機率之回顧 (第 2 頁)

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機率之回顧（第 2 頁）

姚景星

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．原載於數學傳播第一卷第三期
．作者當時任教於台大數學系
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二、古典範例

[例一] 直觀機率之古典例子
從前 Pascal 與另一數學者 M 通信解決最初之困難題如下：用三個骰子（均勻者）作 Passedix（10 以上）之遊戲。此遊戲為一人打賭三個骰子出現之數目和為 10 以上（11－18 共 8 種），另一人打賭數目和為 10 或 10 以下（3－10 共 8 種）為勝。此 2 人之機會容易得知平等，但有下列困難問題。數學者 M 作此遊戲非常多回，觀察其結果得知打賭數目和 10 以上者中得數目和為 11 而勝之次數比得數目和為 12 而勝之次數為多，數學者 M 以為數目和為 11 者為下列 6 種

(6-4-1 　 6-3-2 　 5-5-1 　 5-4-2 　 5-3-3 　 4-4-3)

數目和為 12 者亦是 6 種

(6-5-1 　 6-4-2 　 6-3-3 　 5-5-2 　 5-4-3 　 4-4-4)

如此適合之數同樣均為 6 種時為何一方比他一方勝數為多？ Pascal 對此作如下之非常簡單之答案：6-4-1 不能算為只一種，應算為 6 種，即

(6-4-1 　 6-1-4 　 4-6-1 　 4-1-6 　 1-4-6 　 1-6-4)

此原因為三個骰子應附加編號 1、2、3 或附加相異三顏色加以區別。因此數目和為 11 者共有

6+6+6+3+3+3=27 種,

故數目和為 11 之機率為 $\frac{27}{6^3}$ 他方數目和為 12 者其有

6+6+3+3+6+1=25 種,

故數目和為 12 之機率為 $\frac{25}{6^3}$ 因此數目和為 11,12 之機率不一樣。由數學者 M 作此遊戲幾回，作平均時得知 27 回為 11，25 回為 12，與上述結果符合。這例提醒要考慮樣本空間之元素（基本事件）之個數時須要注意。

[例二] 幾何機率之古典例（Bertrand 之逆說）
在所給半徑 r 之圓內隨機 (at random) 引弦時此弦之長度比內接此圓之正三角形之一邊大之機率如何？

[解法一]

圖1（半徑 r 之圓 O）

圖2

圖3（ $\triangle ABC$ 為內接半徑 r 之圓內之正三角形）

如圖1，OD 為圓之定半徑，由圓心 O 作弦 EF 之垂線，其垂足設為 P，設 OP=x, $\angle DOP=\varphi$ ，則 x 在 0 與 r 間，φ 在 0與 $2\pi$ 間變動，設二維隨機變數 $(X,\Phi)$ 取值 $(x,\varphi)$ , $0\leq x\leq r$ ， $0\leq \varphi \leq 2\pi$ ，即弦長比圓內接正三角 ABC 一邊長之事件（參考圖3）為

$\begin{displaymath} \{(x,\varphi)\vert\leq x\leq \frac{r}{2},0\leq \varphi \leq ... ...pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 36} } QUVT \end{displaymath}$

故所求機率為

$\begin{eqnarray*} P(0\leq X\leq \frac{r}{2},0\leq P\leq 2\pi) &=& \frac{\mbox{{... ...} \\ &=& \frac{\frac{r}{2}\times2\pi}{r\times2\pi}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

[解法二]

圖4

圖5

圖6

如圖4，OD 為圓之定半徑，設 $\angle DOF = \varphi$ , $\angle FOE=\psi$ ，即 $0\leq \varphi \leq 2\pi$ , $0\leq \psi \leq \pi$ ，設二維隨機變數 $(\Phi,\Psi)$ 取值 $(\phi,\psi)$ , $0\leq \varphi \leq 2\pi$ , $0\leq \psi \leq \pi$ ，即弦長比圓內接正三角形 ABC 一邊長之事件（參考圖6）為

$\begin{displaymath} \{(\varphi,\psi)\vert\leq \varphi \leq 2\pi,\frac{2\pi}{3} ... ...pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 36}} UVST, \end{displaymath}$

故所求機率為

$\begin{eqnarray*} P(0\leq \Phi \leq 2\pi,\frac{2\pi}{3}\leq \Psi \leq\pi) &=& \... ... &=& \frac{2\pi\times\frac{\pi}{3}}{2\pi\times\pi}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

如上同一問題由隨機變數取法不一樣，其所求機率亦不一樣，這是怪事。此例是有名之 Bertrand 逆說。但詳細注意上述二種解法時可發現事實上不是在解同一問題而解如下之相異問題。

解法一所考慮之問題可改寫如下：例如在一大房間之地板上以 2r（所給圓之直徑）為距離作平行線（如圖7），隨機投此半徑 r 之圓板時此圓與平行線相交之弦比內接該圓之正三角形之一邊大之機率為解法一之答案 $\frac{1}{2}$ 。

圖7

解法二所考慮之問題可改寫如下：例如如圖8，設針 AB 之長度比 2r（所給圓之直徑）長，其中心 Q 在所給圓周上，針以 Q 為中心迴轉同時中心 Q 沿圓 O 之圓週迴轉時隨機停止後，此針與圓相交之弦比內接該圓之正三角形之一邊大之機率為解法二之答案 $\frac{1}{3}$ 。

因此解法一二各解相異二問題，這不是怪事。此例提醒要利用隨機變數解問題時要注意其所表示之意義，不要隨便利用以致誤解。

圖8

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編輯：黃信元

最後修改日期：4/26/2002