蔡聰明

一、溫故而知新 二、差分與和分 三、微分與積分 四、差和分與微積分之間的類推關係

一、溫故而知新

數學是用來描述自然和人文現象的工具，這點跟其它科學並沒有兩樣。所不同的是，數學看重在探求一個現象的各種量，以及量與量之間的因果關係。用數學語言來說，分別就是數與函數的概念。因此中小學數學課程的主要內容就在於熟悉數與函數這兩個重要概念，以作為進一步探求一個現象的未知數，以及各種量之間的函數因果關係之基礎。

事實上，中小學的數學主要都環繞在探討數的運算以及如何利用代數方法來處理問題，再輔以坐標幾何與向量幾何作為處理問題的轉化工具。至於較高層次的函數概念才剛剛萌芽。我們只學到一些基本的函數模型，如多項函數，指數函數，對數函數，三角函數等。要更上一層樓研究函數的性質，或尋求一個現象各種量之間的函數因果關係，笛卡兒與費瑪的坐標幾何是施不上力的，一直要等到牛頓與萊布尼慈引入微積分的概念及一套方便的操作記號後，問題才告解決。從此開始了近代數學的蓬勃發展。

我們要強調，數學的主題就是處理函數問題，也就是研究函數關係與找函數關係。大致說來，函數可分為連續型與離散型，這分別是由於自然界的量有連續量與離散量而來的。一般說來，定義在連續集（如區間）上的函數屬於前者，而定義在離散點集（如 N 或 Z）上的函數屬於後者。事實上，離散函數就是裁們所熟悉的數列。對付這兩類函數，分別就有微積分與差和分，更進一步而有微分方程與差分方程。其實連續與離散之間的差別往往並不那麼大，因為連續的東西可以離散化，而對一個粗心的人來說，離散的東西差不多就看成是連續的。因此可以想像得到，連續與離散之間具有很多類推關係，這分別是微積分與差和分的類推。

本文的目的是要將差和分與微積分作一整理，尤其要強調它們之間的類推。只有在類推的觀照下，才容易掌握住所學的東西。本文對於學過微積分的人，可作為全局的導向和歸位；對未學過微積分的人，也可作為課前的預習。