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.原載於數學傳播第三卷第四期
.作者當時任教於清大數學系
 

對數與約翰.納皮爾 (John Napier)

賴漢卿

 
 

對數這個名詞,對國中、高中的同學來說都不會陌生,因為他們要學常用對數。進到大學上微積分時,以 e 為底的指數與對數函數更具基本的重要性。我上課,每次說到這媮`要簡單提一提有關對數的故事,以引起學生的興趣。今年我上微積分課時,學生提議將這些故事寫出來好讓較多的學生分享此故事。寫與講稍有不同,蓋寫出來總得要有系統及根據、講則可以較不嚴格,然應學生的希望,乃花些工夫做個報導。

今天我們所用所講的對數為常用對數或自然對數,與最早 Napier 的對數稍有出入,唯其來源的精神及其性質可說來自 Napier,祇是形式不同而已。現在就來介紹 Napier 其人及其發明之對數法則。


John Napier, 1550∼1617

我們知道當一個人想計算大數之積與商時,都常利用對數方法,求其近似值。其起源可遠溯 Kepler(1571∼1630)研究天體運動學時他遇到許多非常大的數值計算,但他要求的是有效的近似值,因之乃尋求簡單的計算方法。當時在蘇格蘭恰好出了一本書

"Mirifici logarithmorum Canonis descriptio, seu ... , auctore ac inventore Joanne Nepero barone Merchistonii"
(驚動人的對數規則與記述,即……著者兼發明者 John Napier, Merchistonii)

這是1614年的事,傳說著者 Napier 在1550年出生於蘇格蘭的一小市鎮,Napier 原先是長老教會的修道士,他認為對人類最大的奉獻是傳授其教義之精神。這個非數學家的 Napier,為什麼著手研究發明對數呢?詳情不得而知,或許他常聽到有人為龐大的數值計算而感到苦惱,尤其是商、積之計算,因此引起了他推敲是否有簡單的計算方法。大概因之而發現他的對數法則吧!

Napier 首先所推考的是將大數的積或商的近似值計算,轉變成和或差的演算。於是由積與和的對應,注意到等比級數與等差級數的對應,但怎樣的等比級數對應怎樣的等差級數乃是個問題,這就是在 Napier 的創意中的關鍵。

Napier 最先考慮沿直線運動的兩點 P,QP 是在定長 AZ 之始點 A 到終點 Z 的運動。點 Q 則無限制地從直線 A'Z' 之始點 A' 點向 Z' 方向做運動,P,Q 以同速出發。點 Q 以等速運動,點 P 之速度由此點到 Z 的距離來決定,做減速運動。如點 PB 點時,QB',此時就稱

A'B'AB 的對數。



這就是「Napier 對數」的基本定義。僅就此定義,則尚無法出現「Napier 對數」的性質。為示明其性質,乃取 AZ 長為 rr 可以為很大的值。在點 AP 之速度為 rP,QA,A' 出發,經過時間 $\frac{1}{r}$ 時,P,Q 分別抵達 B,B'。當 r 非常大時,$\frac{1}{r}$ 等於瞬間的短時間。此時 PB 的距離等於 r x (1/r)=1QB' 的距離也等於 1。今 P 在點 B 的速度等於 BZ 的長,即

\begin{displaymath}BZ=r-1=r(1-\frac{1}{r})\end{displaymath}

故在時間 $\frac{1}{r}$ 內,點 P 到達 C,點 Q 到達 C',則

\begin{displaymath}BC= \frac{1}{r} \cdot r(1- \frac{1}{r})=1- \frac{1}{r}, \quad B'C'= \frac{1}{r}\cdot r=1\end{displaymath}

於是

\begin{displaymath}CZ=AZ-AB-BC=r(1-\frac{1}{r})^2 \end{displaymath}

又再經 $\frac{1}{r}$ 時間 QD' 點,則 C'D'=1,而點 PC 點的速度是 $r(1-\frac{1}{r})^2$,故 P$\frac{1}{r}$ 時間內的距離為 $CD = (\frac{1}{r}) \cdot r(1-\frac{1}{r})^2$ $= (1-\frac{1}{r})^2$,因此

\begin{displaymath}DZ=AZ-AB-BC-CD=r(1-\frac{1}{r})^3\end{displaymath}

循此下去,可知點 PA,B,C,D, $\cdots \cdots$ 各點的速度分別為
\begin{displaymath}
r, \; r(1-\frac{1}{r}), \; r(1-\frac{1}{r})^2, \; r(1-\frac{1}{r})^3, \; \cdots \cdots
\end{displaymath} (1)

其所對應的 Q 點位置 A',B',C',D', $\cdots \cdots$
\begin{displaymath}
0,\quad 1, \quad 2,\quad 3, \cdots \cdots
\end{displaymath} (2)

(注意(2)之數 n 與(1)中出現之 $(1-\frac{1}{r})^n$ 的次數 n 相同。) (2)式的每一個值,依定義是(1)式所對應之「Napier 對數」。

為瞭解「Napier 對數」的性質,茲用現代的數學形式來說明。設

\begin{displaymath}
x=r(1-\frac{1}{r})^y
\end{displaymath} (3)

y 就是「x 的 Napier 對數」,此 Napier 對數以

\begin{displaymath}
\mbox{Nap.} \log{x} = y
\end{displaymath}

表示,這並不是 Napier 所用的記號。

依自然對數的性質,由(3)可導出

\begin{displaymath}\log_e x = \log_e r +y \log_e { (1- \frac{1}{r}) } \end{displaymath}

於是

\begin{displaymath}y = \frac {\log_e{x}-log_e{r}}{ \log_e(1- \frac{1}{r})}
= \frac {r( \log_e{r}-log_e{x})} {-r \log_e {(1-\frac{1}{r})}}\end{displaymath}


\begin{displaymath}-r \log_e {(1-\frac{1}{r})} = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r} +
\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^2} + \cdots \cdots \end{displaymath}


\begin{displaymath}y = \frac{ r(\log_e{r}-\log_e{x}) } {1+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^2}+ \cdots \cdots}\end{displaymath}

若令 r 為極大的值,則上式之近似值成為

\begin{displaymath}y = r(\log_e{r}-log_e{x})\end{displaymath}

故得
\begin{displaymath}
\mbox{Nap.} \log x = r(\log_e{r} - \log_e{x}).
\end{displaymath} (4)

這樣一來
\begin{displaymath}
\mbox{Nap.} \log r = 0
\end{displaymath} (5)

這就是 Napier 對數的特性,易於看出「x 大於 r 時, $\mbox{Nap.} \log x$ 為負值,x 小於 r 時, $\mbox{Nap.} \log x$ 為正值」。

其次設

\begin{displaymath}
x = r(1- \frac{1}{r} )^y , \quad x'=r(1- \frac{1}{r} )^{y'}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}xx'=r^2(1- \frac{1}{r})^{y+y'}.\end{displaymath}

於是得

\begin{displaymath}
\frac{xx'}{r}=r(1-\frac{1}{r})^{y+y'} .
\end{displaymath}

依「Napier 對數」的定義

\begin{displaymath}
\mbox{Nap.} \log {\frac{xx'}{r}}=y+y'= \mbox{Nap.} \log x + \mbox{Nap.} \log x'. \eqno{(*)}
\end{displaymath}

由(4)得

\begin{eqnarray*}
\mbox{Nap.} . \log {\frac{xx'}{r}} & = & r(\log_e{r} -\log_e{...
...{(xx')})+r \log_e r \\
&=& \mbox{Nap.} \log(xx')+r \log_e r ,
\end{eqnarray*}


於是將 $\mbox{Nap.} \log(\frac{xx'}{r})$ 代入(*)得
\begin{displaymath}
\mbox{Nap.} \log{(xx')}=\mbox{Nap.} \log x + \mbox{Nap.} \log{x'}-r\log_e{r}.
\end{displaymath} (6)


\begin{displaymath}\frac{x}{x'}=(1-\frac{1}{r})^{y-y'}, \end{displaymath}


\begin{eqnarray*}
r \frac{x}{x'} &=& r(1-\frac{1}{r})^{y-y'}, \\
\mbox{Nap.} ...
...{x}{x'})} &=& y-y'= \mbox{Nap.} \log x - \mbox{Nap.} \log{x'}.
\end{eqnarray*}


依(6)所示之性質

\begin{displaymath}
\mbox{Nap.} \log{(r \frac{x}{x'})}
= \mbox{Nap.} \log r + \mbox{Nap.} \log{\frac{x}{x'}}-r\log_e r
\end{displaymath}

在(5)所示, $\mbox{Nap.} \log r$ 為 0,故

\begin{displaymath}
\mbox{Nap.} \log{(r \frac{x}{x'})} = \mbox{Nap.} \log{\frac{x}{x'}}-r\log_e r
\end{displaymath}

結果得
\begin{displaymath}
\mbox{Nap.} \log{\frac{x}{x'}}= \mbox{Nap.} \log x -\mbox{Nap.} \log{x'}+r\log_e r
\end{displaymath} (7)

從(6)與(7)所示的性質來看,「Napier 的對數」對於自然對數或常用對數之積、商的計算,本質上是具有同樣之性質。Napier 是以三角函數之計算為對象,因此取 r=1000000 時,決定 $\mbox{Nap.} \log{\sec{90^{ \circ }}}=0$。(參照(5)式)在那個時代既無 107 之記法,又欠小數之知識,所以才用那麼大的數吧!

Napier 死後出版有《De arte logistica》(計算技術的方法)。Napier 對於代數或幾何所寫的雜錄,不問其完成與否,據說有遺稿集,然因未目睹其中內容,故未能多言,但由「logistica 意指做好計算」來看,Napier 的數學所示之一面是以計算為主的學問。

參考資料:
Sugaki seminar special number, 1971年12月。

 
對外搜尋關鍵字:
對數
Napier
Kepler
 
編者按



三角學源起於天文。(見圖)起初大家有興趣的是求一大圓中角 2θ 所對的弦長 BC(記做 $\mbox{cd} 2 \theta = BC$),後來又演變成求相應於角 θ 的 BD(即 $\sin{\theta} = BD$)。$\sin$ 函數和 $\mbox{cd}$ 函數有密切的關係: $\sin{\theta}=\frac{1}{2} \mbox{cd} 2 \theta$。這就是「正弦」函數名稱的由來。最可注意的是那時 $\sin$ 函數的值是線段長而不是我們現在所知的比值。這樣的 $\sin$ 值當然和圓半徑的大小有關。最早的時候習慣取定半徑的長度為 60 個單位(若用 3 做圓周率,則圓周要有 360 個單位長,所以每一度所對的弧長為一個單位),而製造三角函數表。當然大家知道這樣的函數表是要相對於半徑長來看才會真正有用。(實際上這就是現代的三角函數的觀念。) 如果要得到較精確的函數值,則其小數部分不能隨便捨去;但那時候的歐洲人不懂得小數表示法,他們只會用分數,而且分數的符號及運算技巧都非常笨拙。為了避免計算上的困難只有將半徑的單位個數加大,使得相應函數值小數以下的部分可以略去。在 Napier 的時侯,通常三角函數表中的半徑長變成 107 那麼大,於是當他為了解決天文上計算的困難而做對數表時,他就取 r 長為 107。在這樣的 r 長之下, $\sin{90}^{\circ}=10^7$ 所以 $\mbox{Nap.} \log \sin 90^{\circ}=0$

Napier 的對數(其底數為 $1-\frac{1}{10^7}$)是由三角學的計算而起的,不好用到其他方面的計算。他及 Henry Briggs(1561∼1631)不久就發現以10為底的對數最方便最實用,所以 Napier 的對數只曇花一現,不久就被常用對數替代了。

   

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編輯:康明軒 / 校對:鄧惠文 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:4/26/2002