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.原載於數學傳播第七卷第三期
.作者當時任教於交大數學系
 

談研究年齡結構之數學模型
Leslie's Model

許世壁

 
 

本文最主要的目的是介紹如何研究人口動力學 (Population Dynamics) 堛漱@些有關年齡結構 (Age Strucure) 之問題。舉個例來說明: 目前台灣人口中 0∼5 歲有 x1 人,6∼10 歲有 x2人,……,76∼80 歲有 x16 人。試問20年或100年後,這些人口的變化如何? 還有每一個年齡分類 (Age class) 在總人口上的比例會不會很穩定地趨向某一個固定值?如果是的話,多快?就社會學、經濟學而言,這是一個很實際而且值得研究的重要問題。 下面我們就要導出有關這個問題之數學模型──Leslie's Model。 它同時也可以應用到其他生物,如魚類及昆蟲等。

首先,假設從現有的統計數據,我們能選擇出一個適當的單位時間 T, 而後將人口分成 A 類。令向量 $\overrightarrow{V}_N$ 代表在第 N 期時(時間為 NT)人口堛漱k性年齡結構(在此我們假設男性,女性人口數目相等),簡而言之令

\begin{displaymath}
\overrightarrow{V}_N =
\left[
\begin{array}{c}
V_{1,N} \\
\vdots \\
V_{A,N}
\end{array}\right]
\end{displaymath}

在此,分量 Vk,Nk= 1,…,A 代表年齡介於 (k-1)TkT 中間之女性總人數。譬如說應用到實際人口時,我們通常取 T=5 年,而且將人口分成 16 類,即 A=16

V1,N = 在第 N 期時,介於 0∼5 歲之女性總人數。
V2,N = 在第 N 期時,介於 6∼10 歲之女性總人數。
$\vdots$
V16,N = 在第 N 期時,介於 76∼80 歲之女性總人數。

如果年齡超過80歲時,則我們不予討論。

下一步我們要做的工作是如何找出第 N+1 期的年齡結構向量 (Age structure vector) $\overrightarrow{V}_{N+1}$, 與在第 N 期之年齡結構向量 $\overrightarrow{V}_N$ 之關係。 假設下列的 bkmk,k=1,…,A 為已知,

\begin{eqnarray*}
b_k &=& \mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \cha...
...inus0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 170}}
\end{eqnarray*}


利用 bnmkVk,N 之定義,我們可以導出下列關係式:

\begin{eqnarray*}
(1) V_{k,N+1} &=& m_{k-1} V_{k-1,N} , \\
k &=& 2,3,\cdots, A \\
(2) V_{1,N+1} &=& b_1 V_{1,N} + \cdots + b_m V_{A,N}
\end{eqnarray*}


其中(2)式說明了從第 N 期到 N+1 期所出生之女孩總數。 所以,如果我們假設 $b_1,\cdots,b_A$$m_1,\cdots,m_A$ 這些非負之實數均可由人口之統計資料得到,則我們有下列式子

\begin{displaymath}
(3)
\begin{array}{ccl}
V_{1,N+1} &=& b_1 V_{1,N} + \cdots + ...
...N} \\
\vdots &&\\
V_{A,N+1} &=& m_{A-1} V_{A-1,N}
\end{array}\end{displaymath}

或者用矩陣之表示法,(3)式可改寫為

\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
(4)& \quad \overrightarrow{V}_{N+1} = M \ove...
...
\end{array}\right] (\mbox{Reproduction Matrix})
\end{eqalign}\end{displaymath}

如果,我們假設現在的年齡結構向量 $\overrightarrow{V}_0$。 為已知,則由(4)式,我們得到:

\begin{displaymath}
(6) \quad \overrightarrow{V}_N = M^N \overrightarrow{V}_0
\end{displaymath}

所以,我們將年齡結構的問題變成一個線性代數的問題:

N 很大時,向量 $M^N \overrightarrow{V}_0$ 如何變化?

為了解決這個問題,必須利用線性代數中有關固有值 (eigenvalue) 及固有向量 (eigenvector) 之觀念及其重要定理 Primary decomposition Theorem(參考[1])。 首先我們考慮 A x A 矩陣 M 之固有值 λ。 從固有值之定義,λ 為 M 之特徵多項式 (characteristic polynomial) $f(\lambda) = \mbox{det} (M-\lambda I) =0$ 之根。 通常特徵多項式很難算,但在這堹x陣 M 有其特殊形式 (5), 所以利用降階展開行列式 det ($M-\lambda I$),得到

\begin{eqnarray*}
(7) \quad f(\lambda) &=& \lambda^A - b_1\lambda^{A-1} - b_2 m_1 \lambda^{A-2} - \cdots - (b_A m_1 \cdots m_{A-1}) \\
&=& 0
\end{eqnarray*}


因為 f(0) < 0 而且當 $\lambda >0$ 夠大時 $f(\lambda) > 0$,所以 $f(\lambda)=0$ 必有一正實根。 事實上,因為矩陣 M 堣妨Y數皆大於或等於零,根據有名的 Frobenius定理(參考[2])我們得知存在一固有值 $\lambda_0 > 0$, 而且其他 A-1 個固有值 λ,滿足 $\vert\lambda\vert \leq \lambda_0$。 現在,我們假設矩陣 M 滿足下列性質:

(H) 存在一固有值 $\lambda_0 > 0$ 而且其他 A-1 個固有值 λ,滿足 $\vert\lambda\vert < \lambda_0$

在假設(H)下,我們可以用數值分析之方法 Power Method 實際地算出 $\lambda_0$(參考[3])。有了 $\lambda_0$,因為 $\lambda_0$ 滿足(7)式,我們可以檢查一下下列 $\overrightarrow{\psi}_0$ 為一對應於 λ 之固有向量;

\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
\overrightarrow{\psi}_0 =
\left[
\begin{arra...
...rrow{\psi}_0 &= \lambda_0 \overrightarrow{\psi}_0
\end{eqalign}\end{displaymath}

E0 為由向量 $\overrightarrow{\psi}_0$ 所產生之一維子空間, $E_0 \subset \mathbf{R}^A$。 由線性代數的 Primary decomposition Theorem,我們可將 RA寫成 RA $= E_0 \oplus E_1$,其中 E1 是以對於固有值 $\lambda \neq \lambda_0$ 之固有向量 (eigenvectors) 或廣義固有向量 (generalized eigenvectors) 為其基底 (basis) 所組成的 A-1 維子空間。 為了討論方便起見,我們就假設矩陣 M 之固有值為 $\lambda_0$$\lambda_1$,…,$\lambda_{A-1}$, $\lambda_i \neq \lambda_j$$i \neq j$ 而且令 $\overrightarrow{u}_i$ 為對應於 $\lambda_i$ 之固有向量。 所以任何 $\overrightarrow{x}$ $\in$ ${\bf R^A}$,可唯一表為

\begin{displaymath}
\overrightarrow{x} = c_0 \overrightarrow{\psi}_0
+ c_1 \overrightarrow{u}_1
+ \cdots + c_{A-1} \overrightarrow{u}_{A-1}
\end{displaymath}

現令 PE0 上之投影算子 (Projection operator on E0),即

\begin{displaymath}
P(\overrightarrow{x}) = c_0\overrightarrow{\psi}_0
\end{displaymath}

$I(\overrightarrow{x}) = \overrightarrow{x}, \quad Q= I-P $
$Q(\overrightarrow{x}) = c_1 \overrightarrow{u}_1 + \cdots + c_{A-1} \overrightarrow{u}_{A-1} $

所以如果將 $\overrightarrow{V_0}$ 表為

\begin{displaymath}
\overrightarrow{V}_0 = c_0 \overrightarrow{\psi}_0 + c_1 \overrightarrow{u}_1
+ \cdots + c_{A-1} \overrightarrow{u}_{A-1}
\end{displaymath}


\begin{eqnarray*}
M^N \overrightarrow{V}_0 &=& I M^NI\overrightarrow{V}_0 \\
&=...
...\\
&& {}+ QM^NP\overrightarrow{V}_0 + QM^NQ\overrightarrow{V}_0
\end{eqnarray*}


從固有值,固有向量及 P,Q 之性質,可得

\begin{eqnarray*}
PM^NP\overrightarrow{V}_0 &=& PM^N(c_0\overrightarrow{\psi}_0)...
...{u}_1 +\cdots + c_{A-1} \lambda^N_{A-1} \overrightarrow{u}_{A-1}
\end{eqnarray*}


所以,

\begin{eqnarray*}
M^n \overrightarrow{V}_0 &=& c_0 \lambda^N_0 \overrightarrow{\...
...{A-1} \frac{\lambda_{A-1}}{\lambda_0}^N \overrightarrow{u}_{A-1}
\end{eqnarray*}


因為我們假設 $\vert\lambda_i\vert < \lambda_0$i=1,…,A-1, 所以當 N 很大時

\begin{displaymath}
(8) \quad M^N \overrightarrow{V}_0 \approx \lambda^N_0 c_0 \overrightarrow{\psi}_0
\end{displaymath}

從(8)式,我們得到兩個結論
(I) 年齡結構 (Age distribution) 是以 $\lambda_0$ 之速率成長
(II)每個年齡分類 (Age class) 對總人口之比例是穩定地趨向一固定值

因為由(8)式

\begin{eqnarray*}
\lefteqn{ \frac{\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectf...
...^A_{j=1}\psi_{0,j}}
= \frac{\psi_{0,k}}{\sum^A_{j=1}\psi_{0,j}}
\end{eqnarray*}


[1] Smale & Hirsch :《Differential Equations,Dynamical System and Linear algebra》,Academic Press 1974.
[2] S, Karlin & H. M. Taylor :《A first course in Stochastic Process》,Academic Press 1975.
[3] K. Atkinson: 《An introduction to Numerical Analysis》,1978. John Wiley son.
[4] F.C. Hoppensteadt: 《Mathematical method of Population Biology》.Courant Institute Lecture Note 1976.

 
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編輯:康明軒 最後修改日期:4/26/2002