談談卜松過程 (Poisson Process)

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．原載於數學傳播第二卷第四期
．作者當時任教於美國韋恩州立大學數學系;美國密西根大學數學系

孫自健;石仲拓

一、
二、
三、
附錄(A)
附錄(B)
附錄(C)

卜松過程是馬可夫過程 (Markov Proscess) 中最簡單的一種；它的應用很廣，所以在一般的機率和作業研究的教科書中都會討論到。由於它的重要性，我們把這個問題拿出來單獨地給大家介紹一下。這裏所用到的方法全是很淺近的和很直覺的，一般的大學生都應該能了解的。

以下分三部份，第一節先談二項式分佈的卜松逼近 (Poisson approximation) 第二節介紹卜松過程,第三節再討論一些卜松過程的性質。

在附錄 A、B 和 C 裏我們談一點正文中省去的材料。

一、

我們想大家都已知道如果我們獨立地重複一項實驗 n 次，其每次的成功率都是 p, 0<p<1，則在 n 次實驗中總共成功的次數 X 會有一個二項分佈, 也就是說成功 k 次的機率是

$\begin{displaymath} P(X=k)={n \choose k}p^kq^{n-k}, \quad \mbox{{\fontfamily{cwM... ...fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 184}} \, q=1-p \end{displaymath}$

(1)

這裏的 n 和 p，我們稱為參數 (parameter)。

在有些應用的問題中，n 值很大而 p 值很小。譬如在一個大城市裏，我們調查一種稀有的病症。假如每個人得病的機率都是一樣 1/500，我們隨機的選一千人檢查，問這一千人中有十個人得病的機率是多少。應用二項分佈，我們得到

$\begin{displaymath} P(X=10)={1000\choose10}(\frac{1}{500})^{10}(\frac{499}{500})^{990} \end{displaymath}$

誰都可以看出這項計算很複雜，但是這時我們可以用卜松逼近法去簡化計算。在公式仍???中，如果我們令

$\begin{displaymath} \lambda =np \quad \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 67}} \quad p = \frac{\lambda}{n}, \end{displaymath}$

則

$\begin{eqnarray*} {n \choose k}p^kq^{n-k} &=& \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} (\f... ...\cdots \frac{(n-k+1)}{n} \cdot \frac{1}{(1-\frac{\lambda}{n})^k} \end{eqnarray*}$

當 $n \longrightarrow \infty$ 時，如果我們維持 λ 不變（當然 p 值要趨近於零）和 k 值不變，注意

$\begin{eqnarray*} && \frac{n-j}{n} \longrightarrow 1 \quad \mbox{{\fontfamily{cw... ... 1 \, , \quad (1-\frac{\lambda}{n}) \longrightarrow e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{displaymath} {n \choose k}p^kq^{n-k} \longrightarrow \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{displaymath}$

(2)

大家可能也都已知道，如果一個隨機變數 Y 滿足

$\begin{displaymath} P(Y=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \quad k=0,1,2 \cdot... ...har 77}{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 1}} ) \end{displaymath}$

我們就說 Y 有一個卜松分佈 (Poisson distribution)，此地它的參數是 λ。 (2)式指示假如我們維持 $np = \lambda$ 的關係，而 λ 是一個不太大也不大小的常數，則當 n 很大的時候（當然 p 就很小），對於任何一個固定的 k

$\begin{displaymath} {n \choose k}p^kq^{n-k} \approx \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \end{displaymath}$

所以這時我們可以用卜松分佈來逼近 (approximate) 二項分佈 $({n \choose k}p^kq^{n-k} )$ ，譬如以上談到的

$\begin{displaymath} P(X=100)={1000 \choose 10}(\frac{1}{500})^{10}(\frac{499}{500})^{999} \approx \frac{2^{10}}{10!}e^{-2} \end{displaymath}$

其實在計算(2)式時如果我們放鬆 $np = \lambda$ 的條件，而只要求 $np \longrightarrow \lambda$ 當 $n \longrightarrow \infty$ 時，則 (2) 式仍然成立,只不過證明稍為繁一點。

從(2)式中，我們可以看出卜松分佈和二項分佈的關係非常密切，這一點我們在第三節裏要用到。我們在這裏應該順便提到，當 n 很大時如果 p 值不是很小（也不很接近於 1），譬如 $p=\frac{1}{2}$ ，則我們應當用常態分佈來逼近二項分佈，這是所謂的中央極限定理。

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．馬可夫過程
．二項分佈
．卜松分佈
．常態分佈
．中央極限定理
．指數分佈

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編輯：康明軒 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：4/26/2002