後代的數學家受益良多。所謂方程根式解的問題，可以看做 Galois 理論的一個習題。大多數人看到的冰山只是其浮出海面的一角，Galois 理論何嘗不是如此？

1858年法國數學家 Charles Hermite 證明五次一般方程式的根可以用其係數經過加、減、乘、除、開方和橢圓函數的組合，表示出來。1880年法國數學家 Henri Poincaré 發現 n 次一般方程式的根可以用其係數經過加、減、乘、除、開方和 Fuchs 函數的組合，表示出來。這其實是黎曼面理論的均勻化問題 (uniformization problem) 的應用。