與平均有關的不等式

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．原載於數學傳播第四卷第三期

與平均有關的不等式

鈴木義一郎
翻譯：邱日威（師大數學系）

算術平均數與幾何平均數
平均偏差與標準偏差
一般化平均的單調性
變異數與共變差有關的不等式

在統計學上，原則上是，想求出與實際比較相近的結果。因此，不等式比等式更具有重要而有效的地位。下面我想介紹與平均有關的各種不等式。

算術平均數與幾何平均數

對於兩正數 a,b 我們考慮下列三種平均

$\begin{displaymath} \frac{a+b}{2}, \; \sqrt{ab}, \; \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \end{displaymath}$

這是我們熟悉的三種平均，分別叫作 a,b 的算術平均（或相加平均），幾何平均（或相乘平均），調和平均。我們知道這三個平均之間，滿足下列不等式：

$\begin{displaymath} \frac{a+b}{2} > \sqrt{ab} > \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \end{displaymath}$

前面的不等式，利用

$\begin{displaymath} \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} \end{displaymath}$

就可得到其證明。後面的一段不等式。利用前面結果，可以如下面而得到其證明。即

$\begin{displaymath} \sqrt{ab}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}}} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \end{displaymath}$

其次讓我來介紹一下，較高級一點的證明。幾何平均我們可以改寫成：

$\begin{displaymath} \sqrt{ab}=e^{\textstyle \frac{\log{b}+\log{a}}{2}} \end{displaymath}$

然後再查看下圖我們就可以知道其結果。

因為 $\phi(t)=\log{t}$ , $a \leq t \leq b$ 的曲線，在連結兩點 $(a,\log{a})$ , $(b,\log{b})$ 的線段上方（即曲線在這一區間為上凸）。普通，若 $\phi$ 為一任意狹義單調函數，則我們可以定義

$\begin{displaymath} \phi^{-1} (\frac{\phi(a)+\phi(b)}{2}) \end{displaymath}$

我們稱這個數為 a,b 的 $\phi$ －平均。顯然，這種平均值不能大於算術平均。特別 $\phi(t)=\log{t}$ 時，其 $\phi$ －平均就是幾何平均， $\phi(t)=\frac{1}{t}$ 時，其 $\phi$ －平均稱為調和平均。

這種結果，若有兩個以上的數時又如何呢？若 x₁, x₂, x₃,…,x_n 為 n 個正數，其算術平均，幾何平均，調和平均分別為

$\begin{displaymath} \frac{x_1+x_2+\cdots\cdots+x_n}{n}, \;\; \sqrt[n]{x_1x_2\cdo... ...;\; \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}} \end{displaymath}$

當 n=4 時，利用 n=2 的結果，我們可以證明如下：

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} = \frac{\frac{x_1+x_2}{2... ... \leq \sqrt{\sqrt{x_1x_2}\sqrt{x_3x_4}}=\sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4} \end{eqnarray*}$

但是，當 n=3 時就不能如此證明。

現在我們利用數學歸納法來證明看看。假如當 n=k 時，其算術平均數不少於幾何平均，又設

$\begin{displaymath} x_{k+1}=y^{k+1}, \;\; \sqrt[k+1]{x_1 x_2 \cdots x_n}=z^{k} \end{displaymath}$

則

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ x_1+x_2+ \cdots +x_k+x_{k+1} - (k+1)\sqrt[k+1]{x_1... ...ts \\ && {} + z(z^{k-1}-y^{k-1})+(z^k-y^k) \big] \\ &\geq& 0 \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{displaymath} \frac{x_1+x_2 + \cdots + x_{k+1}}{k+1} \geq \sqrt[k+1]{x_1 x_2 \cdots x_{k+1}} \end{displaymath}$

另外還有更巧妙的證法是，先設

$\begin{displaymath} f_n(a) = \max_{R(a)} \{x_1 x_2 \cdots x_n \} \end{displaymath}$

但此處的 R(a) 表示滿足

$\begin{displaymath} x_1 + x_2 + \cdots + x_n = a, \quad x_i \geq 0 \end{displaymath}$

的範圍。顯然 f_n 具有

$\begin{displaymath} f_n(a) = \max \cdot xf_{n-1}(a-x) \end{displaymath}$

的漸化性質。因此可得

$\begin{displaymath} f_n(a)=(\frac{a}{n})^n \end{displaymath}$

的性質。因此對於 n 個正數 x₁,x₂,…,x_n，設

$\begin{displaymath} x_1 + x_2 + \cdots + x_n = a \end{displaymath}$

則

$\begin{displaymath} x_1x_2 \cdots x_n \leq f_n(a) = (\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n})^n \end{displaymath}$

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編輯：朱安強

最後修改日期：4/26/2002