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.原載於數學傳播第一卷第三期
.作者當時任教於台大數學系
 

實數的完備性

楊維哲

 
 

實數的完備性在教學上是有些麻煩, 這是相當「概念」的東西; 今天講這個題目是因為這裡面有些要注意的小地方, 提出來供大家參考。在小時候我們學數系都從數手指頭開始, 這就是自然數系,在自然數系 N 之後,有正有理數系(分數), 然後推廣到負數,因此有了整數全體,從整數再推廣就是所有的有理數, 這要如何介紹呢?一開始先有自然數,然後有分數,分數就是因為除不盡而產生的, 也可說是為了要解如 5x=3 的方程式而產生, 負數的出現是因為要解如 x+7= 的方程式, 亦即是要作 2-7=-5 的運算,因為要使運算成為可能就必須慢慢地把數系擴展, 不擴展就沒有辦法,這是發展整個數系的一個動機。 在運算上,從加減乘除一直做到有理數就完備了, 因為加減乘除在有理數中都可以自由運算下去。

再下去的說法,大家都曉得。 「為什麼會出現 R 是因為 x2 =2 這個方程式在有理數系中沒有解,可見有理數系是不夠用的,所以出現了無理數」; 當然也因為 x2+1 在實數系中不夠解,所以出現了 i ,因此我們可以擴展到複數系。 在從 N 擴展到有理數系 Q 是為了要使四則運算不受限制,解方程式是一個很重要的主題。 但由 Q 再擴展下去是否還是為了解方程式的理由?

我先強調這一點:

無理數的出現,不只是為了代數上的動機,其實在數學上還有其他種種理由配合起來的。

在初中,你可能用純粹代數的理由來擴展數系, 到了高中就不是了!到了高中,擴大數學的題材,研究種種的函數, 如三角函數,指數、對數函數……等, 這是一個主題:但在高中,還有一個重要的主題,即解析幾何, 我的意思不是項武義、黃武雄的向量 (Vector) 幾何,這不太合乎原來解析幾何的意思。 真正的解析幾何是笛卡爾與費馬所發明的座標幾何: 用座標的方法來做幾何問題,所有幾何問題都用座標來解。 他們這個辦法與今天所談的題目有密切的關係,它是數與圖形的配合, 就是代數與幾何結合在一起。在平面解析幾何中用兩個數 (x,y) 來表一點, 立體解析幾何用三個數 (x,y,z) 來代表一點, 將來可以推廣到 n 維空間,但最基本的還是在一維空間的圖形, 即一直線上的座標化,因為兩維、三維……均可類推, 這一維空間的情形牽涉很廣,如測量問題,即幾何與代數的聯繫, 這非常重要,它與實數的完備性有密切的關係, 在數學史上量長度與座標化是在直線上取 0 為原點, 1 為單位長,我們就可以在直線上點出 2、3……還有「幾分之幾」。 直線開始座標化,點與數一一對應起來, 這個理論一直到費馬與笛卡爾時才真正用上去,開始發揮起來, 才大規模地建立解析幾何,古時候是沒有解析幾何的。 可是在古時候,座標化的概念是有一些,但不明確。 主要是在測量幾何的度量問題,我們用尺,有刻度,量多少就是多少, 但尺的刻度是怎麼來的?這就是度量的理論, 原則上這是用比較的方法,剛開始,古時候的人,祇會用尺做單位, 一尺一尺去量,這就是說整數都可以量,但是如果「比 7 尺多,比 8 尺少」 他們就不會量了,但慢慢的他們就知道刻度,用幾尺幾寸慢慢的刻, 這是比例的關係,用作平行線的方法來刻,這與平面幾何有密切的關係, 希臘人都很清楚,所以有相似形的概念來作比較。當單位取定後, 所有有理數都可以表達出來,尺寸都是十進位, 但也可以用 12 進位,如 1 英尺 =12 英寸或其他進位, 用這個辦法,大致來說數與點的對應可做到一個程度。

這裡順便提到希臘幾何作圖的三大難題: 倍立方體(作一立方體使體積為原來的兩倍), 方圓問題(作一正方形使其面積等於一圓之面積), 一般角三等分。希臘人用沒有刻度的直尺和圓規, 以有限次的步驟去刻出有理數所對應的點(有理點),因此使用規矩, 藉著比例、相似的概念,就可以作加減乘除的四則問題。 在直線上所刻劃的有理點與有理點之間還有密密麻麻的有理點, 這就是有理數的稠密性;但現在還有一個問題, 就是在直線上除了能刻劃的有理點之外是否還有其他的點存在? (這問題很抽象,也不很實在,因為物理上的點都有寬度!), 不過,有理點並未填滿數線,也就是說:所有有理點並不能構成直線, 像剛剛提到的 $\sqrt{2}$ , 我們可看成:有一個數 x 是正的,且滿足 x2 =2, 這 $\sqrt{2}$ 希臘人都知道它不是正有理數, 理論上這是一個無理點,但它是否存在,當時是有疑問的。 這一直到畢達哥拉斯發現了畢氏定理時, 才確定了定了無理數的存在。實際上用圓規直尺就可以用來開方, 因此從自然數出發,用直尺圓規,可以作出很多的數來, 這些數都叫做規矩數 (constructible number)。

古希臘的三個難題:「倍立方體」本質上是開立方,在代數的眼光看來是解 x3 =2 ;方圓問題在代數上是解 $\pi r^2 = a^2$, 本質上是討論 $\sqrt{\pi}$,π 在一世紀之前已被證明是一個超越數; 「一般角之三等分」本質上是解一元三次方程式,將所予角看成 $3 \theta$, 解 $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4\sin\theta^3$, 在代數上等於解 3x-4x3 =a 我們可以用卡丹 (Cardano) 公式解出來,本質上是要開立方,我們可以發現這個問題所解出來的數, 是用規矩所作不出來的!這就是說規矩數在數線上並不完備。

前面說過:「從小學到初中;都是用代數的眼光,為了解方程式才擴展數系」, 但是由 Q 擴展到 R;如果說是為了解 x2 =2 這個理由是相當牽強的。且讓我們說明如下:

$a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots \cdots + a_n =0$ 為一有理係數方程式,我們可以用通分的辦法使它變為整係數方程式, 整係數方程式的根叫做代數數 (Algebraic number), 用 A 表代數數全體,如果以代數數作係數的方程式的根, 有不在 A 中的,則 A 必須擴展至 A1, 以 A1 之數為係數作方程式,如仍有根不在 A1 中, 則必須再擴展至 A2,如此下去將得: A 真包含於 A1, A1 真包含於 A2,…,可是事實上代數數系 A 就已完備了, 即: A = A1,換句話說,代數係數方程式的根都是代數數, 這就是代數數的完備性。所以,如果說是為了代數的理由而發展數系, 應該是由 Q 擴展到 A;但事實上 $i \in \mathbf{A}$$i \not\in \mathbf{R}$$\pi \in \mathbf{R}$$\pi \not\in \mathbf{A}$;所以 $\mathbf{A} \not\subset \mathbf{R}$, 且 $\mathbf{R} \not\subset \mathbf{A}$,因此,認為 QR 的擴張是為了代數的理由的說法並不恰當。

由有理數系擴至實數系這是為分析的理由! 在高深的數學中,說明完備性有很多的辦法,最主要的一種說法,最合乎直覺的,就是用解析幾何的數與點的對應,將所有的有理點點在數線上,此外還有很多的點叫無理點,還要將它們加入,這樣才會得到 R,也就是說, 有理點在數線上雖然密密麻麻,但不構成全部的數線, 必須把「漏洞」補起來,才會得到 R 進一步的數學。 還有別的種種說法,如狄悌鏗分割 (Dedekind Cut), 它把有理數,分成兩個集 A,B$A \cup B = \mathbf{Q}$$A \neq \emptyset$$ B \neq \emptyset$,且 $A \cap B = \emptyset$,使 $x \in A$$y \in B \Longrightarrow x<y$ 我們可以想像有以下四種可能:

(1) A 中有最大(元素),B 中有最小(元素)
(2) A 中有最大(元素),B 中沒有最小(元素)
(3) A 中沒有最大(元素),B 中有最小(元素)
(4) A 中沒有最大(元素),B 中沒有最小(元素)

在有理數中,情形(1)是不會發生的,其他三種均有存在之可能。 如果 cut(分割)出(4)的情形,即 A 中沒有最大, B 中沒有最小,在 Dedekind 看來這就是一個缺陷 (gap), 不完備性就是指這一點,Dedekind 理論就是由此出發, 分割到有缺陷,就補上一點,如此下去將所有缺陷都補起來, 這就得到了 R,這麼一來,可從 Q 擴展至 RR 本身就完備了, 這是實數系的完備性,也就是說我們對實數系作分割, 一定沒有剛剛的缺陷,也就是「A 中沒有最大,B 中沒有最小」 這種情形是不存在的。「A 中有最大,B 中沒有最小」, 「A 中沒有最大,B 中有最小」,兩者必居其一。

當然實數系的完備性還有種種說法; 假設 <xn> 是一個遞增的有理數列, $ x_n \leq x_{n+1}$。 而且有上界,那麼 <xn> 一定有極限, 這個說法與 Dedekind Cut 有密切的關連, 也就是這個極限如果不是有理數,就要補上去這一點。 我可以介紹一本我寫的《何謂實數》(商務出版), 這堶措儮篥う漣像ぅ呇釵U種各樣說法,我們學實數的完備性是學微積分的基礎。 譬如說在討論函數性質時,最重要的就是函數是否連續, 連續性的意思是:若 $x_n \longrightarrow \alpha$$f(x_n) \longrightarrow f(\alpha)$。 實數的完備性使函數的連續性更有意義! 有一個性質「若 f[a,b] 上連續, 則上一定有最大值與最小值」,要證明這個性質, 一定要用到實數的完備性。如果函數 $f(x) = (x-\sqrt[3]{2})^2$ 的自變數僅限於有理數中, 照理 f 的最小值為 0,也就是必須有一個無理數 $c = \sqrt[3]{3}$ 的存在, 但在有理數系是沒有完備性的,所以 f 是沒有最小值的。

 
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編輯:康明軒 最後修改日期:4/26/2002