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.原載於數學傳播第二卷第一期
.作者當時任教於清大數學系

註釋
 

你知道超越數嗎?

林聰源

 
 


a 為任意一複數,即 $\alpha \in \mathbf{C}$,若 α 是某一個整係數多項式 $P(x)\in \mathbf{Z}[x]$ 之一根,即 $P(\alpha)=0$,則稱 α 為代數數。根據這個定義,很顯然的,所有的有理數都是代數數。由高等代數學的理論,在 α 所滿足的整係數多項方程式中,存在一個次數最小者(必為 Q[x] 中之不可分解式),設其次數為 s,則稱此代數數之次數為 s。又所有代數數所成的集合形成一個體,此體通常以符號 A 表示。AC 中的補集裡的元素稱為超越數;換句話說,不能滿足任何整係數多項方程式的複數叫作超越數。舉例來說,i,$\sqrt{2}$$\sqrt{2+\sqrt{2}}$ 都是代數數,它們依次滿足整係數多項方程式 x2+1=0x2-2=0x4-4x2+2=0。然而超越數的發現,比起代數數來得晚許多,距今才只有一百五十年左右的光景。現在就讓歷史帶領我們做一番回顧吧!

 
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編輯:朱安強 最後修改日期:4/26/2002