質數

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．原載於數學傳播第四卷第四期
．作者當時任教於英國劍橋大學

質數

唐文標

(一)
(二)找質數
(三)質數方程式
(四)小結

(一)

所謂質數或稱素數，就是一個正整數，除了本身和 1 以外並沒有任何其他因子。例如 2，3，5，7 是質數，而 4，6，8，9 則不是，後者稱為合成數。從這個觀點可將整數分為兩種，一種叫質數，一種叫合成數。（有人認為數目字 1 不該稱為質數）著名的高斯「唯一分解定理」說，任何一個整數。可以寫成一串質數相乘的積。例如 $28=7\cdot 2^2$ ， $31=1 \cdot 31$ ， $84=2^2\cdot3\cdot7$ ， $10500=2^2\cdot3\cdot5^3\cdot7$ ， $100141=239 \cdot 419$ ， $100149=3\cdot 7\cdot 19 \cdot 251$ ，這就是說，任何數都由質數構成的。

我們研究質數一方面是為了簡單，我們可以找到數字的原子。

當然另一方面也由於質數本身的奇異性使人無法一把抓住它出現的規律，抓住它出現的特性甚至不知道它實際分佈的情形。簡單來說，給你一個正整數，你竟不可知道它是否是一個質數你說它狡猾不狡猾，即使你用盡了方法，證明它不可能是一個質數，但竟無法分解它，你說怎辦？舉例來說吧！ 2¹¹-1=2047 可以分解成 $23 \cdot 89$ 。2⁶⁷-1 呢？據說化費了美國代數學家 Frank Neloon Cole(1861-1927)三年多才發現的。自然那時「電腦時代」還未來臨，只能靠無限的耐心與毅力，再加上一副長於計算數目的訓練才弄得出來。但有了電腦又怎樣呢？

似乎好不了多少，數目字加大了，困難依舊。1931年 D.H. Lehmar 證明了 2²⁵⁷-1 是一個大合成數。大！不錯。它等於

$\begin{eqnarray*} && 231,584,178,474,632,390,847,141,970,017,375,815,706, \\ && 539,969,331,281,128,078,915,168,015,826,259,279,871 \end{eqnarray*}$

一個78位數字的大數，到目前仍未有人或電腦能分解它！

因此，雖然知道一個數目是否質數也許沒有多大用處，但仍是很有趣味，最少在找它的過程中會引起很多方法論的問題呢!

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編輯：朱安強

最後修改日期：4/26/2002